高等数学课件：v-4-1不定积分的概念与性质

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1、高等数学第四章第四章 不定积分不定积分第一节第一节 不定积分的概念与性质不定积分的概念与性质一、原函数与不定积分的概念一、原函数与不定积分的概念二、基本积分表二、基本积分表三、不定积分的性质三、不定积分的性质四、小四、小 结结高等数学问题的引出：问题的引出：2(2(几何问题几何问题)设曲线通过点（设曲线通过点（1，2），且其上任一点），且其上任一点处的切线斜率等于这点横坐标的两倍，求此曲线方程处的切线斜率等于这点横坐标的两倍，求此曲线方程.1、回忆关于中值定理的使用、回忆关于中值定理的使用.0)()(),1,0(,0)1(,)1,0(,1,0)(fffxf使使得得则则存存在在若若内内可可导导在

2、在上上连连续续在在设设证法证法)()()()(xfxxfff )()()()(xfxxfxFxF 满足满足求求2(2(物理问题物理问题)质点以初速质点以初速 v0 铅直上抛铅直上抛,不计阻力不计阻力,求运求运动规律动规律.总结问题：总结问题：).()()(),(xfxFxFxf 满足满足求求已知已知高等数学认识：认识：1.1.运算的属性运算的属性;2.2.运算的条件运算的条件;3.3.运算的方法运算的方法;4.4.针对初等函数针对初等函数,与求导运算的比较与求导运算的比较;).()()(),(xfxFxFxf 满足满足求求已知已知-求导运算的逆运算求导运算的逆运算高等数学例例 xxcossin

3、 xsin是是xcos的的原原函函数数.)0(1ln xxxxln是是x1在区间在区间),0(内的原函数内的原函数.如如果果在在区区间间I内内，定义：定义：可可导导函函数数)(xF的的即即Ix ，都都有有)()(xfxF 或或dxxfxdF)()(，那那么么函函数数)(xF就就称称为为)(xf导导函函数数为为)(xf，或或dxxf)(在在区区间间I内内原原函函数数.一、原函数与不定积分的概念一、原函数与不定积分的概念高等数学原函数存在定理：原函数存在定理：如如果果函函数数)(xf在在区区间间 I内内连连续续，简言之：简言之：连续函数一定有原函数连续函数一定有原函数.问题：问题：(1)原函数是否

4、唯一？原函数是否唯一？例例 xxcossin xCxcossin （为任意常数）为任意常数）C那那么么在在区区间间I内内存存在在可可导导函函数数)(xF，使使Ix ，都有，都有)()(xfxF .(2)若不唯一它们之间有什么联系？若不唯一它们之间有什么联系？高等数学关于原函数的说明：关于原函数的说明：（1）若）若 ，则对于任意常数，则对于任意常数 ，)()(xfxF CCxF)(都都是是)(xf的的原原函函数数.（2）若）若 和和 都是都是 的原函数，的原函数，)(xF)(xG)(xf则则CxGxF )()(（为任意常数）为任意常数）C证证 )()()()(xGxFxGxF 0)()(xfxf

5、CxGxF )()(（为任意常数）为任意常数）C高等数学任意常数任意常数积分号积分号被积函数被积函数不定积分的定义：不定积分的定义：在在区区间间I内内，CxFdxxf )()(被积表达式被积表达式积分变量积分变量函函数数)(xf的的带带有有任任意意常数项的原函数常数项的原函数称称为为)(xf在在区区间间I内内的的不定积分不定积分，记为，记为 dxxf)(.高等数学例例1 1 求求.5dxx 解解,656xx .665Cxdxx 解解例例2 2 求求.112 dxx ,11arctan2xx .arctan112 Cxdxx高等数学例例3 3 设曲线通过点（设曲线通过点（1，2），且其上任一点处

6、的），且其上任一点处的切线斜率等于这点横坐标的两倍，求此曲线方程切线斜率等于这点横坐标的两倍，求此曲线方程.解解设曲线方程为设曲线方程为),(xfy 根据题意知根据题意知,2xdxdy 即即)(xf是是x2的一个原函数的一个原函数.,22 Cxxdx,)(2Cxxf 由曲线通过点（由曲线通过点（1，2）,1 C所求曲线方程为所求曲线方程为.12 xy高等数学函函数数)(xf的的原原函函数数的的图图形形称称为为)(xf的的积积分分曲曲线线.显然，求不定积分得到一积分曲线族显然，求不定积分得到一积分曲线族.由不定积分的定义，可知由不定积分的定义，可知 ),()(xfdxxfdxd ,)()(dxx

7、fdxxfd ,)()(CxFdxxF.)()(CxFxdF结论结论：微分运算与求不定积分的运算是微分运算与求不定积分的运算是的的.高等数学实例实例 xx 11.11Cxdxx 启示启示能否根据求导公式得出积分公式？能否根据求导公式得出积分公式？结论结论既然积分运算和微分运算是互逆的，既然积分运算和微分运算是互逆的，因此可以根据求导公式得出积分公式因此可以根据求导公式得出积分公式.)1(二、二、基本积分表基本积分表高等数学基基本本积积分分表表(1)(1)kCkxkdx()1(是常数是常数););1(1)2(1 Cxdxx;ln)3(Cxxdx说明：说明：,0 x,ln Cxxdx )ln(,0

