解析几何第四版知识题目解析第四章

《解析几何第四版知识题目解析第四章》由会员分享，可在线阅读，更多相关《解析几何第四版知识题目解析第四章（30页珍藏版）》请在装配图网上搜索。

1、第四章 柱面、锥面、旋转曲面与二次曲面 4.1 柱面1、已知柱面的准线为：x -1）2 + （y + 3）2 + （z - 2）2 二 25x + y z + 2 二 0 且（1）母线平行于x轴；（2）母线平行于直线x = y, z = c ,试求这些柱面的方程。解：（1）从方程 x 1)2 + (y + 3)2 + (z 2)2 二 25x + y z + 2 二 0中消去 x，得到：(z y 3)2 + (y + 3)2 + (z 2)2 二 25 3即: y 2 + z 2 yz 6 y 5 z =0此即为要求的柱面方程。（2 ）取准线上一点M （x，y，z ）0000I x = y，过

2、M且平行于直线丿的直线方程为：I x = x t0 y = yt0I z = z00I z 二 cx = x + t0 y = y +1 n 0z = z0而M 0在准线上，所以(x t 1)2 + (y t + 3)2 + (z 2)2 = 25 x + y z 2t + 2 = 0上式中消去 丫后得到：x2 + y2 + 3z 2 2xy 8x + 8y 8z 26 = 0此即为要求的柱面方程。而M 0在准线上，所以:x t = y 2 + (z + 2t )2x t = 2( z + 2t)消去 f，得到：4X 2 + 25 y 2 + z 2 + 4xz - 20X - 10 Z =

3、0此即为所求的方程。3、求过三条平行直线x = y = z, x +1 = y = z -1, 与x -1 = y +1 = z - 2的圆柱面方程。解：过 又过准线上一点M 1(x1，y1，z1)，且方向为&1,1的直线方程为：X = X -11v y = y -t1z = z -11X = X + t1v y = y +1 n1z = z +11将此式代入准线方程，并消去t得到:5(x2 + y2 + z2 一 Xy 一 yz 一 zx) + 2x +11 y 一 13z = 0此即为所求的圆柱面的方程。4、已知柱面的准线为Y (u)=(u), y(u), z(u)，母线的方向平行于矢量S

4、 = &,Y，Z， 试证明柱面的矢量式参数方程与坐标式参数方程分别为：F- FI-x = Y (u) + vS与x = x(u) + Xv y = y (u) + Yvz = z (u) + Zv式中的 u, v 为参数。证明：对柱面上任一点M (x, y, z)，过M的母线与准线交于点M(x(u), y(u), z(u)，贝 HM M = vS即1、求顶点在原点，准线为x 2 - 2z +1 = ，y - z +1 = 0的锥面方程。解：设为锥面上任一点M (X, y, z)，过M与0的直线为：X _ Y _ Zx y z设其与准线交于(X 0，Y0，Z J，即存在t，使X 0 _ xt,

5、Y0 _ yt, Z _ zt，将它们代入准线 方程，并消去参数t，得:x2 - 2z(z - y) + (z - y)2 _ 0即：x 2 + y 2 - z 2 _ 0此为所要求的锥面方程。2、已知锥面的顶点为(3 ,-1 ,-2)，准线为x2 + y 2 - z 2 _ 1, x - y + z _ 0，试求它的方程。 解：设M (x, y, z)为要求的锥面上任一点，它与顶点的连线为：X - 3 _ Y +1 _ Z + 2x 一 3 y +1 z + 2令它与准线交于(X，Y，Z )，即存在t，使0 0 0X _ 3 + (x - 3)t0” _-1 + (y+!)t0Z _ 2 +

6、 (z + 2)t0将它们代入准线方程，并消去丫得：3x2 -5y2 +7z2 -6xy-2yz+10xz-4x+4y-4z+4 _ 0此为要求的锥面方程。4、求对锥面上任一点M (x, y, z)，过M与顶点0的母线为：X _ Y _ Zx y z令它与准线的交点为(X。, Y , Z。)，即存在t，使X。_ xt, Y _ yt ,Z _ zt，将它们代入准线方程，并消去丫得:xy + yz + zx _ 0此即为要求的圆锥面的方程。5、求顶点为(1, 2, 4),轴与平面2x + 2y + z = 0垂直，且经过点(3, 2,1)的圆锥面的方程。解：轴线的方程为： 过点(3, 2,1)且

