高等数学课件：8 各种积分的联系及其在场论中的应用-1

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1、2007年8月南京航空航天大学 理学院 数学系1各种积分的联系及其在场各种积分的联系及其在场论中的应用论中的应用Green 公式、平面线积分的路径无关性公式、平面线积分的路径无关性Stokers 公式与旋度公式与旋度Gauss 公式与散度公式与散度2007年8月南京航空航天大学 理学院 数学系2一、区域连通性的分类一、区域连通性的分类 设设D为平面区域为平面区域,如果如果D内任一闭曲线所内任一闭曲线所围成的部分都属于围成的部分都属于D,则称则称D为平面单连通区为平面单连通区域域,否则称为复连通区域否则称为复连通区域.复连通区域复连通区域单连通区域单连通区域DD2007年8月南京航空航天大学 理

2、学院 数学系3连成连成与与由由21LLL组成组成与与由由21LLL边界曲线边界曲线L L的正向的正向:当观察者沿边界行走时当观察者沿边界行走时,区区域域D总在他的左边总在他的左边.2LD1L2L1LD:的的正正向向的的边边界界曲曲线线规规定定LD二、格林二、格林(Green)(Green)公式公式2007年8月南京航空航天大学 理学院 数学系4定理定理1 12007年8月南京航空航天大学 理学院 数学系5),()(),(21bxaxyxyxD 证明证明(1)(1)若区域若区域D既是既是 X型型又是又是 Y型型,即平行于即平行于坐标轴的直线和坐标轴的直线和L至至多交于两点多交于两点.),()()

3、,(21dycyxyyxD yxo abDcd)(1xy )(2xy ABCE)(2yx )(1yx 2007年8月南京航空航天大学 理学院 数学系6dxxQdydxdyxQyydcD )()(21 dcdcdyyyQdyyyQ),(),(12 EACCBEdyyxQdyyxQ),(),(LdyyxQ),(同理可证同理可证 LDdxyxPdxdyyP),(yxod)(2yx DcCE)(1yx AB dcdcdyyyQdyyyQ),(),(12 CAECBEdyyxQdyyxQ),(),(LDdyyxQdxdyxQ),(2007年8月南京航空航天大学 理学院 数学系7LD证明证明(2)(2)两

4、式相加得两式相加得 LDQdyPdxdxdyyPxQ)(将将D分成三个既是分成三个既是 X型又是型又是 Y型的区域型的区域1D,2D,3D.321)()(DDDDdxdyyPxQdxdyyPxQ1L2L3L1D2D3Dl1l2l3若区域若区域D由按段光滑的闭由按段光滑的闭曲线围成曲线围成.如图如图,2007年8月南京航空航天大学 理学院 数学系8 321)()()(DDDdxdyyPxQdxdyyPxQdxdyyPxQ 332211lLlLlLQdyPdxQdyPdxQdyPdx LQdyPdx),(32,1来来说说为为正正方方向向对对DLLL 321LLLQdyPdxQdyPdxQdyPdx

5、LD1L2L3L1D2D3Dl1l2l32007年8月南京航空航天大学 理学院 数学系9D3L2LGFCE1LAB证明证明(3)(3)若区域不止由一条闭曲若区域不止由一条闭曲线所围成线所围成.添加直线段添加直线段ABAB,CECE.则则D的边界曲线由的边界曲线由ABAB,2L,BA,BA,AFC,CEAFC,CE,3L,ECEC及及CGACGA构成构成.由由(2)知知 DdxdyyPxQ)(CEAFCBALAB2 CGAECLQdyPdx)(3 LQdyPdx 231)(LLLQdyPdx),(32,1来来说说为为正正方方向向对对DLLL2007年8月南京航空航天大学 理学院 数学系10便于记

