大学物理：第9章 简谐振动

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1、1第第 九九 章章 简谐振动简谐振动第十章第十章 机械波机械波第十一章第十一章 波动光学波动光学23 机械振动：机械振动：物体位置在某一值附近来回物体位置在某一值附近来回往复往复的变化的变化 9.1 9.1 简谐振动简谐振动广义振动：广义振动：一个物理量在某一定值附近往复变化一个物理量在某一定值附近往复变化简谐振动简谐振动 Simple harmonic vibration简谐振动是振动的基本模型简谐振动是振动的基本模型，一般振动是多个简谐振动的一般振动是多个简谐振动的合成，合成，或者说：或者说：振动的理论建立在简谐振动的基础上。振动的理论建立在简谐振动的基础上。一、简谐振动方程一、简谐振动方

2、程1.简谐振动的定义简谐振动的定义 物体运动时，如果离开平衡位置的位移按余弦函数物体运动时，如果离开平衡位置的位移按余弦函数（或正弦函数）的规律随时间变化。（或正弦函数）的规律随时间变化。42.简谐振动运动学方程简谐振动运动学方程位移位移xA振幅振幅最大位移；最大位移；由初始条件决定由初始条件决定tAxcoskm0 xx弹簧谐振子弹簧谐振子特征量：特征量：圆频率（圆频率（角频率角频率）单位：单位：m单位：单位：m,cm单位：单位：-1rad s53.简谐振动动力学方程简谐振动动力学方程设弹簧原长为坐标原点设弹簧原长为坐标原点22txmkxdd022xmktxdd0222xtxdd由牛顿第二定律

3、由牛顿第二定律令令mk2 简谐振动简谐振动整理得整理得以弹簧谐振子为例以弹簧谐振子为例kmxoxkxxxFmatAxcos上述方程的解为上述方程的解为6tAxcossinxAtt vddcos2Atv22cosaAttxvdd2cosaAt二、简谐运动的速度及加速度二、简谐运动的速度及加速度atotoxtovvmA 2maA ToxtvAAa2A7三、简谐振动的振幅、周期、频率三、简谐振动的振幅、周期、频率和相位和相位atotoxtov1）、振幅振幅 A2)、周期周期 T3)、频率频率 Tv122vT角频率4)、相位相位()t0t时时t为为初相位初相位2T/2T1、谐振动参量、谐振动参量相位概

4、念：相位概念：1.描述振动系统描述振动系统形象状态形象状态的物理量。的物理量。()txv02223A00A0A0-A0A2.描述振动系统状态的描述振动系统状态的变化趋势。变化趋势。3.描述频率相同的两振动系统的描述频率相同的两振动系统的振动变化步调。振动变化步调。相位超前相位超前相位落后相位落后cos()xAtsin()dxAtdt 2.2.振动曲线振动曲线图tx a.a.振动曲线的画法振动曲线的画法用平移用平移X X轴法轴法以以tAxcos的的x-tx-t图为基准，图为基准，x xt tO OA A例如：例如：)cos(tAx)(costA根据初相根据初相的正负确定的正负确定X X轴的移向轴

5、的移向原则：原则：方法：方法：当当0 0时，将时，将X X轴向右移动轴向右移动Tt2当当0 0时，将时，将X X轴向左移动轴向左移动2Tcos()xAtxtxttx)cos(tAx)cos(tAxtAxcostAxcosX X轴右移轴右移2TtxX X轴左移轴左移2T例：由振动方程画振动曲线例：由振动方程画振动曲线)2cos(tAx2Tt4T)cos(tAx1）、）、2）、）、X X轴向右平移：轴向右平移：x xt tO OA AX X轴向右平移轴向右平移x xt tO OA At tx xO O-A-Ax xt tO O2T22Ttt tO Ox xt tx xO O32Tt 32Tt)3c

6、os(tAx)3cos(tAx3）、）、X X轴向右平移：轴向右平移：x xt tO OA A4）、）、X X轴向左平移：轴向左平移：x xt tO OA AA/2A/2A/26T6T两振动的相差为：两振动的相差为：)cos(222tAx)cos(111tAx3 3.相位差相位差(振动曲线表示）振动曲线表示）设有两个设有两个同频率同频率的谐振动，表达式分别为的谐振动，表达式分别为：a.a.当当D D =2 2k k ,(,(k k=0,1,2,=0,1,2,)时时221用两个谐振动的相位差可比较其振动步调上的差异用两个谐振动的相位差可比较其振动步调上的差异012D两振动步调相同两振动步调相同,

