气体分子热运动速率和能量统计分布律

《气体分子热运动速率和能量统计分布律》由会员分享，可在线阅读，更多相关《气体分子热运动速率和能量统计分布律（32页珍藏版）》请在装配图网上搜索。

1、第 三 章 气体分子热运动速率和能量的统计分布律3-1 设有一群粒子按速率分布如下：粒子数Ni24682速率V (m/s)i1.002.003.004.005.00试求(1 )平均速率V； (2)方均根速率尸2 (3)最可几速率Vp解：(1)平均速率：V _ 2 x 1.00 + 4 x 2.00 + 6 x 3.00 + 8 x 4.00 + 2 x 5.00 彳囲(m/s)2 + 4 + 6 + 8 + 2(2) 方均根速率工N V 2ii工Ni 3.37(m/s)3-2 计算 300K 时，氧分子的最可几速率、平均速率和方均根速率。解：2 x 8.31 x 300 X 32 x 10 -

2、3_ 395 m / sVP8 x 8.31 x 3003.14 x 32 x 10 -3_ 446 m / sV3 x 8.31 x 30032 x 10 -3_ 483 m / s3-3 计算氧分子的最可几速率，设氧气的温度为 100K、1000K和 10000K 。解：V -卩RT代入数据则分别为: Vp -厂T=100K 时 V = 2.28 X 10 2 m / sPT=1000K 时 v = 7.21 x 10 2 m / sPT=10000K 时 v = 2.28 x 10 3 m / sP3-4 某种气体分子在温度 T 时的方均根速率等于温度 T 时的 12平均速率，求T/T。

3、21解：因萨=,HL v =匹由题意得：.T/T二更2 1 T3-5求0C时1. 0cm3氮气中速率在500m/s到501m/s之间的分子数（在计算中可将dv近似地取为v=lm/s ）解：设1. 0cm3氮气中分子数为N,速率在500501m/s之间 内的分子数为 N,由麦氏速率分布律： N= N-4 “J :KT)2 em T2 KTV - V 2 -A V2KT.V二p2 m，代入上式 N= 4 N “ V 2-V 2 A VN- V -1 p e Vp2兀V 2因 500 到 501 相差很小，故在该速率区间取分子速率 V=500m/s，又v = ：2 x 8.31 x 273 仝 40

4、2 m / sV=lm/sp28 x 10 - 3v=1. 24)代入计算得:N=1.86X10-3N 个vp3-6设氮气的温度为300C，求速率在3000m/s到3010m/s之间的分子数与速率在1500m/s到1510m/s之间的1分子数之比。2解： 取分子速率为 V=3000m/s1V =1500m/s, V =V =10m/s2 1 2由 5 题计算过程可得：V = 4n “ V 2-先v1 V V -1 e 兀 p V 2PN=竺 v -i V 2 e - V22AV2 2 百 VP V 2 e Pp()2 e-(二)2N/N = Vp2V - ( V1 )2(i )2 e(Vp)V

5、p其中仁2JX2X = 2.18 X 10 3 m/Sv=1. 375,=0.687vp1AN2处75 RT二 2.182 x 103m / s1卩 x e 1.375 2 仝 0.9690.687 2 xe-0.6872解法2：若考虑 V二V=10m/s比较大，可不用近似法,12用积分法求，“2dN= IN V - 3 e兀p1)(2)N1=iV2dNV1i Vi dNV4 dNV3iV 2 dN0i V4 dN0i V1 dN0i V3 dN0i=1、2、3、4 利用 16 题结果 :Nerf (x )-iN=1N=2Nerf (x2 )Nerf(x4)-2x .e 一x2 N erf (

6、x 丿冷 X 4 e - X十 N erf ( X 3)J x e - xf其中V =PV=1 = 1.375VPV=2 = 1.379VPV=0.6722VP查误差函数表得：erf(x )=0.9482erf(x )=0.948912erf(x )=0.6687 erf(x )=0.6722 34将数字代入(1)、(2)计算，再求得:=0.703AN1AN23-7 试就下列几种情况，求气体分子数占总分子数的比率：(1) 速率在区间v10V1内pp(2) 速度分量v在区间v10v1内x p p(3) 速度分量 v 、 v 、 v 同时在区间 v 10v1 内p p p p p解：设气体分子总数

7、为N,在三种情况下的分子数分别为 N N N123( 1 ) 由麦氏速率分布律 N= JV2 dN = JV2 dN - JV1 dNV10 0v-2 = 1.01，vp令 v =1.01v , V =V , x2 p i p x利用16 题结果可得；ANN=erf (x )x e x 2222x e x 1211erf( x ) =084682查误差函数表： erf( x ) =084271 A N1 = 0.008 NdNN= .v i e、抹 pxv 2p dvANv -1AN2Jv2e)2dvVVexp -( x )2d ( x )-v -1二 1Jv1e二 1.01)2dvexp -