6、忆形式便于记忆形式:LDQdyPdxdxdyQPyx.格格林林公公式式的的实实质质:沟沟通通了了沿沿闭闭曲曲线线的的积积分分与与二二重重积积分分之之间间的的联联系系.上上有有连连续续的的一一阶阶偏偏导导数数在在的的正正方方向向取取区区域域封封闭闭曲曲线线下下几几点点：使使用用格格林林公公式式要要注注意意以以D),(),()3(D)2()1(yxQyxPLL 注2007年8月南京航空航天大学 理学院 数学系11用三、格林公式的简单应计计算算平平面面图图形形的的面面积积。化化简简二二重重积积分分；计计算算曲曲线线积积分分；)3()2()1(2007年8月南京航空航天大学 理学院 数学系12 DDL

7、dyxdxyydxxdyxy )()(222222的的正正向向闭闭路路是是沿沿圆圆周周计计算算xyxLydxxdyxyL2:2222 22,xyPyxQ 23cos42222244cos203 ddrrd例例1解解yxPxyQ22 1.1.计算曲线积分计算曲线积分2007年8月南京航空航天大学 理学院 数学系13xyoLABDBOABOAL 应应用用格格林林公公式式,xQP ,0 有有 LDxdydxdy,0,0 BOOAxdyxdy由于由于.412rdxdyxdyDAB ,BOABOAxdyxdyxdy2007年8月南京航空航天大学 理学院 数学系14的的弧弧段段到到点点经经正正弦弦曲曲线线

8、为为从从点点计计算算)0,(sin)0,0(,)(sin)cos2(:AxyOOAdyyyedxyeOAxx )1(511)1()1(510sin00 eeedxeydyedxydxdyexxxOADxAOOAOOA练习：练习：解解2007年8月南京航空航天大学 理学院 数学系15则则当当022 yx时时,有有yPyxxyxQ 22222)(.记记L所所围围成成的的闭闭区区域域为为D,解解令令2222,yxxQyxyP ,2007年8月南京航空航天大学 理学院 数学系16L(1 1)当当D)0,0(时时,(2)当当D)0,0(时时,1DrlxyoLD由由格格林林公公式式知知 Lyxydxxdy

9、022作作位位于于D内内圆圆周周 222:ryxl ,应应用用格格林林公公式式,得得yxo点点处处不不连连续续在在)0,0(,QP2007年8月南京航空航天大学 理学院 数学系17 lLyxydxxdyyxydxxdy2222xyor1DlL02222 lLyxydxxdyyxydxxdy(其其 中中l的的 方方 向向取取逆逆时时针针方方向向).2 (注意格林公式的条件注意格林公式的条件)drrr22222sincos 202007年8月南京航空航天大学 理学院 数学系18。区域为所围的闭曲线且不经过原点的连续封是分段光滑其中小结：DLLyxydxxdy,:L220D)0,0()1(22 Ly

10、xydxxdy，则则若若 2D)0,0()2(22 Lyxydxxdy，则则若若2007年8月南京航空航天大学 理学院 数学系19222222222)(:yxyxxQyPyxxQyxyP 用用格格林林公公式式例例4解：解：点点处处不不连连续续在在)0,0(,QPCxyo1222,0DCCCDCDCyxCo围围成成的的区区域域为为与与围围成成的的区区域域。记记由由为为取取顺顺时时针针，：作作一一圆圆周周为为半半径径为为圆圆心心以以 C)(1:222222逆逆时时针针计计算算 byaxCyxxdyydxIC2007年8月南京航空航天大学 理学院 数学系200)(1 DCCdxdyyPxQQdyPd

11、x由由格格林林公公式式得得 CC 222 Cyxydxxdy222CyxydxxdyCxyoC2007年8月南京航空航天大学 理学院 数学系21解解 令令2,0yxeQP ,2.2.简化二重积分简化二重积分xyoAB11D则则 2yeyPxQ ,2007年8月南京航空航天大学 理学院 数学系22应应用用格格林林公公式式,有有 BOABOAyDydyxedxdye22 1022dxxedyxexOAy).1(211 e2007年8月南京航空航天大学 理学院 数学系23格林公式格林公式:LDQdyPdxdxdyyPxQ)(取取,xQyP 得得 LDydxxdydxdy2闭闭区区域域D的的面面积积

