大学物理：第二十章振动

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1、 第二十章第二十章 振动振动20.120.1、2 2简谐振动的描述简谐振动的描述20.3 20.3 简谐运动的能量简谐运动的能量20.6 20.6 同一直线上同频率的简谐振动的合成同一直线上同频率的简谐振动的合成20.7 20.7 同一直线上不同频率的简谐振动的合成同一直线上不同频率的简谐振动的合成 广义振动：一个物理量在某一定值附近往复变化，广义振动：一个物理量在某一定值附近往复变化，该物理量的运动形式称振动。该物理量的运动形式称振动。振动有各种不同的形式振动有各种不同的形式 机械振动机械振动：位移：位移x x随时间随时间t t的往复变化的往复变化弹簧振子弹簧振子X振动的几个基本概念振动的几

2、个基本概念微观振动微观振动：如晶格点阵上原子的振动：如晶格点阵上原子的振动电磁振动电磁振动：电场、磁场等电磁量随：电场、磁场等电磁量随t t的往复变化的往复变化 +-振荡电路振荡电路 机械振动机械振动 物体围绕一固定位置往复运动物体围绕一固定位置往复运动.其运动形式有直线、平面和空间振动其运动形式有直线、平面和空间振动.例如一切发声体、心脏、海浪起伏、地震以及晶体例如一切发声体、心脏、海浪起伏、地震以及晶体中原子的振动等中原子的振动等.心房室压强心房室压强共振共振(简谐振动）简谐振动）振动振动受迫振动受迫振动自由振动自由振动阻尼自由振动阻尼自由振动无阻尼自由振动无阻尼自由振动无阻尼自由非谐振动

3、无阻尼自由非谐振动无阻尼自由谐振动无阻尼自由谐振动 振动的形式振动的形式:20.1、2 简谐振动的描述简谐振动的描述弹簧振子的振动弹簧振子的振动xkf0222xdtxd角频率角频率mk(弧度弧度/秒秒)22dtxdmmafcos()xAt简谐运动方程简谐运动方程:022xmkdtxdfv0fXO-A-AA A特点特点:1.1.是等幅振动是等幅振动 2.2.是等周期振动是等周期振动XO-A-AA A一、简谐振动的定义一、简谐振动的定义 )cos(tAxxkf物体运动时，离开平衡位置的位移按物体运动时，离开平衡位置的位移按余弦余弦(或正弦或正弦)规律随规律随时间变化。时间变化。作简谐运动的质点所受

4、的沿位移方向的合外力作简谐运动的质点所受的沿位移方向的合外力,与位移与位移成正成正比且反向比且反向。1 1、运动学定义、运动学定义2 2、动力学定义、动力学定义恢复力恢复力xkf0222xdtxdfv0fXO-A-AA A二、简谐运动动力学方程二、简谐运动动力学方程:)cos(tAxmk固有角频率固有角频率根据初始条件根据初始条件0 xx 0vv 0t时时cos0Ax sin0Av202)(vxAo)(00 xvarctgdxdt0sin()At 22d xadt20cos()At mA2maA202)(vxAofv0fXO-A-AA A)(00 xvarctg在在 到到 之间，通常之间，通常

5、 存在两个可能的取值存在两个可能的取值可根据可根据进行取舍进行取舍如：如：当：当：则可判断则可判断sin0Av21cos33或00v3220202vxAkE02)2121(22020mvkxkkmvx202002EAk讨论讨论三、简谐振动特征参量三、简谐振动特征参量1、表征振动能量的特征参量：、表征振动能量的特征参量：0cos()xAt0cos()AtTfv0fXO-A-AA A02EAk振幅振幅 A2、表征振动周期性的特征参量：、表征振动周期性的特征参量：1）角频率）角频率0cosAtT2T/2T2）周期周期 T即往复一次所经历的时间即往复一次所经历的时间单位时间内振动往复的次数单位时间内振

