高等数学：2-2 函数的求导法则

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1、1函数的和、差、积、商的求导法则函数的和、差、积、商的求导法则小结小结 思考题思考题 作业作业第二节第二节 函数的求导法则函数的求导法则第二章第二章 导数与微分导数与微分反函数的求导法则反函数的求导法则基本求导法则与导数公式基本求导法则与导数公式复合函数的求导法则复合函数的求导法则2定理定理1,)(),(处可导处可导在点在点如果函数如果函数xxvxu(1)()()u xv x 并且并且则则它们的和、差、积、商它们的和、差、积、商 在点在点 x处也可导处也可导,()();u xv x )()()2(xvxu);()()()(xvxuxvxu )()()()()(2xvxvxuxvxu 函数的求导

2、法则函数的求导法则).0)(xv一、函数的和、差、积、商的求导法则一、函数的和、差、积、商的求导法则()(3)()u xv x 3证证则由则由导数的定义导数的定义有有hxfhxfxfh)()(lim)(0 0()()limhu xhu xh 0()()limhv xhv xh()().u xv x函数的求导法则函数的求导法则(1)()()u xv x ()();u xv x()()(),f xu xv x设设0()()()()limhu xhv xhu xv xh 0()()()()limhu xhu xv xv xh 4 )()(xvxu).0)()()()()()(2 xvxvxvxuxv

3、xu证证(3)(3),0)(,)()()(xvxvxuxf设设hxfhxfxfh)()(lim)(0 hxvhxvhxvxuxvhxuh)()()()()()(lim0 hxvxuhxvhxuh)()()()(lim0 5hxvhxvxvhxvxuxvxuhxuh)()()()()()()()(lim0 )()()()()()()()(lim0 xvhxvhxvhxvxuxvhxuhxuh 2)()()()()(xvxvxuxvxu .)(处可导处可导在在xxf6推论推论,处均可导处均可导在点在点、若若xwvu wvu uvw,wvu 则则,处也可导处也可导在同一点在同一点x且且uvw vw

4、wvuwuv 函数的求导法则函数的求导法则 u vwu cucu (c为为常常数数）7推论推论;)()()1(11 niiniixfxf);()()2(xfCxCf )()()()()()()()3(21211xfxfxfxfxfxfxfnnnii 注意注意:);()()()(xvxuxvxu .)()()()(xvxuxvxu 8例例.sin223的导数的导数求求xxxy 解解23xy x4 例例sinln.yxx 求求的的导导数数解解coslnyxx 1sin xx.cos x 函数的求导法则函数的求导法则9P81 P81 例例2 2.tan的导数的导数求求xy 解解)(tan xyx2c

5、os xxx222cossincos xx22seccos1 .sec)(tan2xx )(cot x同理可得同理可得 xxcossin即即.csc2x 2vvuvuvu 函数的求导法则函数的求导法则)(cossin xxxx cos)(sin 10P81P81例例3 3.sec的导数的导数求求xy 解解)cos1()(sec xxyxx2cos)(cos .tansecxx xx2cossin 同理可得同理可得 )(1xv)()(2xvxv 即即xxxtansec)(sec 函数的求导法则函数的求导法则(csc)csccotxxx 11函数的求导法则函数的求导法则二、反函数的求导法则二、反函

6、数的求导法则即即 反函数的导数等于直接函数导数的倒数反函数的导数等于直接函数导数的倒数.)(1)(,)(,0)()(yxfIxfyyIyxxy 且有且有内也可导内也可导在对应区间在对应区间那末它的反函数那末它的反函数且且内单调、可导内单调、可导在某区间在某区间如果函数如果函数定理定理12证证,xIx 任取任取xx 以以增增量量给给的单调性可知的单调性可知由由)(xfy ,0 y于是有于是有,1yxxy ,)(连续连续xf),0(0 xy0)(y 又知又知xyxfx 0lim)(yxy 1lim0)(1y .)(1)(yxf 即即),0(xIxxx 13.112x P82P82例例4 4.arc

