圆锥曲线存在性问题

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1、圆锥曲线中的存在性问题一、基础知识1、在处理圆锥曲线中的存在性问题时，通常先假定所求的要素（点，线，图形或是参数） 存在，并用代数形式进行表示。再结合题目条件进行分析，若能求出相应的要素，则假设成 立；否则即判定不存在2、存在性问题常见要素的代数形式：未知要素用字母代替（1）点：坐标（0, *）（2）直线：斜截式或点斜式（通常以斜率为未知量）（3）曲线：含有未知参数的曲线标准方程3、解决存在性问题的一些技巧：（1）特殊值（点）法：对于一些复杂的题目，可通过其中的特殊情况，解得所求要素的必 要条件，然后再证明求得的要素也使得其它情况均成立。（2）核心变量的选取：因为解决存在性问题的核心在于求出未

2、知要素，所以通常以该要素 作为核心变量，其余变量作为辅助变量，必要的时候消去。（3）核心变量的求法： 直接法：利用条件与辅助变量直接表示出所求要素，并进行求解 间接法：若无法直接求出要素，则可将核心变量参与到条件中，列出关于该变量与辅助变 量的方程（组），运用方程思想求解。二、典型例题：X2 V 23一 例1：已知椭圆C :一 += 1（a b 0）的离心率为;，过右焦点F的直线l与C相交 a 2 b 232于A,B两点，当l的斜率为1时，坐标原点O到l的距离为 丁。（1）求a, b的值（2）C上是否存在点P，使得当l绕F旋转到某一位置时，有OP = OA + OB成立？若存 在，求出所有的P

3、的坐标和l的方程，若不存在，说明理由解：（1）e = = a : b : c =/3:”:1a 3则1 = 73c,b = 2c，依题意可得：F(c,0)，当l的斜率为1时l: y = x - c n x - y - c = 0|c|点=22解得：c = 1.1 = 3, b = 2 椭圆方程为：= 132(2)设P(x ,y )，A(x ,y ),B(x ,y ) 001122当l斜率存在时，设l: y = k (x -1)-OP = Oa + OB.x0 = x1+ x2、y0 = y1 + y2y = k (x -1)联立直线与椭圆方程： 消去y可得:2 x 2 + 3 y 2 = 6(

4、3k 2 + 2 )x2 - 6k 2x + 3k 2 - 6 = 02x 2 + 3k 2 (x -1)2 = 6整理可得:6k 26k 34k.x + x = y + y = k (x + x ) 2k = 2k =123k 2 + 212123k 2 + 23k 2 + 2(6k 2因为P在椭圆上2+3I 3k2+2 )2=63k2+ 2 )72k4 + 48k2 = 6(3k2 + 2) n 24k2(3k2 + 2)= 6(3k2 + 2)24k 2 = 6(3k 2 + 2 )n k = 克当 k =、时，l: y =克(x-1)，P当 k = -b 0）的右焦点f2的直线交椭圆于

5、a, b两点，f1为其左3 焦点，已知时1B的周长为8,椭圆的离心、率为项 （1）求椭圆r的方程 （2）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆恒有两个交点p, Q，且OP OQ ？若存在，求出该圆的方程；若不存在，请说明理由解：（1）由AFB的周长可得：4a = 8 n a = 2 ie = = WL n c = 3:. b2 = a2 - c2 = 1a 2x 2一椭圆：丁 + y 2 = 14（2）假设满足条件的圆为X2 + y2 = r，依题意，若切线与椭圆相交，则圆应含在椭圆内若直线 PQ 斜率存在，设PQ : y = kx + m，P(X, yjQ(x2, y2)、PQ

6、与圆相切 d =.Ol ：k 2 +1OP 1 OQ n OP - OQ = 0 即 xx + yy = 01212联立方程：yn (1 + 4k2 )x2 + 8kmx + 4m2 - 4 = 0I x 2 + 4 y 2 = 48km4m 2 4x + x , XX 1 2 4k 2 +1 1 2 4 k 2 +1. y y - (kx + m)(kx + m)= k2xx + km(x + x )+ m21 2121 212xx + y y = (k2 + 1)xx + km(x + x )+ m212121 212=名*2+1)+ krn 8km + m24k 2 +1)5m2 - 4