6、动往复的次数3)频率频率 Tv12T2物体在物体在22秒内所作全振动的次数。秒内所作全振动的次数。mkkmT2mk21)2cos(TtAxtAx2cos3、相位相位0()t0010 xtgv0t时时00t为初相位为初相位0cos()xAt由初始条件由初始条件00vx 和1）.描述振动系统描述振动系统形象状态形象状态的物理量。的物理量。0cos()xAt0sin()dxAtdt)(0txv02223A00A0A0-A0A2）描述振动系统状态的）描述振动系统状态的变化趋势。变化趋势。3）描述频率相同的两振动系统的）描述频率相同的两振动系统的振动变化步调。振动变化步调。（或两物理量）（或两物理量）相

7、位超前相位超前相位落后相位落后xtxttx)cos(tAx)cos(tAxtAxcostAxcosX X轴右移轴右移2TtxX X轴左移轴左移2T四、四、振动曲线振动曲线图tx 以以 为为原点旋转矢原点旋转矢量量 的端点的端点在在 轴上的轴上的投影点的运投影点的运动为简谐运动为简谐运动动.xAoxoAcos0Ax 当 时0t0 x五五.旋转矢量描述旋转矢量描述 以以 为为原点旋转矢原点旋转矢量量 的端点的端点在在 轴上的轴上的投影点的运投影点的运动为简谐运动为简谐运动动.xAoxoAtt t)cos(tAx时)cos(tAx 旋转旋转矢量矢量 的的端点在端点在 轴上的投轴上的投影点的运影点的运

8、动为简谐动为简谐运动运动.xA注意：注意：旋转矢旋转矢量本身不是做量本身不是做简谐运动！简谐运动！（旋转矢量旋转一周所需的时间）2T用旋转矢量图画简谐运动的用旋转矢量图画简谐运动的 图图tx用匀速圆周运动表示简谐运动的速度变化。用匀速圆周运动表示简谐运动的速度变化。Amv做匀速圆周运动的质点的速率是：做匀速圆周运动的质点的速率是：在时刻在时刻t t，它在它在x x轴上的投影是轴上的投影是)2 cos()sin(tAtmvv这就是简谐运动的速度公式。这就是简谐运动的速度公式。2nAa 在时刻在时刻t t，它在它在x x轴上的投影是轴上的投影是)2 cos()cos(2tAtnaa这就是简谐运动的

9、加速度公式。这就是简谐运动的加速度公式。用匀速圆周运动表示简谐运动的加速度变化。用匀速圆周运动表示简谐运动的加速度变化。)2 cos(tAv)cos(2tAa2 tmvvxy0At)cos(tAxnaa参考圆：参考圆：由于匀速圆周运动和简谐运动的关系，所由于匀速圆周运动和简谐运动的关系，所以常常用匀速圆周运动来研究简谐运动，那个对应以常常用匀速圆周运动来研究简谐运动，那个对应的圆周叫的圆周叫参考圆参考圆。xoA振幅矢量：振幅矢量：上图中长度等于振幅的径矢叫上图中长度等于振幅的径矢叫振幅矢量振幅矢量。几个概念几个概念向量图法：向量图法：如果用如右如果用如右图的图表示作匀速圆周图的图表示作匀速圆周

10、运动的质点的初始径矢运动的质点的初始径矢位置，并标以位置，并标以 ，则相，则相应的简谐运动的三个特应的简谐运动的三个特征量都表示出来，用这征量都表示出来，用这样一个图表示确定的简样一个图表示确定的简谐运动叫谐运动叫向量图法向量图法。AxmoA(1)(1)AxmoA/2Av(2)(2)AxmoAv(3)(3)AxmoAv/2A(4)(4)AxmoA(5)(5)AxmoAv/2A(6)(6)AxmoAv(7)(7)AxmoA(1)(1)AxmoAv(8)(8)/2A例：用旋转矢量表示振动状态。例：用旋转矢量表示振动状态。x xt t-A-AO O1）.)cos(tAxx xO OAt=0t=0 x