8、 (v)2d ( x )x2 e-x2dxx1 e-x2-dx利用误差函数：erf (x)二J x e xp ( - x 2 ) dx0ANc2N二 2erf (x2)-erf ( x1 )二 28468 一。8427 二。21%（3）令x =二，由麦氏速度分布律得:Vpv2p-dv dv dvxyzdN 1* -v - 3 eN兀”兀 pAN3N0x2 e-x2- x 2dx- J x 1 e 1 dx 0-(AN)3 - (0.002 )3 - 0.8 X 10 -8N3-8 根据麦克斯韦速率分布函数，计算足够多的点，以 dN/dv 为纵坐标， v 为横坐标，作 1 摩尔氧气在 100K

9、和 400K 时的 分子速率分布曲线。解：由麦氏速率分布律得：dNdvm2 KT2v2将 n=314, N=N =6.02 X 1023T=100KAm=32 X 1 0-3代入上式得到常数：A= 4兀N ( m )2 e a 2 兀 KT dN 二 Ae - bv 2 V 2dvB 二 m2 KT(1)为了避免麻烦和突出分析问题方法，我们只做如下讨论：由麦氏速率分布律我们知道，单位速率区间分布的分子数随速率的变化，必然在最可几速率处取极大值，极大值为：令 dN则y 二二 Ae - bv 2 V 2 丿、Jdv空 二 Ae -bv 2 2V + V 2 e -bv 2 (-2 BV )二 0

10、dv又在 V=0 时，y=0, Vfg 时，yf0又VP1VP2T=100KVT=400K12v V v 由此作出草图P 1P 2求速率倒数的平均值1。vm 3 |mv2=轨(2KT)2 J；e -2 KTVdV解溉（需r “水2 -址齐.,m eKT. _8=4兀()2 -(_)-e 2KT2 兀 KTm0i 2m4nKT 而3-10 一容器的器壁上开有一直径为 0.20mm 的小圆孔，容器贮有100C的水银，容器外被抽成真空，已知水银在此 温度下的蒸汽压为 0.28mmHg 。（1）求容器内水银蒸汽分子的平均速率。（2）每小时有多少克水银从小孔逸出？小 / 八 “ _8RT _ I 8 x

11、 8.31 x 373解：-_ ： 3.14 x 201 x 10 _3=1.98 x 10 2 (m Is)(2)逸出分子数就是与小孔处应相碰的分子数 其中1 nV - 1旦是每秒和器壁单位面积碰撞的分子数，所以每小时从小孔逸出的分子数为：1nV st44 KTs = “ （d）2是小孔面积，t=3600s，故N = 1 丄V s.t，代入24 KT数据得：N=4.05X1019 （个） M = mN = N = NA二 1.35 x 10 -2(g)201 x 10 - 36.02 x 10 23x 4.05 x 10193-11 如图 3-11，一容器被一隔板分成两部分，其中气体的压强，

12、分子数密度分别为p、n、p、n。两部分气体的温1 1 2 2度相同，都等于T。摩尔质量也相同，均为“。试证明： 如隔板上有一面积为 A 的小孔，则每秒通过小孔的气体质 量为：M2兀RTA (P P )1 2证明：设pp，通过小孔的分子数相当于和面积为A的12器壁碰撞的分子数。从1跑到2的分子数：N = 1 nV. A . t1 41 1从2跑到1的分子数：N = 1 n.A . t2 422实际通过小孔的分子数：（从1 转移到 2）A N 二 N - N121 At (n_1V1-n2V2)因 t=1 秒，p ,KT8 RTT =T =T12二 mAn = 1 Am 匝(厶4 计呻 KTpcZ

13、KT )卩：8 RT RT 兀卩若p2pi,则MV,表示分子实际是从2向1转移。3-12 有 N 个粒子，其速率分布函数为f (v )dNNdV二 C(v0v0)f (v) = 0(vv)0(1) 作速率分布曲线。(2) 由 N 和 v 求常数 C。0(3) 求粒子的平均速率。解：(1) f (v) = C (v 0v0) I f (v) = 0(vv)0得速率分布曲线如图示(2). js f (v)dv 二 10:f (v)dv = 0 jv0cdv = 10cv 01c 二一v03)v = j s vf (v) dv =01cv 2 =201v203-13 N 个假想的气体分子，其速率分布

