高等数学：3(1)微分中值定理

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1、1 第三章第三章 微分中值定理与导数的应用微分中值定理与导数的应用 因为导数是函数随自变量变化的瞬时变因为导数是函数随自变量变化的瞬时变 所以可借助导数来研究函数所以可借助导数来研究函数.但每一点但每一点的导数仅仅是与局部有关的一点的变化性态的导数仅仅是与局部有关的一点的变化性态,要用导数来研究函数的全部性态要用导数来研究函数的全部性态,还需架起新还需架起新的的“桥梁桥梁”.中值定理中值定理(mean value theorem)化率化率,指导数在某个区间内所具有的一些重指导数在某个区间内所具有的一些重要性质要性质,它们都与自变量区间内部的某个它们都与自变量区间内部的某个中间值有关中间值有关.

2、2罗尔定理罗尔定理拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理小结小结 思考题思考题 作业作业柯西中值定理柯西中值定理第一节第一节 微分中值定理微分中值定理第三章第三章 微分中值定理与导数的应用微分中值定理与导数的应用推广 泰勒公式(第三节)3 本节的几个定理都来源于下面的明显的本节的几个定理都来源于下面的明显的AB在一条光滑的平面曲线段在一条光滑的平面曲线段AB上上,至少有至少有与连接此曲线两端点的弦与连接此曲线两端点的弦平行平行.几何事实几何事实:微分中值定理微分中值定理一点处的切线一点处的切线 连续的曲线弧、除端点外处处有不垂直连续的曲线弧、除端点外处处有不垂直于于x轴的切线轴的切线.有水平的切线有

3、水平的切线0)(fABxyO)(xfy 2 1 ABabC)()(bfaf 4罗尔定理罗尔定理:)(满足满足若函数若函数xf;,上连续上连续在闭区间在闭区间ba(1)(2);),(内可导内可导在开区间在开区间ba(3),()(bfaf 罗尔罗尔 Rolle,(法法)1652-1719,),(内至少存在一点内至少存在一点则在开区间则在开区间ba使得使得.0)(f如如,32)(2 xxxf).1)(3(xx,3,1上连续上连续在在 ,)3,1(内内可可导导在在 ,0)3()1(ff且且)3,1(1(,1 取取.0)(f),1(2)(xxf微分中值定理微分中值定理一、罗尔一、罗尔(Rolle)定理定

4、理5微分中值定理微分中值定理费马引理费马引理 费马费马 Fermat,(法法)1601-1665 有定义有定义,如果对如果对),(0 xUx 有有)()(0 xfxf),()(0 xfxf 或或.0)(0 xf那么那么证证 对于对于),(00 xUxx 有有)()(00 xfxxf 0,0 x若若xxfxxf )()(00,0 x若若;0;0)()(00 xfxxf xxfxxf )()(000(),fx且存在00()()f xxU x设函数在点 的某邻域内6微分中值定理微分中值定理费马引理费马引理有定义有定义,如果对如果对),(0 xUx 有有)()(0 xfxf),()(0 xfxf 或或

5、.0)(0 xf那么那么 0limx )(0 xf)()(00 xfxf )(0 xf 由极限的保号性由极限的保号性,0 x若若xxfxxf )()(00,0,0 x若若.0 xxfxxf )()(00 )(0 xf 0limx 函数的函数的驻点驻点(Stationary point),稳定点稳定点,临界点临界点(Critical point).00(),fx且存在00()()f xxU x设函数在点 的某邻域内7.)(mMb 若若),(afM 设设,),(内内至至少少存存在在一一点点则则在在ba.)(Mf 微分中值定理微分中值定理证证.)(mMa 若若.,)(mMbaxf和和最最小小值值有有

6、最最大大值值在在.)(Mxf 则则.0)(xf得得),(ba )(f都都有有罗尔定理罗尔定理:)(满足满足若函数若函数xf;,上连续上连续在闭区间在闭区间ba(1)(2);),(内可导内可导在开区间在开区间ba(3),()(bfaf,),(内至少存在一点内至少存在一点则在开区间则在开区间ba使得使得.0)(f.0所以最值不可能同时在端点取得所以最值不可能同时在端点取得.使使,xa b有有),()(fxf 由由费马引理费马引理,.0)(f8(1)定理条件不全具备定理条件不全具备,1,010,)(xxxxf1,1,|)(xxxf注注微分中值定理微分中值定理结论不一定成立结论不一定成立.罗尔定理罗尔

