高等数学：3(3)泰勒(Taylor)公式

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1、1几个初等函数的麦克劳林公式几个初等函数的麦克劳林公式小结小结 思考题思考题 作业作业 泰勒泰勒(Taylor)（英）（英）1685-1731近似计算与误差估计近似计算与误差估计其它应用其它应用第三节第三节 泰勒泰勒(Taylor)公式公式第三章第三章 微分中值定理与导数的应用微分中值定理与导数的应用泰勒公式的建立泰勒公式的建立2简单简单的的,多项式函数多项式函数特点特点(1)易计算易计算函数值函数值;(2)导数与积分仍为导数与积分仍为多项式多项式;(3)多项式由它的系数完全确定多项式由它的系数完全确定,又由它在一点的函数值及又由它在一点的函数值及导数值导数值确定确定.而其系数而其系数用怎样的

2、多项式去逼近给定的函数用怎样的多项式去逼近给定的函数误差又如何呢误差又如何呢一、一、泰勒公式的建立泰勒公式的建立泰勒公式泰勒公式熟悉熟悉的函数来近似代替复杂函数的函数来近似代替复杂函数.应用应用用多项式近似表示函数用多项式近似表示函数理论分析理论分析近似计算近似计算3)(xf,)(0存在存在若若xf xxx 0记记xxfxfxxf )()()(000回想微分回想微分附近有附近有在在0 x)()()(000 xxxfxfxf ,0时时当当xx.)(0高阶的无穷小高阶的无穷小其误差是比其误差是比xx 一次多项式一次多项式泰勒公式泰勒公式)()(000 xxxfxf )(0 xxo 4xy 1xey

3、 xy )1ln(xy （如下图）（如下图）如如,|很小时很小时当当 x,1xex .)1ln(xx 泰勒公式泰勒公式 以直代曲以直代曲xyOxyO5需要解决的问题需要解决的问题如何提高精度如何提高精度?如何估计误差如何估计误差?问题问题(1)系数怎么定系数怎么定?(2)误差误差(如何估计如何估计)表达式是什么表达式是什么?不足不足1.精确度不高；精确度不高；2.误差不能定量的估计误差不能定量的估计.)()(000 xxxfxf )(xf 希望希望一次多项式一次多项式附近附近在在0 x泰勒公式泰勒公式用适当的用适当的高次多项式高次多项式2010200()()()()()nnnP xaa xxa

4、xxaxxf x60 x)(xfy oxy猜想猜想)()(00 xfxPn)()(00 xfxPn )()(00 xfxPn 2.若有相同的切线若有相同的切线3.若弯曲方向相同若弯曲方向相同近似程度越来越好近似程度越来越好1.若在若在 点相交点相交0 x1.1.n次多项式系数的确定次多项式系数的确定泰勒公式泰勒公式7,)(00axPn),(101xfa )(!202xfa ,)(!10)(xfkakk 得得)()(0)(0)(xfxPkkn)(!0)(xfannn 假设假设),(00 xfa ),()(00 xfxPn 又又,)(10axPn ),()(00 xfxPn 又又同理同理泰勒公式泰

5、勒公式nk,2,1,0 代入代入)(xPn中得中得)(xPnnxx)(0 ),2,1,0(nk 20)(xx )(0 xf)(0 xx )(0 xf!2)(0 xf !)(0)(nxfn2010200()()()()nnnP xaa xxaxxaxx8nnnxxnxfxxxfxxxfxfxP)(!)()(!2)()()()(00)(200000 称为称为f(x)的的),()(xfxPn).()()(xPxfxRnn 泰勒多项式来逼近泰勒多项式来逼近),(xf并估计它的误差并估计它的误差.下面将证明确实可以用下面将证明确实可以用函数函数泰勒多项式泰勒多项式.泰勒公式泰勒公式9泰勒泰勒(Taylo