7、垂直于轴的平面为：2( x 3) + 2( y 2) + (z 1) 0即：2 x + 2 y + z 11 011 20 371163该平面与轴的交点为(g，g，)，它与(3, 2,1)的距离为：d 上3)2 + (理2)2 + (巴1)2999要求圆锥面的准线为：的径矢为厂-.，y , z L试证明锥面的矢量式参数方程与坐标式参数方程分别为：0 0 0 0Y vy (u) + (1 v)y0与x vx(u) + (1 v) x0 y vy (u) + (1v) y0z vz (u) + (1v) z0式中， u,v 为参数。证明：对锥面上任一点M(x,y,z)，令OM y，它与顶点A的连线

8、交准线于M (x(u), y(u), z(u)，即 OM y (u)。AM / AM7，且AM7丰0 (顶点不在准线上)AM vAM7即 y F v(y(w) F)0 0亦即 y vy (u) + (1 v)C0此为锥面的矢量式参数方程。若将矢量式参数方程用分量表示，即：x,y,z二 vx（u）,y（u）,z（u） + （1 一v）x ,y ,z 000x = vx(u) + (1 - v) x0y = vy (u) + (1 v) y0z = vz (u) + (1 v) z0此为锥面的坐标式参数方程，u, v为参数。 4.3 旋转曲面1、求下列旋转曲面的方程：(1); x一1 - y +1

9、1(2);-y z 111旋转1旋转3）3二-绕z轴旋转;4）空间曲线 绕z轴旋转。1上任一点，过 M 的纬圆为：(1)(2)因M1在母线上，z 11(3)从（1）（3）消去x1，y1，z1，得到:5x2 + 5 y2 + 23 z 2 一 12xy 一 24 yz + 24xz 一 24x + 24y 一 46 z + 23 = 0此为所求的旋转面的方程。（3 ）对母线上任一点M 1（x人,孕，过该点的纬圆为:(1)(2)厂z = z 1x 2 + y 2 + z 2 = x 2 + y 2 + z 2 111又M1在母线上，所以：一=q = 解：（1） *设M （x , y , z ）是母

10、线11111 13 3从（1）（ 3 ）消去x , y , z，得到：1119(x2 + y2) 一 10z2 一 6z 一9 = 0此为所求的旋转面方程。(1)(2)（4 ）对母线上任一点M （x , y , z ），过M的纬圆为： 111Z 二 Z1X 2 + Y 2 + Z 2 二 X 2 + Y 2 + Z 2 1 1 1(1)(2)又M1在母线上，所以Z 二 X 21 1X 2 + Y 2 二 1 11从（1）(3)消去 X , Y , z111得到：z = Z = X 2 10 Z 11 1即旋转面的方程为：X2 + Y2二1(0 Z 1)2将直线二畔二f绕轴旋转，求这旋转面的方程

11、，并飙，卩可能的值讨论这是什 么曲面？ 解：先求旋转面的方程式：(1)(2)3）任取母线上一点M 1（X,人,彳），过M.的纬圆为:Z 二 Z1X 2 + Y 2 + Z 2 二 X 2 + Y 2 + Z 2 1 1 1 又么二口二二a01从（1）(3)消去 X , Y , z111得到：此即为所求旋转面的方程。当a二0,卩工0时，旋转面为圆柱面（以Z轴为轴）； 当a工0,卩二0时，旋转面为圆锥面（以z轴为轴，顶点在原点）；当a,卩h 0时，旋转面变为z轴;当a = 0,卩工0时，旋转面为单叶旋转双曲面。3、已知曲线r的参数方程为x = x(u), y二y(u), z二z(u),将曲线厂绕z

12、轴旋转，求旋转曲面的参数方程。解：如图，设M (x(u), y(u), z(u)为r上任一点，则对经过M的纬圆上任一点p(x, y, z)，4.4 椭球面1、做出平面x - 2 = 0与椭球面乂 +兰+乞=1的交线的图形。=1的交线为解：平面x - 2 = 0与椭球面J+宁+寸O429 42、设动点与点(1,0,0)的距离等于从这点到平面x = 4的距离的一半，试求此动点的轨迹。解：设动点M(x,y,z)，要求的轨迹为，则 条两两相互垂直的射线，分别交曲面 p , p , p ，设 op =r, op = r , op = r ，试证：1 2 3 1 1 2 2 3 3111111+ + +