7、定理:)(满足满足若函数若函数xf;,上连续上连续在闭区间在闭区间ba(1)(2);),(内可导内可导在开区间在开区间ba(3),()(bfaf,),(内至少存在一点内至少存在一点则在开区间则在开区间ba使得使得.0)(f1xyO11 yxO1yxO(),0,1f xx x9(2)定理条件只是充分的定理条件只是充分的.本定理可推广为本定理可推广为:在在(a,b)内可导内可导,且且 )(lim0 xfax)(lim0 xfbx 则在则在(a,b)内至少存在一点内至少存在一点,使使.0)(f提示提示 )(xF设设axaf ,)0(bxaxf ,)(bxbf ,)0(证证 F(x)在在a,b上上满足

8、罗尔定理满足罗尔定理.设设微分中值定理微分中值定理罗尔定理罗尔定理:)(满足满足若函数若函数xf;,上连续上连续在闭区间在闭区间ba(1)(2);),(内可导内可导在开区间在开区间ba(3),()(bfaf,),(内至少存在一点内至少存在一点则在开区间则在开区间ba使得使得.0)(f注注()yf x10例例上上在在对函数对函数2,1,1074)(23 xxxxf证证(1)()1,2,(1,2),f x在上连续 在内可导0)1(f(2),0)(xf方程方程),2,1(2 x其其中中定理的假设条件满足定理的假设条件满足)2(f 结论正确结论正确有实根有实根即即07832 xx),374(311 x

9、)374(312 x.符符合合要要求求微分中值定理微分中值定理验证罗尔定理的正确性验证罗尔定理的正确性.罗尔定理肯定了罗尔定理肯定了 的存在性的存在性,一般没必要知道一般没必要知道究竟等于什么数究竟等于什么数,只要知道只要知道 存在即可存在即可.11例例.10155的正实根的正实根有且仅有一个小于有且仅有一个小于证明方程证明方程 xx证证,15)(5 xxxf设设,1,0)(连续连续在在则则xf,1)0(f且且 零点定理零点定理),1,0(0 x即为方程的小于即为方程的小于1的正实根的正实根.(1)存在性存在性.3)1(f.0)(0 xf使使微分中值定理微分中值定理12,),1,0(011xx

10、x 设设另另有有.0)(1 xf使使)(xf),(10之间之间在在至少存在一个至少存在一个xx.0)(f)1(5)(4 xxf但但,0.为为唯唯一一实实根根(2)唯一性唯一性使得使得)1,0(x对可导函数对可导函数 f(x),f(x)=0的两实根之间的两实根之间,在方程在方程0)(xf 的一个实根的一个实根.罗尔定理还指出罗尔定理还指出,至少存在方程至少存在方程之间之间在在10,xx满足罗尔定理的条件满足罗尔定理的条件.微分中值定理微分中值定理.10155的正实根的正实根有且仅有一个小于有且仅有一个小于证明方程证明方程 xx矛盾矛盾,故假设不真故假设不真!13例例满足条件满足条件设常数设常数n

11、ccc,10.01210 ncccn试证方程试证方程010 nnxcxcc.)1,0(内存在一个实根内存在一个实根在在分析分析注意到注意到:)12(1210 nnxncxcxcnnxcxcc 10)(xf微分中值定理微分中值定理14证证 设设,12)(1210 nnxncxcxcxf,1,0)(上上连连续续在在xf0)0(f,)1,0(内可导内可导在在)1(f 且且 罗尔定理罗尔定理(0,1),在内至少存在一个实数,0)(f使得使得即即010 nnccc .为所求实根为所求实根即即 x满足条件满足条件设常数设常数nccc,10.01210 ncccn试证方程试证方程010 nnxcxcc.)1

12、,0(内存在一个实根内存在一个实根在在微分中值定理微分中值定理15结结论论亦亦可可写写成成注注拉格朗日拉格朗日 Lagrange(法法)1736-1813 拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理:)(满足满足若函数若函数xf(1)(2),),(内至少存在一点内至少存在一点则在开区间则在开区间ba使得使得)()()(abfafbf ).()()(fabafbf 微分中值定理微分中值定理二、拉格朗日二、拉格朗日(Lagrange)中值定理中值定理 ,;a b在闭区间上连续,);a b在开闭区间(上可导16几何解释几何解释:上至少有上至少有在曲线弧在曲线弧 AB分析分析式式变变为为将将)()()(abfa