7、k 2 - 4 -4k 2 +15m2 - 4k2 - 4 = 0对任意的m, k均成立将 m2 = r2 (k2 + 1)代入可得：5r2 (k2 +1)- 4 (k2 +1)= 0.(5r2 - 4)(k2 +1)=0r2 = 45，一皿、42箱5存在符合条件的圆，其万程为：X2 + y2 =- 当PQ斜率不存在时，可知切线PQ为x = 2 5 若PQ: x =护则p f检1Q f号OP - OQ = 0PQ: X =诲符合题意若PQ:x = -2 b 0）经过点（）*2），离心率为1，左，右焦点分别为 a 2 b 22（-G0 ）和 F（G0 ）（1）求椭圆C的方程（2）设椭圆C与x轴负

8、半轴交点为A，过点M （-4,0）作斜率为k （k丰0）的直线l，交椭圆C于B,D两点（B在M,D之间），N为BD中点，并设直线ON的斜率为k1 证明：k - k1为定值 是否存在实数k，使得FN 1 AD ?如果存在，求直线l的方程；如果不存在，请说明1理由解：（1）依题意可知：e = = ；可得：a :b ： c = 2：t3：1 a 2椭圆方程为:乂 +于=1，代入虬为可得：C = 1 4c23c2尤2 y 2 椭圆方程为：y =1(2)证明：设B(x ,y ),D(x , y )，线段BD的中点N(x ,y )112200设直线l的方程为：y = k (x + 4)，联立方程：y =

9、k(x + 4) 化为：(3 + 4k2 )x2 + 32k2x + 64k2 -12 = 03 x 2 + 4 y 2 = 12由a0解得：k2v4-32k264k2 -12且 x + x =, xx =12 4k 2 + 3 1 24k 2 + 3x + x16k2 0 =2= 4k 2 + 3y0x04kA k=-34k4假设存在实数k，使得FN 1 AD，则kN kAD =-112k_ y _3+4k2_ 4k.0F1Nx +116k 2 +1 1 - 4k 20 3 + 4k 2 *k _ y _ k (x? + 4)AD _ x2 + 2 = x + 2k k -, k (x2 +

10、 4) = -1FN AD1 - 4k 2x + 2即 4k2x2 + 16k2 - (4k2 - 1)x2 + 8k2 - 2 n x2 =-2 - 8k2 v -2因为D在椭圆上，所以x2 e-2,2，矛盾所以不存在符合条件的直线l例4：设&为椭圆E :三+ y =1(a八 0)的右焦点，点小在椭圆E上，直线l：3x - 4 y -10 = 0与以原点为圆心，以椭圆E的长半轴长为半径的圆相切(1) 求椭圆E的方程(2) 过点F的直线l与椭圆相交于A,B两点，过点P且平行于AB的直线与椭圆交于另一点Q，问是否存在直线l，使得四边形PABQ的对角线互相平分？若存在，求出l的方程；若不存在，说明

11、理由解：(1).10与圆相切. 710.d = = 2 = r . a = 2一，3 x2 y2 - rr将P 1r代入椭圆方程-+ - = 1可得：b = V3I 2)4 b 2x2 y2椭圆方程为：a+t1 (2)由椭圆方程可得：F(1,0) 设直线 l: y = k (x 1)，则 PQ: y k (x 1)联立直线l与椭圆方程:y = k (x 1) 消去 y 可得:(4k2 + 3)x2 8k2x + 4k2 12 0 、3 x 2 + 4 y 2 12.= (8k 2) 4 (4k 2 + 3 )(4k 2 12 )= 144k 2 +144.玉12 (k 2 +1)4k2 + 3

12、4k 2 + 3|AB| J1 + k2 |x x I = J 1 + k2 L同理: 联立直线PQ与椭圆方程:y = 1)+ 2 消去 y 可得：(4k2 + 3)x2 (8k2 12k)x + 4k2 12k 3 03 x 2 + 4 y 2 12A2 (8k2 12k)2 4(4k2 12k 3)(4k2 + 3)= 144 - + k + k24k 2 + 34k 2 + 3因为四边形PABQ的对角线互相平分四边形PABQ为平行四边形.|AB| = |PQ|12 饥+1）_J144 业+k 2: 4k 2 + 3 -、24k 2 + 33解得：k 4.存在直线l ：3x-4y-3 0时