12、LydxxdyA21.取取,0 xQP 得得 LxdyA取取,0,QyP 得得 LydxA3.3.计算平面面积计算平面面积2007年8月南京航空航天大学 理学院 数学系24)(cossin3)(),sin(cos3)(22ttatyttatx 所所围围成成的的图图形形面面积积。用用曲曲线线积积分分计计算算星星形形线线 taytaxL33sincos:tdttaxdyydxSL22202sincos32121 例例6解解832sin8322022 adtta 2007年8月南京航空航天大学 理学院 数学系25 LDbaxdyydxSdSdxxfS211)(:曲曲线线积积分分：二二重重积积分分：定

13、定积积分分：求求面面积积方方法法 2007年8月南京航空航天大学 理学院 数学系26小结小结1.1.连通区域的概念连通区域的概念;2.2.二重积分与曲线积分的关系二重积分与曲线积分的关系3.3.格林公式的应用格林公式的应用.格林公式格林公式;LDQdyPdxdxdyyPxQ)(2007年8月南京航空航天大学 理学院 数学系27Gyxo 1LQdyPdx 2LQdyPdx1L2LBA 否否则则与与路路径径有有关关.GLLBAGBAGyxQyxPG 21,),(),(,的的任任意意两两条条曲曲线线及及从从点点给给定定的的对对有有连连续续的的一一阶阶偏偏导导数数,内内具具在在是是一一个个开开区区域域

14、点点设设定义定义四、曲线积分与路径无关的定义四、曲线积分与路径无关的定义2007年8月南京航空航天大学 理学院 数学系28为为任任一一条条封封闭闭曲曲线线内内与与路路径径无无关关在在CQdyPdxGQdyPdxCL,0 定理定理1,曲曲线线为为任任一一条条封封闭闭设设C证明证明GyxoBAc2L1L 221LLL021 LL0,C即即BAC,上任取两点上任取两点在在2007年8月南京航空航天大学 理学院 数学系29GyxoBA2L1L021 CLL的任意两条光滑曲线的任意两条光滑曲线为从为从设设BALLGBA 2,1,21LL 21LL即即2007年8月南京航空航天大学 理学院 数学系30 设

15、设开开区区域域G是是一一个个单单连连通通域域,函函数数),(),(yxQyxP在在G内内具具有有一一阶阶连连续续偏偏导导数数,则则曲曲线线积积分分 LQdyPdx在在G内内与与路路径径无无关关（或或沿沿G内内任任意意闭闭曲曲线线的的曲曲线线积积分分为为零零）的的充充要要条条件件是是xQyP 在在G内内恒恒成成立立.定理定理 2 2.由由格格林林公公式式是是显显然然的的 证明证明2007年8月南京航空航天大学 理学院 数学系31xQyPGM 处处设设在在用用反反证证法法)(.02),0(/0yPxQKMMMK上恒有使在02)(KdxdyyPxQQdyPdxxQyPGQdyPdxC 内内要要证证在

16、在已已知知,0,0)(0 MyPxQ不不妨妨设设内内连连续续在在GxQyP ,有有的正向边界的正向边界是是设设,K!0相矛盾相矛盾的面积与的面积与为为 LQdyPdxK yPxQ 2007年8月南京航空航天大学 理学院 数学系32(2)函函数数),(),(yxQyxP在在G内内具具有有 一一阶阶连连续续偏偏导导数数.两条件缺一不可两条件缺一不可 CCyxCyxxdyydxI 21:2222如如注02),(441:12222yxGyxyPxQyxG但2007年8月南京航空航天大学 理学院 数学系33.)2()(.)2,1()0,0(的的值值且且计计算算面面内内与与路路径径无无关关证证明明曲曲线线

