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1、第二节第二节 洛必达法则洛必达法则型型一、一、00型型二二、型极限型极限型或型或三、可化为三、可化为00 如果函数 ，其分子、分母都趋于零或都趋于无穷大.那么，极限 可能存在，也可能不存在.通常称这种极限为未定型.)()(lim)(xgxfxax时或当)()()(xaxxgxf 并分别简记为 .这节将介绍一种计算未定型极限的有效方法洛必达 法则.型型或00)HospitalL(一、一、，0)(lim,0)(lim )1(xgxfaxax型00定理 如果f(x)和g(x)满足下列条件：.)()(lim)()(lim xgxfxgxfaxax那么，或无穷大存在)()()(lim )3(xgxfax
2、(2)在点a的某去心邻域内,与 存在,且()fx()g x()0g x 由于 可知x=a或者是f(x)，g(x)的连续点，或者是f(x),g(x)的可去间断点.0)(lim 0)(lim xgxfaxax，证如果x=a为f(x)，g(x)的连续点，则可知必有f(a)=0，g(a.)()()()()()(agxgafxfxgxf由定理的条件可知，在点a的某邻域内以a及x为端点的区间上，f(x)，g(x.,)()()()()()()()(之间与在xagfagxgafxfxgxf.)()(lim)()(lim)()(lim)()(limxgxfgfgfxgxfaxaaxax，因此时，必有当aax如果
3、x=a为f(x)和g(x)的可去间断点，可以构造新函数F(x)，G(x).,0,),()(axaxxfxF.,0,),()(axaxxgxG仿上述推证可得.)()(lim)()(lim)()(lim)()(limxgxfxGxFxGxFxgxfaxaxaxax 定理 如果f(x)和g(x)满足下列条件：，0)(lim0)(lim )1(xgxfxx,0)()()(|)2(xgxgxfx存在，且和足够大时，当证明时，只要令 就可利用定理4.4的结论得出定理4.5.tx1型，有时的对于00 x.)()(lim)()(limxgxfxgxfxx那么()(3)lim()xfxg x存在(或为无穷大).
4、eelimaxaxax求)()ee(limeelimaxaxaxaxaxax例1为 型，由洛必达法则有00解.e1elimaxax1cos1lim.1xxx例2 求01cos1cos1limlim1xttxtx为 型，由洛必达法则可解,设 ,则00解1tx0sinlim10.tt20ee2lim.xxxx例3 求为 型，由洛必达法则有00解200ee2eelimlim2xxxxxxxx0eelim21.xxx.8126128lim23232xxxxxxx求)00(12123823lim 8126128lim22223232型xxxxxxxxxxxx262lim6(2).xxx 例4为 型，由洛
5、必达法则有00解二、二、,)(lim,)(lim)1(xgxfaxax型定理 如果函数f(x)，g(x)满足下列条件：,0)(,)()()()2(xgxgxfaxax且存在与，可以除外的某邻域内在，或无穷大存在)()()(lim)3(xgxfax.)()(lim)()(limxgxfxgxfaxax那么,)(lim)(lim )1(xgxfxx，定理 如果函数f(x)，g(x)满足下列条件：,0)()()(,|)2(xgxgxfx存在，且与足够大时在，或无穷大存在)()()(lim )3(xgxfax.)()(lim)()(limxgxfxgxfxx那么2ln(1)lim.ln(2)xxx求例
6、5为 型，由洛必达法则有解221ln(1)1limlim1ln(2)22xxxxxxx22lim2(1)xxxx1.2.elimxxx求.1elimelimxxxxx例6为 型，由洛必达法则有解三、三、可化为 型或 型极限 00.0)()(lim)(型为xgxfxax1.如果 ，则称)(lim,0)(lim)()(xgxfxaxxax0对于 型，先将函数变型化为 型或 .再由洛必达法则求之.如00)(1)(lim)()(lim)()(xfxgxgxfxaxxax或,)(1)(lim)()(lim)()(xgxfxgxfxaxxax.00型型，后者为前者为),()(lim,)(lim)()(或同
7、为xgxfxaxxax再由洛必达法则求之.，型型或为将函数进行恒等变型化，型对于 00 .)()(lim)(型极限为则称xgxfxax.lnlim0 xxx求ttx1lnlim20.011lim220ttx因此时，如果先令,00，txtx例7.1lnlimlnlim00 xxxxxx解ttxxxx1lnlimlnlim200313lim().11xxxx求例8 .型，先将所给函数变形为解23311313lim()lim111xxxxxxxx2112lim31.xxx.sincoslim30 xxxxx求.6sinlimcoslim200 xxxxxx原式应该单独求极限，不要参与洛必达法则运算，
8、可以简化运算.例9为 型，可以由洛必达法则求之.如果注意到00,1coslim0 xx解,sin6limcos13limsinlim02030 xxxxxxxxxx而00说明 如果 型或 型极限中含有非零因子，.3sin)21ln(lim0 xxx求如果引入等价无穷小代换，则.3232lim0 xxx原式例1000解所给极限为 型，可以由洛必达法则求之.，又xxxxx33sin,2)21ln(,0注意极限过程为.cotarc1cos)11ln(lim xxxx求x1cos但是注意到所求极限的函数中含有因子 ，且 ，因此极限不为零的因子 不必参加洛必达法则运算.11coslimxxx1cos例11xxx1)11ln(又当 时，故00所给极限为 型，可以考虑使用洛必达法则.解)cot(arc1lim1coslimxxxxx原式.1111lim22xxx
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