13、+ r2r 2r 2a2b2c2123证明：利用上题结果，有丄上 +巴2+T(i = 1,2,3)r 2 a2b2c2i其中九屮,v是op的方向余弦。i i ii若将op(i = 1,2,3)所在的直线看成新的坐标系的三个坐标轴，则九，九，九是坐标矢量关于i123新坐标系的方向余弦从而九2 +九2 +九2二1伺理小2 +卩2 +卩2二1 * 2 +V 2 +V 2二1123123123所以，11+ -r 2 r 212+=(九 2 + 九 2 + 九 2 ) +(|LX 2 + 卩 2 + 卩 2 ) +(V 2 +V 2 +V 2 )111+ + -a 2b2c 2即：1 1 1 1 1 1

14、+ + = + + r2 r 2 r 2a2b2c21235、一直线分别交坐标面 yoz, zox, xoy 于 三点 A,B,C ，当直线变动时，直线上的三定点A,B,C 也分别在三个坐标面上变动，另外，直线上有第四点 p ，它与三点的距离分别为a, b, c，当直线按照这样的规定(即保持A, B, C分别在三坐标面上)变动，试求p点的轨 迹。解：设 A(0, y , z ), B(x ,0, z ), C(x , y ,0)，则知：1 12233x z z yx 二一, y 二3 z - z 3 z - z1 2 2 1xz2 1z -z12z y 0),0)z -z21r 2 a 212

15、3 b 2123 c 2123又设 p(x, y,z)x2 + (y - y )2 + (Z - z )2 二 a2i1 B C 0)试问当九取异于A, B, C的各种数值时，它表示怎样的曲面？解：对方程丄二 + 二= 1 （A B C 0）（*）A-九 B-九 C-九1。、当九A时（*）不表示任何实图形；2。、当A九B时（*）表示双叶双曲面；3。、当Bx C时（*）表示单叶双曲面；4。、当九C时（*）表示椭球面。3、已知单叶双曲面才+才4 = 1，式求平面的方程，吏这平面平行于yoz面（或xoz面）且与曲面的交线是一对相交直线。解：设所求的平面为x = k，则该平面与单叶双曲面的交线为：x

16、2y 2z 2.亦即*)- = 1 494x = ky 2 z2k 2-=1 - 944x = k为使交线（*）为二相交直线，则须：1-才=0，即k = 2所以，要求的平面方程为：x = 2同理，平行于xoy的平面要满足它与单叶双曲面的交线为二相交直线,则该平面为：y = 34、设动点与（4,0,0）的距离等于这点到平面x =1的距离的两倍，试求这动点的轨迹。解：x2 + 20 y 2 - 24 x -116 = 0此即为要求的射影柱面方程。6、设直线1与m为互不垂直的两条异面直线，C是1与m的公垂线的中点，A, B两点分别在直线1，m上滑动，且ZACB = 90。，试证直线AB的轨迹是一个单

17、叶双曲面。令 A（x , y , c） , B（x , y , -c），则有：1 1 2 2y +九x = 0, y 一九x = 01 1 2 2又AC丄CB，所以：x 2 + y 2 + c2 + x 2 + y 2 + c2 = （x 一 x ）2 + （y 一 y）2 + （2c）21 1 2 2 1 2 1 2亦即x x + y y 一 c 2 = 01 2 1 2又设M （x，y, z）为AB上任一点，则（3）x - x y - yz - c1 =4 =x -x y - y-2c2 1 2 1从（1）（ 3 ）中消去 x , y , x , y，得：1 1 2 2九 2 （1 九 2