6、r)中值定理中值定理)(xfnnxxnxfxxxfxxxfxf)(!)()(!2)()()(00)(200000 )(xRn 10)1()()!1()()(nnnxxnfxR 其中其中).(0之间之间与与在在xx 余项余项泰勒公式泰勒公式2.泰勒泰勒(Taylor)中值定理中值定理多项式多项式(residual)0()()(,)(1),f xxa bn若在内有阶导数(,),xa b则当时0()()f xxxn可表为的一个 次():nR x与一个余项之和10分析分析).()()(xPxfxRnn 即证即证10)1()()!1()()(nnnxxnfxR).(0之间之间与与在在xx 泰勒公式泰勒公

7、式 10)()(nnxxxR)!1()()1(nfn 也即证也即证)!1()()1(nfn 10)()()(nnxxxPxf200000)(!2)()()()(xxxfxxxfxfxf 10)1()()!1()()(nnnxxnfxR 其中其中).(0之间之间与与在在xx()00()()()!nnnfxxxR xn11证证.1)(阶阶导导在在区区间间内内有有由由于于 nxf)()()(xPxfxRnn ),()()(xPxfxRnn 10)()(nxxx),()()(xPxfxRnn nxxnx)(1()(0 10)()1()(nxxnnx),()()()()()(xPxfxRnnnnn )(

8、2)1()(0)(xxnnxn ),()()1()1(xfxRnnn )!1()()1(nxn 令令 10)()(nnxxxR 10)()()(nnxxxPxf)!1()()1(nfn 10)(nxx)(x nkxfxPkkn,2,1,0)()(0)(0)(由要求由要求0000000000000000000000000000泰勒公式泰勒公式12,0 xx 设设.0)(,),(0 xxx 且且内可导内可导在在 柯西定理柯西定理)()(11 nR)()(xxRn,)(),(0上连续上连续在在xxxxRn)(01之间之间与与在在xx )()(xxRn 10)()(nnxxxR)!1()()1(nfn

9、,)()(10上连续上连续在在及及 xxxRn )()(11 nR)()(22 nR)(102之之间间与与在在 x内内在在),(10 x 柯西定理柯西定理用用1次次用用2次次.0)(,x 且且可导可导10)(nxx)(x 泰勒公式泰勒公式0)()()()(0)(000 xRxRxRxRnnnnn)(0 xRn)(0 x 0)()()()(0)(000 xxxxn )()(11 nR)(0 xRn)(0 x 13 10)()(nnxxxR)(00之间之间与与之间也在之间也在与与在在xxxn 如此下去如此下去,得得10)1()()!1()()(nnnxxnfxR 可得可得 10)()(nnxxxR

10、)!1()()1(nfn)(0之间之间与与在在xx )()()()(nnnnnR )()()1()1(nnnR )()()()(0)()(0)()(xxRRnnnnnnnn 即即泰勒公式泰勒公式用用n+1次柯西定理次柯西定理,)()(xxRn)!1()()1(nRnn(1)(1)(1)()(),()(1)!nnnnRxfxxn14nnnxxnxfxxxfxxxfxfxP)(!)()(!2)()()()(00)(200000 的幂展开的的幂展开的按按称为称为)()(0 xxxf knkkxxkxf)(!)(000)()()(!)()(000)(xRxxkxfxfnknkk 的幂展开的的幂展开的按

11、按称为称为)()(0 xxxf 拉格朗日型余项拉格朗日型余项 )()(!1)()(010)1(之间之间与与在在xxxxnfxRnnn 带有拉格朗日型余项带有拉格朗日型余项泰勒公式泰勒公式.阶泰勒公式阶泰勒公式n.n次近似多项式15)()(!)()(0000)(nknkkxxoxxkxfxf 皮亚诺皮亚诺型型余项余项 nnxxxxxR)()(lim00及及.)()(0nnxxoxR 即即当对余项要求不高时当对余项要求不高时,10)1()(!)1()()(nnnxxnfxR 的幂展开的的幂展开的按按称为称为)()(0 xxxf.阶泰勒公式阶泰勒公式的的n带有皮亚诺带有皮亚诺型型余项余项可用可用皮亚