11、 xt tA AO O2）.)2cos(tAxx xO Ot=0t=0A2AA/2x xt tO O33）.t=0t=0A)3cos(tAxx xO OA-A/2tx xO O32)32cos(tAx4）.At=0t=0O Ox xx (cm)0.25-0.50 t(s)2求：振动方程求：振动方程（振动表达式）（振动表达式）解：解：由图可知由图可知cmA5.0sT2)1(2sT初始条件：初始条件：0cos0.5cos0.25()xAcmcos0.53)3cos(5.0tx对吗？对吗？初始条件初始条件v00sin0A sin03)3cos(5.0tx例例1(cm)0 xAA/2/3-/3Av0A

12、Ax2AtoabxAA0at3 TTt6123v2Abt例如：已知周期例如：已知周期T T，求从，求从a-a-b b所用时间。所用时间。1 1、同一简谐振动在不同时刻的相位差、同一简谐振动在不同时刻的相位差x xO OAt=tt=t1 1t=tt=t2 2A)()(12ttt)(12tt 六六 相位差相位差两振动的相差为：两振动的相差为：设有两个设有两个同频率同频率的谐振动，表达式分别为：的谐振动，表达式分别为：任意时刻的相差都等于初相之差。任意时刻的相差都等于初相之差。)cos(111tAx)cos(222tAx)()(12tt122 2 两个同频率的简谐振动在同一时刻的相位差两个同频率的简

13、谐振动在同一时刻的相位差用两个谐振动的相位差可比较其振动步调上的差异用两个谐振动的相位差可比较其振动步调上的差异1)1)当当 =2 2k k ,(,(k k=0,1,2,=0,1,2,)时时122012两振动步调相同两振动步调相同,称称同相同相。x x1 1t tx xo o-A-A1 1T T-A-A2 2x x2 2x xO O2A1A2)2)当当 =(2(2k k+1)+1),(,(k k=0,1,2,=0,1,2,)时时两振动步调相反两振动步调相反 ,称称反相反相。222112x x1 1x xt to oT TA A1 1-A-A1 1x x2 2A A2 2-A-A2 2x xO

14、O2A1A3)3)当当0 0时时称第二个振动超前第称第二个振动超前第一个振动一个振动21020212t tx xo oT Tx x1 1A A1 1-A-A1 1x x2 2A A2 2-A-A2 2x xO O2A1A超前、落后以超前、落后以 的相差来判断的相差来判断 4)4)当当0 0时时称第二个振动落后第一个振动称第二个振动落后第一个振动xx2ToA1-A1A2-A2x1t振动的领先与落后振动的领先与落后 在右图中，在右图中，x x1 1与与x x2 2两振动两振动谁领先谁领先?思考思考cos2coscos2tAatAtAxxaAAA2由图看出：速度超前位移由图看出：速度超前位移23、相

15、位差也可以用来比较不同物理量变化的步调、相位差也可以用来比较不同物理量变化的步调加速度超前速度加速度超前速度2例例2 2：由振动曲线和旋转矢量求振动周期：由振动曲线和旋转矢量求振动周期AA/2x xt t（s)s)O O1解：解：)3cos(tAx时1t0 x0)3cos(tsT4.22365O Ox x3质点由质点由A/2A/2到平衡位置的时间为到平衡位置的时间为1s1s另解：另解：At=0t=0A质点由质点由A/2A/2到到A A，旋转矢量转过的角度为，旋转矢量转过的角度为/3/3AA/2x xt t（s)s)O O1O Ox xt=0t=0A3)()(12tt632TTt)(4.2sT)

16、(146sTT即质点在即质点在A/2A/2和和A A两个状态下的相位差两个状态下的相位差3t 例例3 3 一物体沿一物体沿X X 轴作简谐振动，振幅轴作简谐振动，振幅A=0.12m,A=0.12m,周期周期T=2sT=2s。当当t=0t=0时时,物体的位移物体的位移x=0.06m,x=0.06m,且向且向X X轴正向运动。求轴正向运动。求:1:1、简谐、简谐振动表达式；振动表达式；2 2、t=T/4t=T/4时物体的位置、速度和加速度；时物体的位置、速度和加速度；3 3、物体从物体从x=-0.06mx=-0.06m向向X X轴负方向运动，第一次回到平衡位置所需轴负方向运动，第一次回到平衡位置所