13、，四边形PABQ的对角线互相平分例5：椭圆c： f +苔=氐b 0）的左右焦点分别为F q，右顶点为A，P为椭圆I上任意一点，且声 1 -笔的最大值的取值范围是g,2，其中c -底总求椭圆Ci的离心率e的取值范围 （2）设双曲线以椭圆C1的焦点为顶点，顶点为焦点，B是双曲线C2在第一象限上任意一点，当e取得最小值时，试问是否存在常数人（人0），使得ZBAF XZBFA恒成立？11若存在，求出入的值；若不存在，请说明理由 解：(1)设 P (x, y ), F (-c,0 ), F(c,0 ) PF (-c - x, - y ), PF (c - x, - y )PF - PF x2 + y2-

14、c212.x2 y2b2由 + - 2c2 a 2. c2 b2 3c2 n c2 a2 - c2 3c2 n a 2可得：y2 b2 x2代入可得：a 2 b 2a 2 -(b 2),PF - PF x 2 + y 2 - c 2 1 - x 2 + b 2 -.x e-a, a:. (PF - PF ) b 212 max1112：- e2 = e 0, y 010000当 AB x轴时，x = 2c, y = 3c 3c 一:.tanBFA = = 113c，-一， 兀.Z BFA =-14兀因为ZBAF =12:.Z BAF = 2/BFA所以X = 2，下面证明人=2对任意B点均使得

15、ZBAF =人ZBFA成立 1考虑 tan ZBAF = - k1ABy0 x - 2c,tan ZBFA = k1y0BF1x + c.：tan 2ZBFA =血二叫A11 - tan2 ZBFA12 .-2x + c，二 x0 + c )2 y (x + c)+ cox2 y2由双曲线方程一-三=1，可得:c 23c 2:(x + c)2 - y 2 = (x + c)2 - 3x2 + 3c2 = -2x2 + 2cx + 4c22 y (x + c) :tan 2ZBFA = 0-4=12 (x + c)(2c - x )=2(x + c)(2c-x ):.Z BAF = 2 ZBFA

16、1结论得证.:人=2时，* = tan ZBAF2c - x10ZBAF = XZBFA 恒成立过点P（0,1）的动直线l与椭例6：如图，椭圆E : + = 1（a b 。）的离心率是三 a 2 b 22圆相交于A,B两点，当直线l平行于x轴时，直线l被椭圆E截得的线段长为22 （1）求椭圆E的方程囹=也|Q8| PB（2）在平面直角坐标系xOy中，是否存在与点P不同的定点Q，使得对于任意直线l, 恒成立？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由解：(1)e = -:. a : b: c =(2:1:1a 2一一 ，X2y 2椭圆万程为荻+云T 由直线l被椭圆E截得的线段长为22及椭圆的对

17、称性可得:点八、（.21）在椭圆上2 1+ -1 n b 2 - 2 二 a 2 - 42b 2b 2x 2y 2椭圆方程为彳+土 =1（2）当l与x轴平行时，由对称性可得：PA - PB. IQA.|QBIPAPB-1 即 |QA| - |QB|Q在AB的中垂线上，即Q位于y轴上，设Q（。,”当l与x轴垂直时，则A.|PA| = 42-1,|PB| = H +1 |QA| = |yo _|,|QB| = |* + 扼|QA =回 n|QB| |PB|=-可解得y二1或yo = 2.P，Q 不重合yo = 2 Q（0,2 ）下面判断Q（0,2）能否对任意直线均成立若直线l的斜率存在，设l: y

18、 - kx +1，A (x , y ), B (x , y )1122联立方程可得：n + 2k2)x2 + 4kx 2 = 0I y = kx +1|四:T :QB pb可想到角平分线公式，即只需证明QP平分BQA只需证明 y = -y n y + y = 0A (x , y ), B (x , y )1122.k= , kQA x QB1y 22x2k + k = 1+QA QB x1y2-2x2x (y 2)+ x (y 2) x y + x y 2(x + x ) 2112 2 1U-21xxxx1212因为 A(x , y ),B(x ,y )在直线 y = kx +1 上，1122