8、 xx,1)(1xxx ,)ln(Cxxdx,|ln Cxxdx高等数学 dxx211)4(;arctanCx dxx211)5(;arcsinCx xdxcos)6(;sinCx xdxsin)7(;cosCx xdx2cos)8(xdx2sec;tanCx xdx2sin)9(xdx2csc;cotCx 高等数学 xdxxtansec)10(;secCx xdxxcotcsc)11(;cscCx dxex)12(;Cex dxax)13(;lnCaax xdxsinh)14(;coshCx xdxcosh)15(;sinhCx 高等数学例例4 4 求积分求积分.2dxxx 解解dxxx 2

9、dxx 25Cx 125125.7227Cx 根据积分公式（根据积分公式（2）Cxdxx 11 高等数学 dxxgxf)()()1(;)()(dxxgdxxf证证 dxxgdxxf)()(dxxgdxxf)()().()(xgxf 等式成立等式成立.（此性质可推广到有限多个函数之和的情况）（此性质可推广到有限多个函数之和的情况）三、三、不定积分的性质不定积分的性质高等数学 dxxkf)()2(.)(dxxfk（k是是常常数数，)0 k例例5 5 求积分求积分解解.)1213(22dxxx dxxx)1213(22 dxxdxx 22112113xarctan3 xarcsin2 C 高等数学例

10、例6 6 求积分求积分解解.)1(122dxxxxx dxxxxx )1(122dxxxxx )1()1(22dxxx 1112dxxdxx 1112.|lnarctanCxx 高等数学例例7 7 求积分求积分解解.)1(21222dxxxx dxxxx )1(21222dxxxxx )1(12222dxxdxx 22111.arctan1Cxx 高等数学例例8 8 求积分求积分解解.2cos11 dxx dxx2cos11 dxx1cos2112 dxx2cos121.tan21Cx 说明：说明：以上几例中的被积函数都需要进行以上几例中的被积函数都需要进行恒等变形，才能使用基本积分表恒等变形

11、，才能使用基本积分表.高等数学基本积分表基本积分表(1)不定积分的性质不定积分的性质 原函数的概念：原函数的概念：)()(xfxF 不定积分的概念：不定积分的概念：CxFdxxf)()(求微分与求积分的互逆关系求微分与求积分的互逆关系四、四、小结小结高等数学思考题思考题符号函数符号函数 0,10,00,1sgn)(xxxxxf在在 内是否存在原函数？为什么？内是否存在原函数？为什么？),(高等数学思考题解答思考题解答不存在不存在.假设有原函数假设有原函数)(xF 0,0,0,)(xCxxCxCxxF但但)(xF在在0 x处处不不可可微微，故假设错误故假设错误所以所以 在在 内不存在原函数内不存

12、在原函数.),()(xf 注注 每一个含有每一个含有第一类间断点第一类间断点的函数都的函数都没有原函数没有原函数.高等数学 作作 业业P236:1(双双),2,4.高等数学补充：导函数的性质补充：导函数的性质.)(,)(lim,),()(0000AxfAxfxxxxxUxf存存在在且且等等于于则则若若有有处处可可导导且且在在上上连连续续在在设设 证证 按定义按定义 0000)()(lim)(xxxfxfxfxx 10),()()(),(),(00000000 xxxfxxxfxfxxxxx由由拉拉格格朗朗日日中中值值公公式式Axxxfxxxfxfxxxx )(lim)()(lim000000两

13、两边边取取极极限限得得.)(0Axf存存在在且且等等于于所所以以 证毕证毕目的目的:认识导函数作为函数的特殊性认识导函数作为函数的特殊性.定理定理 1 高等数学).()0()0()0()0()(,),()(0000000 xfxfxfxfxfxxxfxUxf 存存在在，则则有有，的的左左右右极极限限处处在在若若可可导导在在设设 定理定理 2 证证 按定义按定义 0000)()(lim)(xxxfxfxfxx 00000),()()(),(xxfxxxfxfxxx 由由拉拉格格朗朗日日中中值值公公式式)0()(lim)()(lim)(000000 xffxxxxxfxfxxxf 两两边边取取极极

14、限限得得同理可证右极限的情况同理可证右极限的情况.(课后完成课后完成)高等数学.)(没没有有第第一一类类间间断断点点上上，其其导导函函数数在在上上可可微微的的函函数数在在区区间间推推论论IxfI 例例 .010001sgn.1上上没没有有原原函函数数在在Rxxxxy 000)1sin(.22xxxxy.上上有有原原函函数数在在R 0001sin)(2xxxxxF原原函函数数高等数学.)()()(,)()(之之间间的的一一切切值值与与可可取取到到位位于于则则导导上上可可在在区区间间设设导导函函数数的的介介值值性性bfafxfbaxf 证证 证毕证毕)()(),()(bfkafbfaf 并并令令不

15、不妨妨设设)()()()(afaxkxfxF 作作辅辅助助函函数数kxfxF )()(0)(,0)(bFaF由由题题设设.)(,0)(,),(,)(kfFxbabxaxbaxF 即即则则处处取取最最大大值值设设在在内内取取得得取取得得，必必在在处处和和的的最最大大值值不不能能在在在在则则)(,(afa)(,(bfb 定理定理 3 高等数学 已已知知一一曲曲线线)(xfy 在在点点)(,(xfx处处的的切切线线斜斜率率为为xxsinsec2，且且此此曲曲线线与与 y轴轴的的交交点点为为)5,0(，求求此此曲曲线线的的方方程程.解解,sinsec2xxdxdy dxxxy sinsec2,costanCxx ,5)0(y,6 C所求曲线方程为所求曲线方程为.6costan xxy练习练习