《重积分计算》PPT课件

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1、1第三节第三节 三重积分的计算三重积分的计算一、利用直角坐标系一、利用直角坐标系100P计算积分计算积分 vdzyxfI),(,DYX平面内的投影为平面内的投影为在在 作作平平行行于于内内任任意意一一点点过过),(0yxD:边界于两点边界于两点轴的直线交轴的直线交 zD1z2z,),(,yxzyx1),(),(),(yxzyxzDzdzyxfydxdI21),(,yxzyx2),(),(),(yxzzyxzDyx21 方法方法1.投影法投影法(“先一后二先一后二”)2),(),(),(yxzyxzDzdzyxfydxdI21),(),(),(yxzzyxzDyx21),(),(yxzzyxz2

2、1)()(xxbaydxd21 ),(),(),(yxzyxzzdzyxf21)()(xyxbxa21 D3D zdydxdxI计计算算例例.1.围围成成由由三三个个坐坐标标面面及及平平面面12zyx 112112zyx,.DYX平面内的投影为平面内的投影为在在解解 21010 xyxD12yx的的则则对对应应内内任任取取一一点点在在zyxD,),(0.yxz210变变化化范范围围为为yxDzdxydxdI210yxxzdxydxd21021010.4814 zdydxdV2例例,zyxyx60022由由.,围围成成214yxzy 解解10 x20 y2264yxzy)(22642010yxy

3、zdydxdV20221046ydyyxxd)(.6492653102xdx)(622yxzzy4xyz5 dxdydzV3例例及由22414yxz.围成22413yxzxyz,线之投影的边界是两张曲面的交解D:得交线柱面方程由两曲面方程消去 z.18122yx22414yxz22413yxz22222241441312212211yxzyxxyxx 22222241441312212211yxyxxxdzdydxV.24D6 dzdydzzxyI4例例222byaxcz是由锥面),(000cba所围成与平面czyx,00.的在第一卦限的闭区域xyz.,为四分之一椭圆则平面投影向解xyDYX

4、ax 0210axbycz 122byaxczbyaxc22 xyD7cbyaxcaxbadzzydyxdxI2221100所以ax 0210axbyczbyaxc22 dzdydzzxyIxyzcz 122byax8ab方法方法2.截面法截面法(“先二后一先二后一”)bzaDyxz),(:xyzvzyxfd),(baZDyxzyxfdd),(ZDbayxzyxfzdd),(dzzDzd记作机动 目录 上页 下页 返回 结束 zxoyzbzazD,得界面得界面面的平面截面的平面截平行平行点作点作过过轴投影得轴投影得向向 9czZ0则轴投影向又解,:)(41,zDzz椭椭圆圆截截面面为为去去截截

5、用用 222 czbyaxczax 0220axczby)(zDczDydxdzyxzdI0)(得cczaaxczbydzyxxdzd00022xyz)(zD10 dxdydzz2I5 计算三重积分例.所围成的空间闭区域是由椭球面其中1222222czbyax czcZ则轴投影向解,方程为的水平截面是椭圆,)(zD 2222221czbyax)(zDccdxdyzdzI2)(zDccdxdydzz2222222111czbaczbcza 的面积为椭圆)()(zDdxdyzD11.3154cba)(zDccdxdydzzI2ccdzczbaz2221 ccdzczzba2221 12.)()()

6、(mldcbazdzfydyfxdxf321,)(为长方体若和二重积分相类似 mzldycbxa:则有公式 zdydxdzfyfxf)()()(321.试证明之13 二、三重积分换元二、三重积分换元柱面坐标一),(zyxM的直角坐标为设空间一点).,(0yxPYXM平面内的投影为在).,(rPP点的极坐标为设.),(点的柱面坐标为称Mzr:换算公式为 r0 20zxyzMPrz cosrx sinry zz 14.,轴的平面垂直于常数zzz0:,轴为轴的圆柱面以常数zbr cosbx sinby zz 20zxyzM.,轴开始的半平面从常数z0 0 xyzMb15 球面坐标系二),(zyxM的

7、直角坐标为设空间一点Mxyzo,rOM 的模长记为向径r)(,0轴正向夹角为与ZOM)(0r),(0yxPYXM平面内的投影为在).,sin(rP的极坐标为Psinr.),(点的球面坐标为称Mr :换算公式为 cossinrx sinsinry cosrz r0 0 20.,轴开始的半平面从常数Z0 :,以原点为中心的球面常数 ar经线变纬线变xyza cossinax sinsinay cosaz 0 20,轴为轴以常数Z0 cossin0rx sinsin0ry 0cosrz 0 r 20Mxyzo 0sinrr0:顶点在原点的圆锥面xyz vd:球坐标系下的体积元素 vd:柱坐标系下的体