7、称同相。称同相。x x1 1t tx xo o-A-A1 1A A1 1T T-A-A2 2A A2 2x x2 212)()(12Dtt任意时刻的相差都等于初相之差。任意时刻的相差都等于初相之差。b.b.当当D D =(2(2k k+1)+1),(,(k k=0,1,2,=0,1,2,)时时两振动步调相反两振动步调相反 ,称反相。称反相。2221D12c.c.当当0 0时时称第二个振动超前称第二个振动超前第一个振动第一个振动21020212Dx x1 1x xt to oT TA A1 1-A-A1 1x x2 2A A2 2-A-A2 2t tx xo oT Tx x1 1A A1 1-A

8、-A1 1x x2 2A A2 2-A-A2 2超前、落后以超前、落后以 的相差来判断的相差来判断 Dd.d.当当0 0时时称第二个振动落后第一个振动称第二个振动落后第一个振动相位差也可以用来比较不同物理量变化的步调相位差也可以用来比较不同物理量变化的步调tAxcosmvv(A)sin t 2Acos()t简谐振动中速度比位移超前简谐振动中速度比位移超前/2/2，加速度比位移超前，加速度比位移超前。tx,v,aTT2xvaAcos(2)t2m(A)cosaat 1622002vAx 100vtgx 0cosxA 0sinvA 解方程组可得：解方程组可得：4.4.初始条件决定简谐振动的振幅和初相

9、位初始条件决定简谐振动的振幅和初相位由初始条件由初始条件 和和 有：有：0 x0v17判断一个振动是简谐振动的方法：运动学：cos()xAt动力学：0222xtxddFx 18如图，求振动方程。如图，求振动方程。解：解：由图可知由图可知cmA5.0sT2)1(2sT初始条件：初始条件：000cos0.5cos0.25(cm)xA5.0cos003 0sin0A 0v0sin030)3cos(5.0tx(cm)(cm)例例1 1初始条件：初始条件：00vx(cm)0.25-0.5O t(s)22/319例2：物理摆 质量m，长为l的匀质细棒，悬挂在水平轴O点，如图所示，开始棒在垂直位置OO处，处

10、于平衡状态，将棒拉开微小角放手，棒将在重力作用下，绕O点在竖直平面内来回摆动，若不计棒与轴的摩擦力和空气阻力，棒将摆动不止。试证明在摆角很小时，细棒的摆动为简谐振动，并求振动周期。20例3：水平弹簧谐振子中，设弹簧劲度系数k=1.6N/m,物体质量m=0.4kg，今把物体向右拉至距平衡位置0.1m处并给一向右初速度大小为0.2m/s,然后放手，求物体放手后3s末运动状态。kmx00.1m21四四.旋转矢量和参考圆旋转矢量和参考圆)cos(tAx用匀速圆周运动、几何方法描述简谐振动用匀速圆周运动、几何方法描述简谐振动AA 以角速度以角速度逆时针转逆时针转xy0Atvv0 x在在x轴上的投影：轴上

11、的投影：)(t 直观地表达了直观地表达了 直观地表达振动状态直观地表达振动状态x、v 采用旋转矢量法，可直观地领会简谐振动表达式中各采用旋转矢量法，可直观地领会简谐振动表达式中各个物理量的意义。个物理量的意义。的长度的长度A振幅振幅A A旋转的角速度旋转的角速度A振动角频率振动角频率与与x x轴的夹角轴的夹角A表示振动的相位表示振动的相位t 的端点在的端点在x x 轴的投影点的运动规律：轴的投影点的运动规律：A)cos(tAxx xO Ot=ot=oAtt t时刻时刻O Ox xt=ot=oAtt t时刻时刻0t时时tt 时时表示振动的初位表示振动的初位)cos(111tAx12)cos(22

12、2tAx相位差等于初相之差！相位差等于初相之差！)()(12Dtt2 2.两个同频率的简谐振动在同一时刻的相位差两个同频率的简谐振动在同一时刻的相位差1 1.同一简谐振动在不同时刻的相位差同一简谐振动在不同时刻的相位差)(12tt)()(12Dttx xO OAt=tt=t1 1t=tt=t2 2Ax xO O11AD2A2tDx xt tA AO O例：用旋转矢量表示振动状态。例：用旋转矢量表示振动状态。1）.x xt t-A-AO O2）.tAxcos)cos(tAxx xO OAt=0t=00 x xO OAt=0t=0 x xt tA AO Ox xt tA AO O4）.3）.2t=

13、0t=0)2cos(tAx)2cos(tAxx xO Ot=0t=0A2x xO OAAA/2x xt tO OA/2Ax xt tO O335）.6）.t=0t=0AAt=0t=0)3cos(tAx)3cos(tAxx xO Ox xO O-A/2Ax xt tO OA-A/2tx xO O3232)32cos(tAx)32cos(tAx7）.8）.At=0t=0 x xO OAt=0t=0O Ox x例：由振动曲线和旋转矢量求振动周期例：由振动曲线和旋转矢量求振动周期AA/2x xt t（s)s)O O1解：解：)3cos(tAx时1t0 x0)3cos(tsT4.22365O Ox x3