12、诺皮亚诺型型余项余项M1858-1932)皮亚诺皮亚诺(Peano,G.(意意)泰勒公式泰勒公式10|)!1(nxxn0(,),xa b若(1)|()|nfxM16注注1.泰勒公式就是拉格朗日中值公式泰勒公式就是拉格朗日中值公式.2.在泰勒公式中在泰勒公式中,故故之间之间介于介于则则,0 x),10(x可表为可表为这时的泰勒公式这时的泰勒公式,即即按按x的幂的幂(在零点在零点)展开的泰勒公式称为展开的泰勒公式称为:200000)(!2)()()()(xxxfxxxfxfxf ).(0之间之间与与在在xx 10)1(00)()()!1()()(!)(nnnnxxnfxxnxf n阶泰勒公式阶泰勒

13、公式麦克劳林麦克劳林(Maclaurin,C.(英英)1698-1746)公式公式00000000),10(0 xx泰勒公式泰勒公式,0时时当当 n,00 x若若17)(!)0(!2)0()0()0()()(2nnnxoxnfxfxffxf 麦克劳林麦克劳林(Maclaurin)公式公式近似公式近似公式nnxnfxfxffxf!)0(!2)0()0()0()()(2 误差估计式为误差估计式为1|)!1(|nnxnMR1)1()!1()(nnxnxf)10(带有拉格朗日型余项带有拉格朗日型余项)(xf带有带有皮亚诺皮亚诺型型余项余项nnxnfxfxff!)0(!2)0()0()0()(2 泰勒公

14、式泰勒公式18解解,)()()()(xnexfxfxf 1)0()0()0()0()(nffff.)()1(xnexf 代入上公式代入上公式,得得 xe).10(,)!1(!2112 nxnxnenxxx.!212nxxxenx 于是有于是有xe的近似表达公式的近似表达公式泰勒公式泰勒公式二、几个初等函数的麦克劳林公式二、几个初等函数的麦克劳林公式例例阶阶的的求求nexfx)(麦克劳林公式麦克劳林公式.nnxnfxfxffxf!)0(!2)0()0()0()()(2 1)1()!1()(nnxnxf)10(麦克劳林麦克劳林(Maclaurin)公式公式19有误差估计式有误差估计式,0时时当当

15、x1)!1(nxnxneR 1)1()!1()()(nnnxnxfxR)10(;)!1(1 nxnxe,0时时当当 x;0 nR,0时时当当 xnR,1时时当当 x,!1!2111ne 得到得到.)!1(3 n其误差其误差nR)!1(ne,8 n若取若取,718279.2 e可算出可算出其误差其误差8R!93.|)!1(1 nxn1泰勒公式泰勒公式20阶阶麦麦克克劳劳林林公公式式的的求求nxxfsin)(解解),2,1,0(2sin)()(nnxxfn,0)0(f的麦克劳林公式为的麦克劳林公式为从而从而xsin xsin的的多多项项式式近近似似表表达达式式为为所所以以xsin xsin例例,1

16、)0(f,0)0(f,1)0(f.)!12()1(!5!3212153mmmRmxxxx ,)!12()1(!5!312153 mxxxxmm因为因为所以所以泰勒公式泰勒公式21误差为误差为 mR2).10(,)!12(12 mxm,1时时当当 m,001.0要使误差小于要使误差小于,2时时当当 m,001.0要使误差小于要使误差小于mmmRmxxxxx212153)!12()1(!5!3sin ,sinxx 有有12)!12(2)12(sin mxmm ),2,1,0(2sin)()(nnxxfn x 0.1817.x 只要2R误差误差,!3sin3xxx 有有4R误差误差0.6544.x

17、只要,63x,1205x 泰勒公式泰勒公式22xyO泰勒公式泰勒公式泰勒多项式逼近泰勒多项式逼近xsinxy !33xxy !5!353xxxy !7!5!3753xxxxy !9!7!5!39753xxxxxy sinyx23类似地类似地,有有)!2()1(!4!21cos242mxxxxmm ,)!22(2)22(cos22 mxmmx ).10(泰勒公式泰勒公式24处的处的在在求函数求函数1423)(023 xxxxxf解解5)1(f8)1(f263)(2 xxxf66)(xxf6)(xf0)1(f6)1(f)(xf)()1(58)(1xRxxf 泰勒公式泰勒公式一阶和三阶泰勒公式及相应