13、fbf ,0)()()(abafbff 定理的结论就转化为函数定理的结论就转化为函数,)()()()(xabafbfxfxg ,),(内内有有点点在在区区间间ba.AB,0)(的问题的问题使使 g化为化为罗尔定理罗尔定理.微分中值定理微分中值定理在该点处的切线在该点处的切线,C一点一点平行于弦平行于弦利用利用逆向思维逆向思维找出一个满足罗尔定理条件找出一个满足罗尔定理条件的函数的函数.)(xfy xyOABbaC1 2 D17证证 作作辅助函数辅助函数,)()()()(xabafbfxfxg 使使得得内内至至少少存存在在一一点点故故在在开开区区间间,),(ba.0)()()()(abafbff

14、g 由此得由此得).()()()(fabafbf )()(1)(bafabfabag 拉格朗日中值公式拉格朗日中值公式.也也成成立立对对ab ,)(上连续上连续在闭区间在闭区间baxg内内开区间开区间),(ba且且)(bg 易知易知,可导可导微分中值定理微分中值定理微分中值定理微分中值定理18它表明了函数在两点处的函数值它表明了函数在两点处的函数值)()()()(fabafbf 的单调性及某些等式与不等式的证明的单调性及某些等式与不等式的证明.在微分学中占有在微分学中占有极重要的地位极重要的地位.与导数间的关系与导数间的关系.今后要多次用到它今后要多次用到它.尤其可利用它研究函数尤其可利用它研

15、究函数微分中值定理微分中值定理19例例证明不等式证明不等式证证).(21xx ,arctan)(xxf 如果如果f(x)在某区间上可导在某区间上可导,要分析函数要分析函数在该区间上任意两点的函数值有何关系在该区间上任意两点的函数值有何关系,通常就想到微分中值定理通常就想到微分中值定理.记记,arctanarctan1212xxxx ,21上上在在xx利用微分中值定理利用微分中值定理,得得)(11arctanarctan12212xxxx ),(21xx ,1112 12arctanarctanxx ,12xx )()()(abfafbf ),(ba 微分中值定理微分中值定理20Lagrange

16、公式公式可以写成下面的各种形式可以写成下面的各种形式:.).)()()()1(时时也也成成立立当当baabfafbf )()()2(xfxxfxxxfy )()3(.的的精精确确表表达达式式增增量量 y 它表达了函数增量和某点的它表达了函数增量和某点的注注,未未定定这这里里 ,)(xf .之之间间和和在在xxx 但是增量、但是增量、这是十分方便的这是十分方便的.由由(3)式看出式看出,).10(导数之间的直接关系导数之间的直接关系.微分中值定理微分中值定理导数是个等式关系导数是个等式关系.拉格朗日中值定理又称拉格朗日中值定理又称拉格朗日中值公式又称拉格朗日中值公式又称有限增量公式有限增量公式.

17、有限增量定理有限增量定理.21推论推论,)(上的导数恒为零上的导数恒为零在区间在区间如果函数如果函数Ixf证证21,xxI上上任任取取两两点点在在区区间间)()()(1212xxfxfxf ),()(21xfxf 则则.)(Cxf.)(上是一个常数上是一个常数在区间在区间那末那末Ixf,由由拉拉氏氏定定理理有有由条件由条件,即在区间即在区间I中任意两中任意两点的函数值都相等点的函数值都相等,所以所以,),(21xx 0)(21xx 微分中值定理微分中值定理拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理:)(满足满足若函数若函数xf(1)(2),),(内至少存在一点内至少存在一点则在开区间则在开区间ba使得使

18、得)()()(abfafbf ,;a b在闭区间上连续(,);a b在开区间内可导22例例).11(2arccosarcsin xxx证明证明证证1,1,arccosarcsin)(xxxxf设设)11(11)(22xxxf .0 1,1,)(xCxf0arccos0arcsin)0(f又又20 ,2 .2 C即即.2arccosarcsin xx000由由推论推广推论推广微分中值定理微分中值定理自证自证).,(x,2cotarcarctan xx说明说明欲证欲证,Ix 只需证在只需证在 上上且且,0Ix 使使.)(00Cxf I0(),f xC()0,fx23例例.)1ln(1,0 xxxx