18、 ） x 2 （1 九 2 ） y 2 + 九 2 Z 2 =九 2 c 2即：亠-亠+兰=1(4)c 2九 2 c 2 c 21 一九21一九2/ l不垂直m，.九H 1(4)表示单叶双曲面，即 AB 的轨迹是一单叶双曲面7、试验证单叶双曲面与双叶双曲面的参数方程分别为：x = atgu cos v y = btgu sin vz = c sec ux = a sec u cos v y = b sec u sin v 与z = ctgu解为：x2y 2+= 2 za 2b2令确定 a 与 b1(1,2,6)和*-1,1)均在该曲面上。有：14“+=12 a 2 b 2V11c+ =2 、9

19、a2b2从而a236 1b2所以要求的椭圆抛物面的方程为：等+竽=22 即：18 x 2 + 3 y 2 二 5 z2、适当选取坐标系，求下列轨迹的方程：(1)到一定点和一定平面距离之比为定常数的点的轨迹；(2)与两给定的异面直线等距离的点的轨迹，已知两异面直线间的距离为2a，夹角为2a。解：(1)取定平面为xoy面，过定点且垂直于xoy面的直线作为z轴，则定点的坐标设为(0,0, a)，而定平面即为2 = 0，设比值常数为c，并令所求的轨迹为丫，则点 M (x, y, z) g S oVX2 + y2 + (z - a)2 c=c即x2 + y2 + (1 -c2)z2 -2az + a2

20、= 0此为的方程。(2 )取二异面直线的公垂线为轴，中点的坐标为原点；再取x轴，使其与二异面直线的夹J y - tga - x 二 0 z 二-a角相等，则二异面直线的方程为：J y + tga - x 二 0z 二 a设所求的轨迹为工，则11 Jyz - a2+z - a x2+xy2一tga00 11一tgaX1 + tg 2aM (x, y, z) e E o1Jyz + a2+z + ax2+xy2tga0011tgay 1 + tg 2a解：略。5、试验证椭圆抛物面与双曲抛物面的参数方程可分别写成：x = a(u + v) y = b(u - v)z = 2uvx = au cos

21、v y = bu sin v与1z = u 22式中的u,v为参数。解：对方程x=aucosv y = bu sin v1z = u 22消去参数u, v得：竺+ 21 = 2 za 2 b2这正是椭圆抛物面的方程。对方程x = a(u + v) y = b(u - v)z = 2uv消去参数u, v得：乂 - 21 = 2 za 2b2这正是双曲抛物面的方程。 4.7 单叶双曲面与双叶双曲面的直母线1、求下列直纹面的直母线族方程：(2 ) z = axy解：(1)从原方程得： x 2 -z 2 二-y 2即: (X + z)(x z)二y - y亦即：丄二 t o r+z 二tyx z1(x

22、 z)t 二一y为了避免取极限，将上方程写成：s (x + z)二 ty (x z )t = sy若将原方程变形为 :y 2 z 2 二x 2 ，则可得到：u (y + z)二 vx v(y z)二ux(1)(2)若令 u = =(t s) , v = +(t + s),则(2)便是(1)原曲面的直母线族是(1),其中s,t不全为零。(2 )原方程变形为：-二ayx亦即：三=ay = txz 二 xtay 二 tz由=axyz 二 syax 二 s(1)(2)即这原曲面的两组直母线族方程。得：(1)(2)2、求下列直线族所成的曲面(式中的九为参数)1)2）x + 2Ay + 4 z _ 4九A

23、x2y4Az _ 4解：(1)原方程等价于X _ yZ _ AI从此式中消去九，得：z 2 _x+y此即为直母线(1)所形成的曲面。(2 )从原方程中消去九得：乂 +竺z2 _ 1 164此即为(2)的直母线族所形成的曲面。3、在双曲抛物面16 宁_z上，求平行于平面3 x + 2 y - 4 4 _ 0的直母线。解：双曲抛物面盏宁_z的两族直母线为:X y _42（x y） _ u （丁 _ 三）_ z 42f x y_ v42vG + 斗）-z42第一族直母线的方向矢量为：2,1,u 第二族直母线的方向矢量为： 2,1,v据题意，要求的直母线应满足：2 x 3 2 4u 0 n u 12