17、需时间。时间。解解:t=T/4t=T/46O Ot=0t=0 x x3AAt=tt=t1 1A32At=tt=t2 223 例例3 3 一物体沿一物体沿X X 轴作简谐振动，振幅轴作简谐振动，振幅A=0.12m,A=0.12m,周期周期T=2sT=2s。当当t=0t=0时时,物体的位移物体的位移x=0.06m,x=0.06m,且向且向X X轴正向运动。求轴正向运动。求:1:1、简谐、简谐振动表达式；振动表达式；2 2、t=T/4t=T/4时物体的位置、速度和加速度；时物体的位置、速度和加速度；3 3、物体从物体从x=-0.06mx=-0.06m向向X X轴负方向运动，第一次回到平衡位置所需轴负

18、方向运动，第一次回到平衡位置所需时间。时间。取平衡位置为坐标原点取平衡位置为坐标原点,则振动方程为：则振动方程为：)cos(12.0tx解解:A=0.12mA=0.12m)(s21T1)1)T=2s T=2s x x0 0=0.06m=0.06m初始条件：初始条件：t=0t=0时时00v06.0cos12.030sin0Av3所以所以(m)3cos(12.0tx振动方程为：振动方程为：2)2)3sin(12.0t时sTt5.04)35.0cos(12.0 x1sm18.0O Ot=0t=0 x x3Atxvddm104.0At=T/4t=T/46At=0t=0O Ox x3x x0 0)35.

19、0sin(12.0)s(m)3cos(12.0dd22ttva22sm03.1)35.0cos(12.0设设t t1 1时刻时刻,物体位于物体位于x=-0.06mx=-0.06m处处3 3）解法一：直接用相量图求解解法一：直接用相量图求解其相位为：其相位为：t=T/4t=T/46O Ot=0t=0 x x3AA323231ts11t物体在物体在t t2 2时刻第一次回到平衡位时刻第一次回到平衡位置置其相位为：其相位为：23t=tt=t1 1A32At=tt=t2 2232332t 因此从因此从x=-0.06mx=-0.06m处第一处第一次回到平衡位置的时间：次回到平衡位置的时间：s83.012

20、ttt从从t t1 1时刻到时刻到t t2 2时刻所对应的相位差为时刻所对应的相位差为653223s83.12ts83.0t23t=tt=t2 2t=tt=t1 1t=T/4t=T/46O Ot=0t=0 x x3AAA23A解法二：解法二：t由：由：22dtdml m m方法：方法：由分析受力入手，用牛顿定律列振动的动力学方程，由分析受力入手，用牛顿定律列振动的动力学方程，求解得振动方程，即可进行研究求解得振动方程，即可进行研究1 1 单摆单摆 很小时很小时(小于小于 )5mgftsintmamgsingm T Tcosmgsinmgsin022lgdtdlg)cos(maxt令令解得：解得

21、：glT2单摆的等时性：单摆的等时性：其他简谐振动实例：其他简谐振动实例：2 2 竖直弹簧振子竖直弹簧振子xkmgmafmgxxkf平衡位置处：平衡位置处：任意位置处：任意位置处：而而由以上三式可得由以上三式可得makx 即：即：022xmkdtxd 与水平弹簧振子相同，只改与水平弹簧振子相同，只改变平衡位置变平衡位置自然状态自然状态平衡位置平衡位置任意位置任意位置mgmgf f0 0 x xxx x0sin00Av例：例：水平弹簧振子弹簧倔强系数水平弹簧振子弹簧倔强系数 k=10 N/m,物体质物体质量量 m=0.3 kg,初始位移和初始速度分别为：初始位移和初始速度分别为：x0=0.1m,

22、v0=-1 m/s,写出弹簧振子的振动方程。写出弹簧振子的振动方程。020.2()EAmk解：解：,310mk,3,5.0cos00Ax由于由于01 0,0.2 co s()()333xtmox0v20.3 简谐振动的能量简谐振动的能量动能：动能：势能：势能：系统总的机械能：系统总的机械能：221kxEp221mvEk)(sin21222tAm)(cos2122tkApkEEE)(cos21)(sin2122222tkAtAmmk2212kAkEkEA022 表明简谐振动的机械能守恒。表明简谐振动的机械能守恒。221sin()2kAt讨论讨论221sin()2kEkAt221cos()2pEk