19、七=:广1代入可得: y = kx + 122x (kx +1)+ x (kx +1) 2(x + x ) 2kxx (x. k + k = 11 21212+ x )xx12联立方程可得：+yn(1 + 2k2 )x2 + 4kx 2 0I y = kx +1.x + x.k + k4k ,x x1 + 2k 2 1 21 + 2k 2北 24k2k - +1 + 2k 2 1 + 2k 2 = 01 + 2k 2QP平分ZBQA由角平分线公式可得：QA=耳例7：椭圆C :三+ g = 1（。八 0）的上顶点为A，Pg, （J是。上的一点，以庭为直径的圆经过椭圆C的右焦点F（1）求椭圆C的方

20、程（2）动直线l与椭圆C有且只有一个公共点，问：在x轴上是否存在两个定点，它们到直线l的距离之积等于1？若存在，求出这两个定点的坐标；如果不存在，请说明理由解：由椭圆可知：A(0,b),F(c,0).AP为直径的圆经过F.FA 1 FP:.FA - FP = 0-fA = (c, b), F = (- - c,-33 )(4 b 24b 2. c c + 二 0 n c2 c + 二 03)333_(4 b由P ,三在椭圆上，代入椭圆方程可得：V 3 3 )1 161 b2 .+= 1 n a 2 = 2a2 9 b2 94b 2八c2 r c + - = 0713 3 n b = c = 1

21、b 2 + c 2 = a 2 = 2（2）假设存在x轴上两定点M1 （七,0）, M 2 （气,0 ），（七气）设直线l: y = kx + mdM1 l|k X + mk 2 +1所以依题意:|kX + m |k人 + m k2人人 + km(人 +人) k 2 +1M 2-l；k 2 +1k 2 +1+ m 2=1因为直线l与椭圆相切，联立方程:y = kx + m (n(2k 2 + 1)x 2 + 4kmx + 2m 2 2 = 0x 2 + 2 y 2 = 2由直线l与椭圆相切可知 二（4km）2 4（2k2 + 1）Gm2 2）= 0化简可得：m2 = 2k2 + 代入可得:k2

22、XX + km(X + X )+ 2k2 +1=1 n k2XX + km(X + X )+ 2k2 +1k2 +1如（松+1）+饥（七+气）=。，依题意可得：无论k,m为何值，等式均成立-11人人_11 2人人+人0 n Z.OM ONOM ON XX 4考虑x2 + 42 = (2x + x)2 + 4(2 + )2 = (x2 + 42)+ 4(x2 + 42)+ 4xx +16 212111221 21 2X2 + 4 2 = 4X2 + 4 2 = 4X2 + 42 = 4 + 4 X 4 = 20X 2 2X 2 2即T的轨迹方程为+ =1，由定义可知，T到椭圆布+ =1焦点的距离

23、和为定值A, B为椭圆的焦点 .AB所以存在定点A, B例9：2/5椭圆E:户+ =1(a b 0)的焦点到直线X - 3 = 0的距离为半，离心率为抛物线G: 2 = 2px(p 0)的焦点与椭圆E的焦点重合，斜率为k的直线l过G的焦点与E交于A,B，与G交于C,D(1)求椭圆E及抛物线G的方程(2)是否存在常数人，使得ABCD为常数？若存在，求出入的值；若不存在，请说明理由 解：(1)设E,G的公共焦点为F(c,0)c 10d = =- n c = 2.n = =巨 n a =后二 b2 = a2 - c2 = 1 a 5y2 = 8x(2)设直线l: y = k(x - 2), A(x

24、,y ),B(x ,y ),C(x ,y ),D(x ,y )11223344f y = k (x - 2)()与椭圆联立方程：n 将k2 + 1)x2 - 20k2x + 20k2 - 5 = 0x 2 + 5 y 2 = 520k 220k 2 - 5x + x =, x x =2 +1)1 2 1 + 5k 2 1 2 1 + 5k 2AB =1 + k2 J(x + x 】 2-4xx =1 2J = 2|EA|2 |EB|2 6 - x2若存在点E，则EG%：3,0)。若E(：3,0) 设AB : x = my +用，与椭圆C联立方程可得： 21 + 5k 2直线与抛物线联立方程：y

25、 = k (x - 2)n k 2x2 -(4k 2 + 8 )x + 4k 2 = 04k 2 + 8x + x =CD是焦点弦8 (k 2 +1)CD = x + x + 4 =CD1 + 5k 24 + 20k2 +1若|ABCD16 j5为常数，则 20 + *5入=4: .x =-例10：如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C :兰+ : = 1（a b 0）的离心率为蒙， a 2 b 23直线l与x轴交于点E，与椭圆C交于A, B两点，当直线l垂直于x轴且点E为椭圆C的、2J6右焦点时，弦AB的长为（1）求椭圆C的方程（2）是否存在点E，使得 J + 二为定值？若存在，EA2 EB