24、x 3 + 2 4v 0 n v 2要求的直母线方程为：fx y _ 242x y z + 二 _ 一 4 2 24、试证单叶双曲面兰+竺匕1的任意一条直母线在xoy面上的射影，一定是其腰圆 a 2b2c2的切线。x 2 y 2_ = 1证明：单叶双曲面的腰圆为I a2 b2、z = 0两直母线为：x z J y、+ = v(1 )a cbx z -1(1, y)(1+丿、a c v b 2 x1 y (1 、它在xoy面内的射影为:i a vbv(2)、z = 04 y2b2将(2)的第一式代入(1)的第一式得：v + - + 2 (- v)2 +v b v即：(V + )2y2 + ( V

25、2)y + ( V)2 二 0 b2v b v 2v上述方程的判别式为：&二上(丄V 2)2 A(v + i)2(i V)2 二 0b 2 V 2b 2V V(2)与(1)相比，证毕。5、求与两直线二6二2二二！与兰二上二8二 土 相交，而且与平面2x + 3 y 5二0平3 2132 21行的直线的轨迹。解：设动直线与二已知直线分别交于(x，y，z )，(x，y，z )，则0 0 0 1 1 1x 6 y z 10 = 0 = 0x y 一 8 z + 4= 1= 13 2 21又动直线与平面2x + 3y 一 5 - 0平行，所以，2(x x ) + 3(y 一 y ) = 00 1 0

26、1对动直线上任一点M (x, y, z)，有:x - x y - y z - z 二4 二ox -x y -y z -z1 0 1 0 1 0从()(4)消去 xo,y o,z o, xi, yi, zi ,得到：斗一亍=4 46、求与下列三条直线x = -1y 二z都共面的直线所构成的曲面。解：动直线不可能同时平行于直线;x二1及直线;x二-1L y 二 z y二-z不妨设其与第一条直线交于p (1，九,九)注P (1,九,九)与第二条直线的平面为：Mx +1) - (y + z)二0过p与直线三=于的平面为为(x + - 3( y - z沪3( x - +( y + z) = 0动直线的方

27、程为：九(x +1) - (y + z)二 0九(x +1) - 3( y - z) - 3( x -1) + (y + z) = 0从上式中消去参数九，得：x2 + y2 - z2二1此为所要求的轨迹方程。7、试证明经过单叶双曲面的一 直母线的每个平面一定经过属于另一族直母线的一条直母 线，并举一反例，说明这个命题与双曲抛物面的情况下不一定成立。证明：单叶双曲面兰+兰-兰=1的一族直母线为：a 2 b2 c2zx z、 J y、u ( + ) = v(1 + ) a cbVzxz、“y、v(_ ) = u (1 -)L a cb过该族中一条直母线的平面为：su(+ z)- v(1 + ) +

28、tvU ) u(1 )= 0a c b ac b1)即：su (X+ )一 SV(1 + )+ tv( 一 -)- tu( 一 ) =0ac b a c b另一族直母线为：m( + ) = n(1 -) acbn( - ) = m(1 + ) acb过该族中一条直母线的平面为：km( + ) - n(1 ) + ln( 一 -) 一 m(1 + ) = 0a c b a c b即 km伫 + ) 一 kn(1 - ) + nl( 一 -) 一 ml(1 + ) = 0( 2 )a c b a c b对照(1)(2 )得，只要令m = s,k = u,n = t,1 = v，得(2 )便是(1)

29、 了亦即过u族每一直母线的任一平面都经过v族中的一条直母线，同理，对v族的直母线也有类似性质。对双曲抛物面：乂 -兰=2z a 2 b2其族直母线为：*)u (丄-) = zab取其中的一条(即取定u)，显然平面-+上=2u通过直母线(*),但该平面不通过V族直 ab母线中的任何一条，这是因为：v族直母线丄-兰=w ab、(a+b)v=z的方向矢量为止丄，兰b a ab1丄+1丄+0 兰=A丰a b b a ab abxy平面-+扌=2u不能通过v族中的任何直母线。8、试求单叶双曲面竺+ 21 土 = 1上互相垂直的两条直母线交点的轨迹方程。 a 2b2 c 2解：由于过单叶双曲面上每点仅有一