7、sin的导数的导数求函数求函数xy 解解yxsin yycos)(sin 且且内有内有在在)1,1(xI)(arcsin xycos1 y2sin11 .112x .11)(arccos2xx 同理可得同理可得;11)(arctan2xx ,0)(sin1 y)(arcsin x函数的求导法则函数的求导法则)(1)(1yfxf 单调、可导单调、可导,直接函数直接函数 反函数反函数 ,2 2yI 在在内内arc21(cot).1xx 14注注如果利用三角学中的公式如果利用三角学中的公式:,arcsin2arccosxx ,11)(arccos2xx .11)cot(2xx arc,arctan2

8、cotarcxx 也可得公式也可得公式也可得公式也可得公式函数的求导法则函数的求导法则15例例.log的导数的导数求函数求函数xya,0ln)(aaayy且且内有内有在在),0(xI)(1)(log yaaxaayln1.ln1ax 解解,),(内单调、可导内单调、可导在在 yyIax特别地特别地.1)(lnxx 函数的求导法则函数的求导法则16定理定理3 链导法则链导法则)(ufy 而而 xydd)(xg )(uf 三、复合函数的求导法则三、复合函数的求导法则函数的求导法则函数的求导法则可导可导,且其导数为且其导数为或或 uyxydddd.ddxu因变量对自变量求导因变量对自变量求导,等于因

9、变量对中间等于因变量对中间变量求导变量求导,乘以中间变量对自变量求导乘以中间变量对自变量求导.(),()ug xyf g xx在点可导 则复合函数在点在点可导 则复合函数在点(),ug xx 如果函数在点可导如果函数在点可导17推广推广),(ufy 设设的的导导数数为为则则复复合合函函数数)(xfy 例例.sinln的导数的导数求函数求函数xy 解解,lnuy uyxydddd u1xxsincos xcot xydd),(vu ),(xv .sin xu xcos函数的求导法则函数的求导法则dduv ddyu dd.vxddux18例例.)1(102的导数的导数求函数求函数 xy解解 92)

10、1(10 xy 92)1(10 x.)1(2092 xx例例.arcsin22222的导数的导数求函数求函数axaxaxy 解解 )2(22xaxy2221xa 2221xa )0(ax2)arcsin2(2 axa22112 axa)1(2 x函数的求导法则函数的求导法则)(22 xa ax22122xax 2222xax 2222aax .22xa 19例例.)2(21ln32的导数的导数求函数求函数 xxxy解解),2ln(31)1ln(212 xxyxxy211212 )2(3112 xxx例例.1sin的导数的导数求函数求函数xey 解解)1(sin x xe1sin.1cos11s

11、in2xexx )2(31 x xey1sin x1cos)1(x函数的求导法则函数的求导法则20用求导法则与用定义求导数时用求导法则与用定义求导数时,结果有时不一致结果有时不一致,这是为什么这是为什么?如已知如已知).0(,sin)(3fxxxf 求求无意义无意义,解解.cossin31)(3132xxxxxf )0(f 所以所以,)0(f 不存在不存在.上述解法有问题吗上述解法有问题吗?注意问题出在注意问题出在)(0 xfx 处处不连续不连续.因此因此)(xf 可能在不连续点处不代表该点处的导数值可能在不连续点处不代表该点处的导数值.,0时时当当 x )(xf,0时时当当 x,0用定义用定

12、义!,cossin31332xxxx 21xxxxxxxCtansec)(secsec)(tancos)(sin0)(2 1.常数和基本初等函数的导数公式常数和基本初等函数的导数公式xxxxxxxxxcotcsc)(csccsc)(cotsin)(cos)(21 axxaaaaxxln1)(logln)(1(ln|)()xxxxee 四、基本求导法则与导数公式四、基本求导法则与导数公式课本第课本第85页页函数的求导法则函数的求导法则211)(arcsinxx 211)(arccosxx 211)(arctanxx 211)cotarc(xx 222.函数的和、差、积、商的求导法则函数的和、差、

13、积、商的求导法则函数的求导法则函数的求导法则)(),(xvvxuu 设设都可导都可导,则则3.反函数的求导法则反函数的求导法则)(1)(1yfxf 或或.dd1ddyxxy 内单调、内单调、在某区间在某区间如果函数如果函数yIyfx)(,0)(yf且且在对应区间在对应区间则它的反函数则它的反函数)(1xfy 且且可导可导(1)()uvuv(2)()uvuvuv2(3)(0)uuvuvvvv,xI 内也可导内也可导234.复合函数的求导法则复合函数的求导法则,)()()(),(都可导都可导及及且且而而设设xgufxguufy 函数的求导法则函数的求导法则的导数为的导数为则复合函数则复合函数)(x