8、积元素xyz d drdrzd drrdrsd素平面极坐标下的面积元 dr drsinddrvdzddrdr ddrdr sin2vdsinrrdzddrdrvd ddrdrvdsin218 zdydxdzyxf),(zddrdrzrrf ),sin,cos(,zddrdrvd :在柱面坐标系下:在球面坐标系下,sin drddrvd2 ddrdrrrrfsin)cos,sinsin,cossin(2 zdydxdzyxf),(!,熟记式以上为三重积分换元公19 vdzI.6例byxhz221 由圆锥面.围成及平面0 zxyzhbb用柱面坐标系解brhhz :圆锥面方程为brhhz 20 br

9、 0bhrhz 0 brhhbzdzrdrdI0020 D brdbrhhr02212.2212hb bdrbrhbrhrh02322222 204 vdV.7例)(02222 azazyx由.)(围成轴的部分含有及Zzyx222 xyzo用球面坐标系解 20 40 cosar20 a2PrcosaOP2 cosar2 zazyx2222 cosrar22 222zyx 4 :锥面方程:球面方程21.3a 20 40 cosar20 cossinardrdd2024020 ddrdrvdsin2 40338312 da cossin cossinardrddV202402022.8例,)(dz

10、dydxyxI22计算222zyx 是由锥面其中.)(所围的立体与平面0 aazxyz解:采用球面坐标222zyx 4 az cosar 4 cosar cosar 0 20 40 drrdda 4003420 cossinI 40553512 dacossin.510a 23D采用柱面坐标又解xyz222zyx rz rz 222ayxD :20 azr ar 0D az arazdrrdrd2020 dzdydxyx)(I22 ardrar032)(54254aaa 510a 24补充：利用对称性化简三重积分计算使用对称性时应注意：对平面关于当积分区域一般地)(,0 zxoy则三重的奇函数

11、是关于且被积函数称,),(,zzyxf,),(,的偶函数是关于若被积函数积分为零zzyxf的三平面上方的半个闭区域在则三重积分为xoy.重积分的两倍关于某个变量的被积函数在积分区域上2;对称性积分区域关于坐标面的1.奇偶性25.ln011222222 zdydxdzyxzyxz.9例 zdydxdzyxzyxz11222222ln计算积分|),(1222zyxzyx 其中积分区域解,的球体半径等于是球心在原点积分区域1 所以原积分,对称平面关于积分区域xoy)(0 z方程,的奇函数被积函数是zz26.10例 zdydxdzyxI2)(计算22yxz是由抛物面 2222zyx和球面.所围成的空间

12、闭区域2)(zyx )(zxzyyxzyx2222解,对称关于坐标面0y xyz;)(0 vdyzxy所以,对称关于坐标面0 x;0 vdzx所以27xyz zdydxdzyxI2)(所以 zdydxdzyx222:用柱面坐标22yxz 抛物面2rz 2rz 2222 zyx球面222 zrD 2rz 222 zr:的边界方程得投影区域消去Dz1 rD 20 10 r 积分区域222rzr 222 zr28.)(8929660 zdydxdzyxI222D 20 10 r 222rzr 222222010rrzdzrrdrd)(106422232322322rdrrrrrr 29.343a.1

13、1例推导球体积公式设球方程为解2222azyx ar0020 则 vdvardrdd02020 sin33122a 30（1）柱面坐标的体积元素柱面坐标的体积元素zddrdrvd（2）球面坐标的体积元素球面坐标的体积元素 ddrdrvdsin2（3）对称性简化运算对称性简化运算三重积分换元法三重积分换元法 柱面坐标柱面坐标球面坐标球面坐标三、小结31zoxy21.设由锥面22yxz和球面4222zyx所围成,计算.d)(2vzyxI提示提示:4利用对称性vzyxd)(222vzxzyyxzyxId)222(222用球坐标 rr d420dsin4020d221564机动 目录 上页 下页 返回 结束 练习练习,ddd)sin5(2222zyxyxxyxI其中.4,1),(2122围成由zzyxz解解:zyxxIddd2利用对称性zyxyxddd)(2122yxyxzzDdd)(d212241zrrz2032041ddd21214zxoy1zDzyxyxyxdddsin52220机动 目录 上页 下页 返回 结束