17、积积分分在在整整个个平平 dyyxedxxeyy.2与与路路径径无无关关 xQeyPyxeQxePyyyM(1,2)(0,0)(1,0)xy例例1解解2007年8月南京航空航天大学 理学院 数学系34.)2()(.)2,1()0,0(的的值值且且计计算算面面内内与与路路径径无无关关证证明明曲曲线线积积分分在在整整个个平平 dyyxedxxeyyM(1,2)(0,0)(1,0)xy 2010)2,1()0,0()2()1()2()(dyyedxxdyyxedxxeyyy272202102)1(2 eyeyx例例1解解2007年8月南京航空航天大学 理学院 数学系35:)0,1(B)0,1(A,沿

18、沿曲曲线线到到是是由由计计算算 LxydxL例例2单位圆的下半圆弧轴的直线段沿单位圆的上半圆弧:)3(x:)2(:)1(321LLL 321LLLxydxxydxxydx验验证证：是是否否与与积积分分路路径径无无关关？思思考考：Lxydx)0,1(B)1,1()1,1()0,1(A到到到是提示：DCL2007年8月南京航空航天大学 理学院 数学系36(1)若积分与路径无关，若积分与路径无关，可自由选择路径；可自由选择路径；一般选择平行于坐标轴的折线段一般选择平行于坐标轴的折线段注(2)若积分与路径无关，若积分与路径无关，是指从起点到终点的是指从起点到终点的任何任何 路径积分都相等路径积分都相等

19、.若有若有有限有限条路径积分相等条路径积分相等,也未必与路径无关也未必与路径无关2007年8月南京航空航天大学 理学院 数学系37例例3 计算计算 220.5d0.5d,0.5Lxyxxyyxy其中其中 到点到点 D(0,1)的路径的路径(见右图见右图).分析分析 如果第二型曲线积分在某单连通区域内满足如果第二型曲线积分在某单连通区域内满足 与路径无关的条件与路径无关的条件,则可改变积分路径则可改变积分路径,使易于计算使易于计算.L 为沿着右半圆周为沿着右半圆周221(0)xyx由点由点 A(0,-1)xyO(0,1)A(1,1)B(1,1)C(0,1)D1L2LL E2007年8月南京航空航

20、天大学 理学院 数学系38解解 记记 220.5(,),0.5xyP x yxy 2222 2(0.5)2(0.5).(0.5)QPxyy xxyxy 220.5(,).0.5xyQ x yxy 易知除去点易知除去点 E(0.5,0)外外,处处满足处处满足 1L(0,1)A(1,1),B(1,1),C设设 为由点为由点 到点到点 再到点再到点 最最 2007年8月南京航空航天大学 理学院 数学系39220.5d0.5d0.5Lxyxxyyxy1(,)d(,)dLP x yxQ x yy(,)d(,)dABBCCDP x yxQ x yy1LL因为与因为与(0,1)D的折线段的折线段.后到点后到

21、点 可被包含在某可被包含在某 一不含奇点一不含奇点 E 的单连通区域内的单连通区域内,所以有所以有1102220110.50.51.5ddd(0.5)10.25(0.5)1xyxxyxxyx2007年8月南京航空航天大学 理学院 数学系404arctan0.52arctan2.注注:定理定理2 2 中对中对“单连通区域单连通区域”的要求是重要的要求是重要 的的.如本例若取沿如本例若取沿 y 轴由点轴由点 A 到点到点 D 的路径的路径 ,虽虽 2L然算起来很简单然算起来很简单,但却不可用但却不可用.因为任何包含因为任何包含 2LL与与的单连通区域必定含有奇点的单连通区域必定含有奇点 E.200