30、条U母线和一条v母线，所以它的同族直母线不能相交，设单叶双曲面的二垂直相交的直母线为：w( + ) = u (1 + )a cbVzx z、 y、u (_ _) = w(1 _)、a cb“ x z、 Jy、t ( + ) = v(l )a cbVzxz、“ y、v(_ _ ) = t(1 + 丁)、 acb将两方程化为标准式，得：a(t2 + v2)a(v2 _t2)x _z _2vt= y =2vta(v2 _12)_2bvtc(v2 +12)由此求出二直线的交点坐标为：a(uv + wt)b(vw_ut)c(uv_ wt)x =, y =, z =vw + ut vw + utvw +

31、ut又二直线垂直，a 2(u 2 一 w 2)(v 2 一 12) 一 4b 2 uvwt + c 2(u 2 + W 2)(v 2 + 12) = 0a2(uv+ wt)2 +b2(vw_ut)2 +c2(uv_wt)2.x2 + y 2 + z2 =(vw + ut )2=a2(u2v2 + w212) + b2(v2W2 + U212) + c2 (u2V2 + W212) + 2(a2 _ b2 _ c2)uVWt(vw + ut)2=(U 2 V 2 + W 212)(a 2 + c 2) + b 2 (v 2 W 2 + U 212) + 2(a 2 _ b 2 _ c 2 )uV

32、Wt(vw + ut)2=(a2 _c2)(w2v2 + u212) + b2(v2w2 + u212) + 2(a2 _b2 _c2)uvWt + 4b2UvWt(vW + ut)2(a2 +b2 _c2)(W2v2 +u2t2 +2uvWt)(vW + ut)2=a 2 + b 2 一 c 2即 x 2 + y 2 + z 2 = a 2 + b 2 一 c 2又交点在单叶双曲面上，所以：兰+ 21 一 土 = 1a 2b2 c 2故交点的轨迹为q a 2x 2 + y 2 + z 2 = a 2 + b 2 - c9、试证明双曲抛物面兰-鼻=2z（a丰b）上的一两条直母线直交时，其交点必

33、在一双曲a 2b2线上。证明：由于过双曲抛物面上一点仅有一条u族直母线，也仅有一条v族直母线，所以同族的 直母线不能相交。设两相交的直母线为：其方向矢量为a,-b,2ubx + ay 一 2abu = 0 ubx 一 uay 一 abz = 0bx 一 ay 一 2abu = 0 ubx + uay 一 abz = 0其方向矢量为a, b,2v1*）由二直线直交，所以 :a2 一b2 + 4uv = 0 n uv = （b2 一 a2）4二直母线的交点坐标为：x = a（u + v） q y = b（u 一 v）z = 2uv但由（*）式有：兰-竺=b 2a 2b2z=b2 一 a22（* *

34、）为一双曲线方程，交点在一双曲线上。10、已知空间两异面直线间的距离为2a，夹角为2a，过这两条直线分别作平面，并使这 两平面相互垂直，求这样两平面交线的轨迹。解：建立坐标系：取二异面直线的公垂线作为z轴，公垂线的中点为原点0，让x轴与二异 面直线夹角相等，则二直线方程为：y + tga - x 二 0 z 二 ay tga x 二 0z 二a过这两直线的平面为：兀：九(z a) + u (y + tga x)二 0兀：l (z + a) + m( y tga x)二 0 2亠心亠仏(z a) + u(y + tga x)二 0二平面的交线为：Il(z + a) + m(y tga x)二 0

35、兀丄兀12九l + um(1 一 tg 2a) = 0当二异面直线不直交时，fga产1，从(1)(2 )中消去九,u，1,m，得:兰聖 + 二1单叶双曲面a 2 (ctg 2a 1) a2(1tg2a) a2 此为要求的轨迹方程。当二异面直线直交时，则tga二1，此时(1)(2)变为：Jx (z a) + u (y + x)二 0 |1 (z + a) + m( y x)二 0X1 = 0当x= 0时，(1)为；y + x = 0Il (z + a) + m( y x) = 0(1)(2)(1)它的轨迹为平面y + x = 0。当 l = 0 时，为 $(z a) + u(y + x) = 0y - x 二 0它的轨迹为平面y- x二0从而当二异面直交时，动直线(1)的轨迹为二平面：(x x ) (y y ) + 2(z z ) = 01 1 1x 2 + y 2 + (z 1)2 = x 2 + y 2 + (z 1)21 1 1