18、的拉格朗日型余项一阶和三阶泰勒公式及相应的拉格朗日型余项.的一阶泰勒公式是的一阶泰勒公式是)()(!)()(000)(xRxxkxfxfnknkk !2)1)()(21 xfxR 2)1(!2)1(6 x 其中其中.)1(之间之间与与介于介于x 三阶泰勒公式是三阶泰勒公式是.0)(3 xR其其中中)()1()1(58)(33xRxxxf )0)()4(xf因因25 常用函数的麦克劳林公式常用函数的麦克劳林公式)(!212nnxxonxxxe )()!12()1(!5!3sin121253 nnnxonxxxxx要熟记要熟记!)()!2()1(!6!4!21cos22642nnnxonxxxxx

19、 )(1)1(32)1ln(1132 nnnxonxxxxx泰勒公式泰勒公式26)(1112nnxoxxxx )(!)1()1(!2)1(1)1(2nnmxoxnnmmmxmmmxx 泰勒公式泰勒公式27例例 ).()(皮亚诺余项皮亚诺余项带带阶麦克劳林公式阶麦克劳林公式展开为展开为把把nxexfx 解解用间接展开的方法较简便用间接展开的方法较简便.xe两端同乘两端同乘x,得得)()!1()1(!2132nnnxxonxxxxxe 带拉格朗日型余项的公式展开问题带拉格朗日型余项的公式展开问题注注)(!212nnxxonxxxe 一般不能用这种方法一般不能用这种方法.)()!1()1(!2111

20、12 nnnxonxxxxx取代取代用用 泰勒公式泰勒公式28泰勒公式泰勒公式须解决问题的类型须解决问题的类型:(1)已知已知x 和误差界和误差界,要求确定项数要求确定项数n;(2)已知项数已知项数n和和x,计算近似值并估计误差计算近似值并估计误差;(3)已知项数已知项数 n 和误差界和误差界,确定公式中确定公式中 x 的的三、近似计算与误差估计三、近似计算与误差估计适用范围适用范围.29例例 ,10,1.1ln4 要求误差不超过要求误差不超过的近似值的近似值计算计算.可可达达到到要要求求解解 )1ln(x)10()1(111)1(11 nnnxxn1.0 x)1.0(nR 1.1ln nxx

21、xxnn 132)1(32?n问问 nnn)1.0()1(3)1.0(2)1.0(1.0132)1.01ln(1.01.01.01.0泰勒公式泰勒公式已知已知x 和误差界和误差界,要求确定项数要求确定项数n30)1.0(nR110111 nn4101,2 n4310141 R满足要求满足要求.)10()1(111)1()(11 nnnnxxnxR1.0 x11)1.0()1.01(111)1(nnnn 3210131 R,3 nxxx4101 泰勒公式泰勒公式,10,1.1ln4 要求误差不超过要求误差不超过的近似值的近似值计算计算.可可达达到到要要求求?n问问 1.1ln3)1.0(2)1.

22、0(1.032 09533.000033.0005.01.0 31泰勒公式泰勒公式!21cos2xx 计算计算 的近似值的近似值,使其精确到使其精确到0.005,试确定试确定 的适用范围的适用范围.x近似公式的误差近似公式的误差例例 用近似公式用近似公式解解 已知项数已知项数 n 和误差界和误差界,确定公式中确定公式中 x 的适用范围的适用范围.)cos(!4)(43xxxR 244x 令令005.0244 x解得解得588.0 x即即,588.0时时当当 x由给定的近似公式计算的结果能准确到由给定的近似公式计算的结果能准确到0.005.cosx32 解解)(!2114422xoxxex )(