23、At212EkA1 1、谐振子的动能、势能和总能量随时间的变化曲线、谐振子的动能、势能和总能量随时间的变化曲线221kAE kpEE kEPEtAxcostx0Et022011sin()2TkEkAtdtT241kA2 2、能量平均值、能量平均值dttkATETp022)(cos211241kA2EEEpk020.6 20.6、7 7简谐运动的合成简谐运动的合成21AAA合矢量沿合矢量沿x x轴的轴的投影表示了合投影表示了合运动的规律。运动的规律。用旋转矢量法求合振动：用旋转矢量法求合振动：xo1A11x2xx2x2A2)cos(212212221AAAAAcos()At22112211cos

24、cossinsintgAAAA111cos()xAt222cos()xAt12xxx一、同一直线上两个同频率的简谐振动的合成一、同一直线上两个同频率的简谐振动的合成212122212AAAAAAA同相迭加，两分振动相互加强，合振幅最大。同相迭加，两分振动相互加强，合振幅最大。2,0,1,2,kk 1 当时1)cos(12讨论讨论x01A2AAt to ox xT Tx x1 1x x2 2x x)cos(212212221AAAAA12cos()xxAt 反相迭加，两分振动相互减弱，合振幅最小反相迭加，两分振动相互减弱，合振幅最小。(21),0,1,2,kk2.当时212122212AAAAA

25、AA1)cos(12当当A A1 1=A A2 2 时，时，A A=0=0。质点处于静止质点处于静止.x01A2AAx xt to ox x1 1x x2 2x x)cos(212212221AAAAA12cos()xxAt3.3.为其它值时，为其它值时，合振幅介于合振幅介于 和和 之间。之间。21AA 21AA 分振动的相差对合振动起着重要的作用。分振动的相差对合振动起着重要的作用。k2)(2010)12()(2010k2121AAAAA21AAA21AAA其它值)(2010)cos(021tAxxx(同相同相)(反相反相)t to ox xT Tx x1 1x x2 2x xx xt to

26、 ox x1 1x x2 2x x二、同一直线上的二、同一直线上的n个个同频率的简谐运动的合成同频率的简谐运动的合成taxcos1)cos(2tax)2cos(3tax)1(cosntaxn)cos(tAxaRACOxPMsin(2)1)sin(2)nAa 12)2nCOPCOM)2sin()2sin(naA)cos(tAx)(21nCOM)(21COP21nCOMCOPaRACOxPM讨论：讨论：1.2,0,1,2.kk 0sin(/2)limsin(/2)nAanaaaaA主极大主极大aRACOxPM2.2/,kn knk)2sin()2sin(naAsin()sin(/)kAakn0极小

27、极小3.一般情况一般情况(21),0,1,2.nkk 2AR次极大次极大 tA2cos212 t2cos21 21xxx)cos(111tAxtAx22cos 设两振动振幅相同设两振动振幅相同位移位移x xt to o2TT T23T2T2T分振动分振动1 1分振动分振动2 2合振动合振动122 为为一复杂振动一复杂振动和频和频差频差频振幅周期性变化振幅周期性变化三、同方向不同频率的两个简谐振动的合成三、同方向不同频率的两个简谐振动的合成特例：特例：两个谐振动振幅、初相相同，频率较高且很接近两个谐振动振幅、初相相同，频率较高且很接近即即:21或或:2112或ttt0 x1x2x1+x2)2cos()2cos(21212ttAx合振动合振动:tAA2)(cos21212()2近似谐振动近似谐振动:合振动的振幅随时间作缓慢的周期性的变化，振动出合振动的振幅随时间作缓慢的周期性的变化，振动出现时强时弱的现象。现时强时弱的现象。拍：拍：)2cos()2cos(21212ttAxttt0 x1x2x1+x2tAA2)(cos212212112222bT1bbvT21221作业：作业：3，4,5