14、质点由质点由A/2A/2到平衡位置的时间为到平衡位置的时间为1s1s即：即：14DTt另解：另解：At=0t=0A质点由质点由A/2A/2到到A A，旋转矢量转过的角度为，旋转矢量转过的角度为/3/3AA/2x xt t（s)s)O O1O Ox xt=0t=0A3)()(12Dtt632TTtDD)(4.2sT)(146sTT即质点在即质点在A/2A/2和和A A两个状态下的相位差两个状态下的相位差3tD30例：质量为例：质量为m的质点和劲度系数为的质点和劲度系数为k 的弹簧组成的弹簧谐振子，的弹簧组成的弹簧谐振子，t=0时，质点过平衡位置且向正方向运动。时，质点过平衡位置且向正方向运动。求

15、：物体运动到负的二分之一振幅处时所用的求：物体运动到负的二分之一振幅处时所用的最短时间最短时间0tDtDDt6776k mxo解：设解：设 t 时刻到达末态时刻到达末态由已知画出由已知画出t=0 时刻的旋矢图时刻的旋矢图再画出末态的旋矢图再画出末态的旋矢图由题意选蓝实线所示的位矢由题意选蓝实线所示的位矢设始末态位矢夹角为设始末态位矢夹角为 得得331例：质量m=0.1kg的物体悬挂一弹簧下端，如图，从平衡位置下拉0.1m后由静止释放，测得其周期为2s试求（1）物体的振动方程；（2）物体首次经过平衡位置上方0.05m处的速度 （3）物体从平衡位置上方0.05m处运动到平衡位置下方0.05m处所需

16、的最短时间。0.1mmkyO32例：一质点沿x轴做简谐振动，振动曲线如图所示，试求：（1）t=0和t=1s时，质点的振动状态及相应的相位。（2）质点的简谐振动方程-0.010.02x xt tO O133kmx0 x系统机械能守恒，以弹簧原长为势能零点系统机械能守恒，以弹簧原长为势能零点21122mkxc2v22211sin()22kEmmAt2v2mk222111222mkxmA2v221kA以弹簧谐振子为例：以弹簧谐振子为例：cossinxAtAt v22211cos()22pEkxkAtkpEE2221cos()2mAt34otxotpEkEpkEEETT2T2T2T2T2221sin(

17、)2kEmAt221cos()2pEkAt35 当一个物体同时参与几个谐振动时就需考虑振动的合当一个物体同时参与几个谐振动时就需考虑振动的合成问题。成问题。两个振动方向相同、频率相同简谐振动的合成两个振动方向相同、频率相同简谐振动的合成12cos()xxxAt线性叠加线性叠加21xxx111cos()xAt222cos()xAt 两个两个同方向同频率同方向同频率简谐运动合成后仍为简谐运动合成后仍为同同频率的频率的简谐简谐振动振动 合振动的振幅合振动的振幅2212122cosAAAA AD21D11221122sinsintgcoscosAAAA 合振动的初相位合振动的初相位36 同方向同频率简

18、谐振动的合成的同方向同频率简谐振动的合成的11A1xx021xxx11221122sinsint gcoscosAAAA)cos(212212221AAAAA)cos(111tAx222cos()xAtAx2x2A2)cos(tAx在在t t=0=0 时刻：时刻：在任意在任意t t 时刻：时刻：37120cos()xxxAt2212122cosAAAA A D D 对合成谐振动的讨论对合成谐振动的讨论（1 1）相位差相位差212kD),2 1 0(，k12AAA(同相同相)xxtooA1A2AT相互加强相互加强38（2 2）相位差相位差)12(12Dk),1 0(，kxxtooT2A21AA1

19、2AAA(反相反相)相互削弱相互削弱（3 3）一般情况一般情况1212AAAAA 12DD其它值其它值3911Axo 多个同方向同频率简谐运动多个同方向同频率简谐运动的的合成合成2A23A3)cos(tAxnxxxx21)cos(111tAx)cos(222tAx)cos(nnntAxA多多个个同同方向方向同同频率简谐运动频率简谐运动合成合成仍为仍为简谐简谐运动运动40例：已知例：已知一质点同时参与了三个简谐振动，一质点同时参与了三个简谐振动，x1=Acos(t+/3),x2=Acos(t+5/3),x3=Acos(t+)。求求其合振动方程。其合振动方程。X=05cos()cos()33xAtAt 解法一：解法一：3Xxx 解法二：解法二：旋转矢量法旋转矢量法xo335AAAx1+x222cos()cos()3At cos()At cos()cos()AtAt 0