19、x 时时证明当证明当证证),1ln()(xxf 上上在在,0)(xxf),0)()0()(xffxf,11)(,0)0(xxff 由上式得由上式得,1)1ln(xxx 111,11111 x,11xxxx .)1ln(1xxxx 即即设设,0 x)0(x 由由x 0 关键关键微分中值定理微分中值定理 满足拉氏定理的条件满足拉氏定理的条件,24柯西柯西 Cauchy(法法)1789-1859柯西中值定理柯西中值定理:)()(满足满足及及若函数若函数xFxf;,上连续上连续在闭区间在闭区间ba(1)(2),),(内可导内可导在开区间在开区间ba,),(内至少存在一点内至少存在一点则在开区间则在开区

20、间ba使得使得,0)(xF且且)()()()()()(FfaFbFafbf 微分中值定理微分中值定理三、柯西三、柯西(Cauchy)中值定理中值定理广义微分中值定理广义微分中值定理25),(,)()()(baabfafbf ),(,)()()(baabFaFbF ),(,)()()()()()(baFfaFbFafbf 这两个这两个错错 !柯西中值定理柯西中值定理:)()(满足满足及及若函数若函数xFxf;,上连续上连续在闭区间在闭区间ba(1)(2),),(内可导内可导在开区间在开区间ba,),(内至少存在一点内至少存在一点则在开区间则在开区间ba使得使得,0)(xF且且)()()()()(

21、)(FfaFbFafbf 微分中值定理微分中值定理柯西定理的下述证法对吗柯西定理的下述证法对吗?不一定相同不一定相同26 前面对拉格朗日中值定理的证明前面对拉格朗日中值定理的证明,构造了构造了xabafbfxfxg )()()()(现在对现在对两个两个给定的函数给定的函数 f(x)、F(x),构构造造 )()(xfx 即可证明柯西定理即可证明柯西定理.辅助函数辅助函数辅助函数辅助函数)(xF)()(afbf)()(aFbF 微分中值定理微分中值定理)()()()()()(FfaFbFafbf ),(ba )()()()()()(aFbFFfafbf 分析分析 上式写成上式写成(),()()()

22、(),(,)F xx f bf aba fa b 用类比法用类比法27柯西定理的几何意义柯西定理的几何意义 )()(tfytFx)()(ddtFtfxy 注意弦的斜率弦的斜率柯西中值定理柯西中值定理:)()(满足满足及及若函数若函数xFxf;,上连续上连续在闭区间在闭区间ba(1)(2),),(内可导内可导在开区间在开区间ba,),(内至少存在一点内至少存在一点则在开区间则在开区间ba使得使得,0)(xF且且)()()()()()(FfaFbFafbf 微分中值定理微分中值定理切线斜率切线斜率XYO)(bF)(aF)(F)(bf)(af28例例).0()1(2)(),1,0(:,)1,0(,1

23、,0)(fffxf 使使至少存在一点至少存在一点证明证明内可导内可导在在上连续上连续在在设函数设函数证证分析分析结论可变形为结论可变形为 2)(01)0()1(fff .)()(2 xxxf,)(2xxF 设设上上在在1,0)(),(xFxf有有内内至至少少存存在在一一点点在在,)1,0(01)0()1(ff).0()1(2)(fff 2)(f 即即微分中值定理微分中值定理满足柯西中值定理条件满足柯西中值定理条件,29罗尔罗尔定理定理拉格朗日拉格朗日中值定理中值定理柯西柯西中值定理中值定理xxF)()()(bfaf 罗尔罗尔(Rolle)定理、拉格朗日定理、拉格朗日(Lagrange)中值中值

24、定理、柯西中值定理之间的关系定理、柯西中值定理之间的关系:推广推广推广推广 这三个定理的条件这三个定理的条件都是充分条件都是充分条件,换句话说换句话说,满足条件满足条件,不满足条件不满足条件,定理可能成立定理可能成立,不是必要条件不是必要条件.而而成立成立;不成立不成立.微分中值定理微分中值定理定理定理也可能也可能30应用三个中值定理常解决下列问题应用三个中值定理常解决下列问题(1)验证定理的正确性验证定理的正确性;(2)证明方程根的存在性证明方程根的存在性;(3)引入辅助函数证明等式引入辅助函数证明等式;(4)证明不等式证明不等式;(5)综合运用中值定理综合运用中值定理(几次运用几次运用).