14、gfy ).()()(ddddddxgufxyxuuyxy 或或 利用上述公式及法则初等函数求导问题利用上述公式及法则初等函数求导问题可完全解决可完全解决.24例例.,可导可导其中函数其中函数的导数的导数求求g xgey1解解 xg1 xge1 2111xxgexg xgexxg121 y xge1 xg1 x1函数的求导法则函数的求导法则25.)(,)(的导数的导数求求是可导函数是可导函数设设xfxeefyf 解解函数的求导法则函数的求导法则 分析分析 这是抽象函数与具体函数相结合的导数这是抽象函数与具体函数相结合的导数,综合运用函数和、差、积、商求导法则以及综合运用函数和、差、积、商求导法

15、则以及 复合函数求导法则复合函数求导法则.)()(xfxeefy )()(xfxeef)(xfe )()()()(xfefeefexxxxf )()(xfxeefxxeef )()()(xfexf )(xef26例例).(000sin)(2xfxxxxxf 求求设设解解,0时时 x,0时时 xxxxx0sinlim20 220sinlimxxx 22sin2sinxxxx xxxf2sin)(0)0()(lim)0(0 xfxffx1 所以所以 010sin2sin)(22xxxxxxxf函数的求导法则函数的求导法则27函数的求导法则函数的求导法则0()ln(1)0 xxf xxx 解解0()

16、xf xx当时，当时，0 x 当时当时例例 设设().fx，求，求()()1fxx0()ln(1)xf xx当时，当时，1()1fxx 0()(0)(0)limhf hffh 0ln(1)0lim1hhh 28函数的求导法则函数的求导法则0()ln(1)0 xxf xxx 例例 设设().fx，求，求0()(0)(0)limhf hffh 00lim1hhh (0)(0)1ff(0)1ffxx 1()1综上综上 在分段点的导数要按定义求在分段点的导数要按定义求.29函数的求导法则函数的求导法则xxxxf xxxxfxxfxfx 若若在在及及附附近近连连续续，在在可可导导，且且导导函函数数极极限

17、限存存在在 则则f(x)f(x)在在可可导导，且且000000()lim(),lim()()证明：证明：0()ln(1)0 xxf xxx 例例 设设xfxx当当时时，0()()1.xfxxx 当当时时，10()ln(1).1xxff xxf_00(00)lim()lim0(0)xxff xxf00(00)lim()lim ln(1)0(0)f xx在在连连续续()0.30函数的求导法则函数的求导法则0()ln(1)0 xxf xxx 例例 设设xxffx_00(0)lim()lim11xfxx当当时时，0()()1.xfxxx 当当时时，10()ln(1).1()0.f xx 在在连连续续x

18、xffxx 001(0)lim()lim11综上综上fxx 1()131函数的求导法则函数的求导法则xxf xxfxxx 求求0()1,0,().ln(1)0例例 设设xxfxx_00lim()lim()1xxxfxxx 0001lim()limln(1)lim11f(0)1事实上，事实上，fff(00)(00)0(0)1f xx 即即在在不不连连续续，从从而而不不可可导导.()032(注意成立条件注意成立条件);复合函数的求导法则复合函数的求导法则函数的求导法则函数的求导法则五、小结五、小结 )()(xvxu )()(xvxu);()(xvxu .)()(xvxu 不能遗漏不能遗漏);(对于对于复合函数复合函数,反函数的求导法则反函数的求导法则层的复合结构层的复合结构,注意一层注意一层函数的积、商求导法则函数的积、商求导法则注意注意记住基本初等函数的导数公式记住基本初等函数的导数公式33导数的概念导数的概念六、作业六、作业 作业册作业册1034作业作业习题习题2-2(962-2(96页页)6.(2)(4)(6)(8)7.(4)(8)(10)函数的求导法则函数的求导法则 2.(1)(6)(9)(10)3.(3)5.8.(8)(9)(10)10.