22、7年8月南京航空航天大学 理学院 数学系41dyyfdxxfdzyxfz ),(:前前面面讲讲过过).,()2(;),()1(,),(),(:yxuyxudyyxQdxyxP如如何何求求出出的的全全微微分分它它是是某某一一函函数数在在什什么么条条件件下下已已知知反反过过来来的的问问题题 二元函数的全微分二元函数的全微分2007年8月南京航空航天大学 理学院 数学系42 设设开开区区域域G是是一一个个单单连连通通域域,函函数数),(),(yxQyxP在在G内内具具有有一一阶阶连连续续偏偏导导数数,则则dyyxQdxyxP),(),(在在G内内为为某某一一函函数数),(yxu的的全全微微分分的的充

23、充要要条条件件是是等等式式xQyP 在在G内内恒恒成成立立.定理定理 3 3 ),(),(0),(),(),(yxyxodyyxQdxyxPyxu2007年8月南京航空航天大学 理学院 数学系43.),(:),(:2,000内与路径无关的曲线积分在终点，起点由定理内有设在单连通区域GyxMyxMxQyPGxQyPxQyxuyPyxuyxQyuyxPxudyyxQdxyxPyxdu 22),(),(),(),(),(则则，设设证明证明2007年8月南京航空航天大学 理学院 数学系44 ),(),(00),(),(),(),(yxyxLdyyxQdxyxPdyyxQdxyxP ),(),(0),(

24、:),(.,yxyxoQdyPdxyxuyxuyx记记为为的的函函数数是是起起点点固固定定时时),(),(:的的原原函函数数称称为为下下面面将将证证明明QdyPdxyxuQdyPdxyxdu ),(),(yxQyuyxPxu 即即2007年8月南京航空航天大学 理学院 数学系45yOxGM0(x0,y0)M(x,y)N(x+x,y)xyxuyxxuxux ),(),(lim0事实上，事实上，xyxyxMNyxyxxoo ),(),(),(),(000limxyxyxyxxyxxoo ),(),(),(),(000limxdxyxPxxxx ),(lim0),(),(lim0yxPxxyPx 2

25、007年8月南京航空航天大学 理学院 数学系46xQyP 若若 ),(),(00),(yxByxAQdyPdxyxu则则dyyxQdxyxPyyxx),(),(000 ),(0yxC),(yxB xyo),(00yxA dxyxPdyyxQxxyy),(),(000 或或2007年8月南京航空航天大学 理学院 数学系47.:22并并求求出出一一个个这这样样的的函函数数函函数数的的全全微微分分是是某某个个面面内内在在整整个个验验证证ydyxdxxyxoy.22是是某某个个函函数数的的全全微微分分ydyxdxxy 2202202020),()0,0(2000),(yxydyxydyxxydyxxd

26、xyxuyyxBAAyx XB(x,y)A(x,0)yO(0,0)222(,)PxyQx yPQxyx yxoyyx整个平面例例4解解2007年8月南京航空航天大学 理学院 数学系48积积分分与与路路径径无无关关xQyP ，解解,2)(2xyxyyyP ),()(xyxyxxQ ,),(2xyyxP),(),(xyyxQ 2007年8月南京航空航天大学 理学院 数学系49由由0)0(，知知0 c 2)(xx .故故 )1,1()0,0(2)(dyxydxxy由由xyxy2)(cxx 2)(10100ydydx.21 2007年8月南京航空航天大学 理学院 数学系50小结小结(P.243(P.243 定理定理8.2)8.2)与路径无关的四个等价命题与路径无关的四个等价命题条条件件在在单单连连通通开开区区域域D上上),(),(yxQyxP具具有有连连续续的的一一阶阶偏偏导导数数,则则以以下下四四个个命命题题成成立立.LQdyPdxD与与路路径径无无关关内内在在)1(CDCQdyPdx闭闭曲曲线线,0)2(QdyPdxduyxUD 使使内内存存在在在在),()3(xQyPD ,)4(内内在在等等价价命命题题