23、!4!21cos442xoxxx )()!412!21(3cos2442xoxxex 原原式式四、其它应用四、其它应用 00 因为分母是因为分母是4阶无穷小阶无穷小,所以所以只要将函数展开到只要将函数展开到4阶无穷小的阶无穷小的项就足以定出所给的极限了项就足以定出所给的极限了.4440)(127limxxoxx 常用函数的泰勒展开求常用函数的泰勒展开求例例 403cos2lim2xxexx 127 00型未定式型未定式泰勒公式泰勒公式33泰勒公式泰勒公式例例 22cos,0 xexx 时时当当是是x的几阶无穷小的几阶无穷小?解解 因因),(!4!21cos542xoxxx ),(2!21214

24、22222xoxxex 故由于故由于),()()(445xoxoxo 有有),(12cos4422xoxexx 显然显然,它是它是x的的4阶无穷小阶无穷小.34泰勒公式泰勒公式),1()0(,1,0)(ffxf 且且上上有有二二阶阶导导数数在在函函数数.21)(1,0:.1)(xfxf上恒有不等式上恒有不等式在在试证试证像这类像这类估值问题估值问题常用泰勒公式常用泰勒公式.证证0(0,1),x 对任意)0(f201000!2)()()(xfxxfxf 010 x )1(f 120 x例例 分析分析点展开成点展开成在在与与将将0)1()0(xff 利用泰勒公式可以证明某些命题及不等式利用泰勒公式

25、可以证明某些命题及不等式.201000)0(!2)()0)()(xfxxfxf 202000)1(!2)()1)()(xfxxfxf 带拉格朗日型余项的一阶泰勒公式带拉格朗日型余项的一阶泰勒公式,得得(1)(2),2()1(352022010)1)(!21)(!21)(0 xfxfxf 即即 )(0 xf20200)1(2121)(xxxf ),10(2aaa 时时当当故故)1(2100 xx ),1()0(,1,0)(ffxf 且且上上有有二二阶阶导导数数在在函函数数例例.21)(1,0:.1)(xfxf上恒有不等式上恒有不等式在在试证试证202201)1)(!21)(!21xfxf .21

26、 泰勒公式泰勒公式0 xf 为区间端点时可由 连续性推得。00011()(1)22fxxx也可以的。也可以的。36泰勒公式泰勒公式证明证明证证21)1(1xx 21x 2)121(21!21x 325)1)(221)(121(21!31xx )10(3225)1(161821xxxx )0(82112 xxxx例例 公式见课本公式见课本142页页211(0).28xxxx 37五、小结五、小结 多项式局部逼近多项式局部逼近.泰勒公式泰勒公式 泰勒泰勒(Taylor)公式在近似计算中的应用公式在近似计算中的应用.泰勒泰勒(Taylor)公式的数学思想公式的数学思想熟记常用函数的麦克劳林公式熟记常

27、用函数的麦克劳林公式;38解解)(2!2121422222xoxxex )(!4!21cos442xoxxx 故由于故由于),()()(444xoxoxo 有有因因),(12cos4422xoxexx 显然显然,的的是是xexx22cos .4阶无穷小阶无穷小泰勒公式泰勒公式?cos,022的几阶无穷小的几阶无穷小是是时时当当xexxx 思考题思考题139思考题思考题22002年考研数学一年考研数学一,6分分设函数设函数0)(xxf在在的某邻域内具有一阶连续的某邻域内具有一阶连续导数导数,0)0(,0)0(ff且且)0()2()(fhbfhaf 若若时时在在0h是比是比h高阶的无穷小高阶的无穷小,试确定试确定a,b的值的值.解解),()0()0()(hohffhf ),()0(2)0()2(hohffhf 所以所以)0()2()(fhbfhaf ).()0()2()0()1(hohfbafba 因此当因此当,1,2时时 ba有有).()0()2()(hofhbfhaf 泰勒公式泰勒公式)()0()0()(xoxffxf 40作业作业习题习题3-3(1433-3(143页页)1.3.5.6.7.8.9.(1)2.10.(1)(3)泰勒公式泰勒公式