14、如图 3-13 所示(当 vv时，粒子数为零)。(1)由N和V求a。00(2)求速率在1.5V到2.0V之间的分子数。00(3) 求分子的平均速率。解：由图得分子的速率分布函数：x-Va(0V V )V N00YaN(V0V 2 V )0f(v) =0(V2 V )0dN 二Nf ( V) dvN =j s Nf (V ) dV-j V 0 V-dV+ j 2 V adv00 VV 001a+ aV =3V 2V a2V0002o2Na 二3V0速率在15V0到20V0之间的分子数A N 二 J 2 V 0 Nf (V ) dV = f 2 V o adV1.5V01.5V 0=a (2 V

15、- 1.5 V ) 001 2 NN= V = 2 3 V 0303-14 证明：麦克斯韦速率分布函数可以写作：dNdx二 F (x 2)其中vpF (x2)二4Nx2e-x2证明：dN = Nf (v) dvm2冗KT3 mv 2)2 e 2 kt v 2 dvv 2p v 2 dv4N4Ne - x2 x 2 dxdNdx3-15设气体分子的总数为N,试证明速度的X分量大于某一 给定值V的分子数为：aN二N1 - erf (x)xvxg2(提示：速度的X分量在0到8之间的分子数为N ) 2证明：由于速度的X分量在区间vv +dv内的分子数x x x为：dNvv -i ev2-dv故在范围内

16、的分子数为：dNdNv-xjvdN由题意：j8 dNjvdNjvv -1 ev2-dv-x-利用误差函数得：jvdNe - x2dx=乡 erf (x)2 erf ( x )1 - erf ( x)3-16设气体分子的总数为N,试证明速率在0到任一给定值 v 之间的分子数为：2A N= N erf (x) 一e - x2 其中xr, v为最可几速率。p提示：d (xe - x2) = e - x2 dx - 2 x 2 e - x2 dx 证明：AN0T=N Jv f (v) dv0NJv0” / m 、3 一v 2,4 兀()2 e 2 kt v 2 dv2兀KTJv4 NJ兀 0-v 2v

17、 -3e v2p v 2dvpv2_evv 2v -1p-dvv2p，则 dv = v dxp由提示得：Jx e - x2 x 2 dxxe - x2 dx = e - x2 dx - d (xe - x2) x - Jxd(xe-x2)02AN=-丄Jxe-x2dx0 T v7 兀 2 o2=N erf (x) - e - x2 冗3-17 求速度分量 v 大于 2 v 的分子数占总分子数的比率。xp解：设总分子数N,速度分量v大于2 v的分子数由15xp题结果得：AN1 - erf ( x )其中2v-p可直接查误差函数表得： erf（2）=0.9952也可由误差函数：erf(z)1!3z

18、6引7c“z9 - z4!9 - 5! 11将 z=2 代入计算得： erf(2)=0.9752二 0.24%人N21 0.99522 v T 8-pN23-18设气体分子的总数为N,求速率大于某一给定值的分子数，设(1 )v=v (2)v=2v ，具体算出结果来。pp解：(1) v=v时，速率大于v的分子数：ppAN 二 N J8 f (v)dv 二 N J8 f (v)dv Jv f (v)dv 1v00利用 16 题结果：AN = N 1 一 erf (x) +2 xe -x2兀这里x = v = 1vpA N 厂 N 1 0.8427 + 0.41二 0.57 N(2) v=2v时，x

19、 = v = 2，则速率大于2v的分子数为:pvppA N 2 二 N 1 - erf (2) + e 一 4二 0.046 N3-19 求速率大于任一给定值 v 的气体分子每秒与单位面积器壁的碰撞次数。解：由 18 题结果可得单位体积中速率大于 v 的分子数为：1 -= vn4vT 8-nV 1 -4erf (x) +2xxe -x2二 n1 - erf (x) + - xe -x2, (n 二在垂直x轴向取器壁面积dA,则速率大于V能与dA相碰的分子，其v仍在0间，由热学P30例题，每秒 x与单位面积器壁碰撞的速率大于v的分子数为：n f ( v ) v dvvT 8x x x3-20 在

20、图 3-20 所示的实验装置中，设铋蒸汽的温度为T=827K,转筒的直径为D=10cm，转速为3 =200n l/s,试求铋原子Bi和Bi分子的沉积点P到P点（正对着2狭缝s ）的距离s，设铋原子Bi和Bi分子都以平均速32率运动。解：铋蒸汽通过s到达P处的时间为:3D在此时间里R转过的弧长为: 卩Bi= 209Bi 2=418SBi3D23D2冲B 8 RT2 v2S 二 1 D t 二23 D 22 v代入数据得：=1.53 (cm )c3D 2兀卩S =BiBi 2： 8 RT3-21 收音机的起飞前机舱 中的压力计批示为 1.0atm， 温度为270C；起飞后压力 计指示为0.80at