25、微分中值定理微分中值定理 关键关键 逆向思维逆向思维,找辅找辅助函数助函数31例例分析分析 将结论交叉相乘得将结论交叉相乘得:.0)(,)()(试试证证明明且且可可导导在在与与若若 xgbaxgxf0)()()()()()(xxgxfbgxfxgaf辅助函数辅助函数F(x)微分中值定理微分中值定理()()()(,),()()()f affa bgg bg 使得()()()()()()()()f a gfgfgfg b()()()()()()()()0f a gfgfgfg b()()()()()()()()0 xf a g xf x g xfx g xfx g b32证证 设辅助函数设辅助函数

26、)(xF:)(满满足足xF;,(1)上上连连续续在在ba,),()2(内内可可导导在在ba)()()()3(bgafaF)(bF 因此因此F(x)满足满足Rolle定理的条件定理的条件.)()()()()()(xgxfbgxfxgaf 微分中值定理微分中值定理()()()()()()()F xf a g xfx g bfx g x()()f x g x33,),(内至少存在一点内至少存在一点则在则在ba即即 0)()()()()()(bggffafg 得得)()()()()()(gfbggfaf .0)(F使使证毕证毕.微分中值定理微分中值定理()()()()()()f a gfgfg()()

27、0fg b()()()()()()()F xf a g xfx g bfx g x()()f x g x34试证至少存在一点试证至少存在一点使使法一法一 lncos 1sin即即微分中值定理微分中值定理例例证证用柯西中值定理用柯西中值定理.lncos1sin 1lnln1lnsinlnsin ee 令令,)()()1()()1()(FfFeFfef ),1(e 因此因此 满足柯西中值定理条件满足柯西中值定理条件,则则 f(x),F(x)在在 1,e 上上 分析分析即证即证.(1,),esin1cosln.1cosln1()sinln,()lnf xx F xx1cosln135则则f(x)在在

28、 1,e 上上,),1(e 使使0)(f lncos1sin 因此因此试证至少存在一点试证至少存在一点使使微分中值定理微分中值定理法二法二 令令满足罗尔中值定理条件满足罗尔中值定理条件,xxxlnsinln1sin 分析分析0 xxxflnsinln1sin)(即即sin1 cosln0sin1cosln(1,),e36 .,0)(,0)()(baxxfbfaf :证明证明.)()(),(,kffbak 使使存在点存在点对任意的实数对任意的实数 分析分析,)()(kff 要证要证即证即证0)()(kfefekk0)()()(xkxkxxfexfe0)(xkxxfe.0)()(kff微分中值定理

29、微分中值定理(),(,),f xa ba b设在上连续 在内可导 且37证证)()(xfexgkx 设设;,)()1(上上连连续续在在则则baxg(3)()()0.Rolleg ag b 由定理;),()()2(内内可可导导在在baxg即即,0 ke由于由于0)()(kfefekk0)()(kff即即.)()(kff 0)(xkxxfe.0)(),(gba使使微分中值定理微分中值定理38四、小结四、小结微分中值定理微分中值定理 常利用逆向思维常利用逆向思维,构造辅助函数构造辅助函数注意利用拉格朗日中值定理证明不等式的步骤注意利用拉格朗日中值定理证明不等式的步骤.三个微分中值定理成立的条件三个微

30、分中值定理成立的条件;各微分中值定理的关系各微分中值定理的关系;证明存在某点证明存在某点,使得函数在该点的导数满使得函数在该点的导数满足一个方程足一个方程.运用罗尔定理运用罗尔定理.拉格朗日中值定理的各种形式拉格朗日中值定理的各种形式,其关系其关系;39思考题思考题2002年考研数学一年考研数学一,3分分则则内有界且可导内有界且可导在在设函数设函数,),0()(xfy.0)(lim,0)(lim)(xfxfAxx必有必有时时当当.0)(lim,)(lim)(xfxfBxx必有必有存在时存在时当当.0)(lim,0)(lim)(00 xfxfCxx必有必有时时当当.0)(lim,)(lim)(00 xfxfDxx必有必有存在时存在时当当微分中值定理微分中值定理40作业作业习题习题3-1(1323-1(132页页)1.2.4.5.7.8.9.10.11.(2)12.14.15.微分中值定理微分中值定理