21、m，温度仍 为27 0C,试计算飞机距地 面的高度。解：根据等温气压公式：P=P0e -有 In = -H = -In 其中 In =In = -0.223,空气 的平均分子量 u=29.H= 0.223 X =2.0 X103(m)3-22 上升到什么高度处大 气压强减为地面的 75%？ 设空气的温度为 0 0C.解：由题意知： =0.75故 H = -In 代入数据得：H=2.3X103(m)3-23 设地球大气是等温的，温度为t=5.0 0C,海平面 上的气压为 P0=750mmHg, 令测得某山顶的气压 P=590mmHg，求山高。已知 空气的平均分子量为28.97.解： H = -

22、In 代 入数据得：H=2.0X103(m)3-24 根据麦克斯韦速度分 布律，求气体分子速度分量 vx的平均值，并由此推出气 体分子每一个平动自由度 所具有的平动能。解：(1) x= -vx2f(vx)dv x=20vx2( ) e - vx2dv x = v -1pJ 0vx2 e - vx2dvx查热学附录 3-1 表得： x= Vp-1( )3/2=同理可得：y= x=(2)分子总的平动能： 2=2= m x=同理得： = =可见，气体分子的平均 动能按自由度均分，都等于 KT.3-25令 = mv2表示气体 分子的平动能，试根据麦克 斯韦速率分布律证明，平动 能在区间 +d内的 分子

23、数占总分子数的比率 为：f(s)ds= (KT) -3/2* e-w/KTdw根据上式求分子平动能的最可几值。证明：(1) T f(v)dv =4 n( )3/2 e v2v2dv(KT)-3/2( v2)l/2e-mv2/2KTd()T = mv2故上式可写作：F(s)ds= (KT) -3/2吒e -w/KTdw(2)求最可几值即f( )为 极大值时对应的值。=(KT) -3/2 e-s/KT(- )+e- s-=(KT) -3/2e - ( s- -s /KT)=0： - - =0得： p = =3-26 温度为 27 0C 时，一摩 尔氧气具有多少平动动 能？多少转动动能？解：氧气为双

24、原子气 体，在T=300K下有三个平 动自由度，两个转动自由 度。由能均分定理得：s= RT =x8.31x300 = 3.74x103 (J)= RT =8.31x300 = 2.49x103(J)3-27在室温300K下，一摩 托车尔氢和一摩尔氮的内 能各是多少？一克氢和一 克氮的内能各是多少？解：u 氢=RT =6.23X 103(J)U 氮= RT =6.23X 103(J)可见，一摩气体内能 只与其自由度(这里 t=3,r=2,s=0)和温度有关。一克氧和一克氮的内 能：U=：U 氢=3.12 X 103(J)U 氮= = = 2.23X103(J)3-28 求常温下质量为 M=3.

25、00g 的水蒸气与 M=3.00g 的氢气的混合气 体的定容比热解：设 Cv1 、Cv2 分别为水蒸气和氢气的 定容比热，Cv1、Cv2分别 为水蒸气和氢气的定容摩 尔热容量。在常温下可忽略 振动自由度，则有：Cv1= R =3R.Cv1=Cv2= R =2.5RCv2= =Cv = = ( + )= 5.9 (J/gK)3-29 气体分子的质量可以 由定容比热算出来，试推导 由定容比热计算分子质量 的公式。设氩的定容比热Cv = 75CalKg-l K-1，求氩 原子的质量和氩的原子量.解：(1)一摩尔物质 定容热容量为：Cv =ucv，对 理想气体来说：Cv = (t+r+2s)R分子质量

26、 m = = (t+r+2s)R(t+r+2s) (Cv=75cal/kgk)(2) 氩是单原子 分子，故 Cv = R =3(Cal/mol K)故氩的原子量u= = 4.0 X 10-2(Kg/mol)分子质量m=6.6X10-26(Kg)3-30 某种气体的分子由四 个原子组成，它们分别处在 正四面体的四个顶点：(1) 求这种分子的平 动、转动和振动自由度数。(2) 根据能均分定理 求这种气体的定容摩尔热 容量。解：(1)因n个原子组 成的分子最多有3n个自由 度。其中3 个平动自由度， 3个转动自由度，3n-1个是 振动自由度。这里n=4，故 有 12 个自由度。其中3 个 平动、个转动自由度， 6个 振动自由度。(2) 定容摩尔热容 量：Cv= (t+r+2s)R =X18X2= 18 (Cal/molK)V=亠=0.687VP2) 由麦氏速率分布律：