26、2请求出点E的坐标，并求出该定值；若不存在，请说明理解：（1）依题意可得：e = = 了. a :b : c =J3:1:*2a 3当l与工轴垂直且E为右焦点时，AB为通径IABIa = v6, b =J12b 2 26 =a 3(2) 思路：本题若直接用用字母表示A, E, B坐标并表示|EA|,| EB|，则所求式子较为复杂，不易于计算定值与E的坐标。因为E要满足所有直线，所以考虑先利用特殊情况求出E点11及定值，再取判定(或证明)该点在其它直线中能否使得 + 为定值。EA2 EB2解：(2)假设存在点E，设E(x0,0) 若直线AB与x轴重合，则A(*6,0),BC；6，0)EA =x0

27、 + 网,|EB| =11/1 、/ 1 、?x?+1?网+ EB J + 福)* J .6) (x2-6000若直线| AB|与x轴垂直，则A, B关于x轴对称设AG。,y), B (%，顼，其中y。，代入椭圆方程可得:.|EA| = EB = ,：2 -号12 x 2 +12x 2 + 3 y 2 = 6一，消去y可得: x = my + 3EA2 |EB|2 n 2 (x2 + 6)(6 - x2 )= 6 (x2 - 6)，可解得:20 *+ 3 y 2 = 6 n (m2 + 3 )y 2 + 2、j3my - 3 = 03m2 + 3 y1 + y2 =2挡m ,y y m 2 +

28、 3 1211 =EV，同理：，,1、|EB| 2(m 2 + 1)y2|ea|，y y m 2 + 3 1 : G-x) + y2 m2y; + y;11若E03,0），同理可得|ea|2 + |eb|2为定值211 + |EA|2 |EB|2(y + y22 y(m 2 + 1)y2 y2y2 +、y;2 +1)y2y211=(.)+() =)m 2 +17 y 2 m 2 +17 y 2 m 2 +17代入二y1 + y2、3m1 + |EA |2 |EB |218m2 +189fc1)=212m 2 + 6 (m 2 + 3)(m 2 + 3)-9(m2 +1)1所以 |ea|2 +

29、|eb|2为定值，定值为2综上所述：存在点E侦；3,0 ），使得1|EA|2 + |EB|2为定值2三、历年好题精选】、已知中心在原点，焦点在坐标轴上的椭圆e : a+壬=1（a b 0）过点p扇毛离心率为1，过直线l: x = 4上一点M引椭圆E的两条切线，切点分别是A,B 2（1）求椭圆E的方程 （2）若在椭圆a + y = 1（a b 0）上的任一点N （x0, y0 ）处的切线方程是三1 + 工 =1，求证：直线AB恒过定点C，并求出定点C的坐标 a 2b2（3）是否存在实数人，使得|AC| + |BC| = RAC| |BC|恒成立？（点C为直线AB恒过的 定点），若存在，求出入的值

30、；若不存在，请说明理由2、已知椭圆C:三+= 1（。 b 0）的一个焦点与抛物线y2 = 4x的焦点重合，a 2 b 2如3 一D 1，s是椭圆C上的一点V 2 7（1）求椭圆C的方程（2）设4B分别是椭圆C的左右顶点，P,Q是椭圆C上异于A,B的两个动点，直线AP, AQ的斜率之积为-4，设APQ与BPQ的面积分别为*, S2，请问：是否存在常数Xg R），使得S =人S恒成立？若存在，求出入的值，若不存在，请说明理由 123、已知椭圆一+二= 1（a b 0）经过点0 3），离心率为二，左，右焦点分别为a 2 b 22F （c,0 ）和 F （c,0 ）（1）求椭圆C的方程（2）设椭圆C与

31、x轴负半轴交点为A，过点M （-4,0）作斜率为k （k丰0）的直线l，交椭圆C于B,D两点（B在M,D之间），N为BD中点，并设直线ON的斜率为k1 证明：k - %为定值 是否存在实数k，使得FN 1 AD ？如果存在，求直线l的方程；如果不存在，请说明1理由4、已知圆M : （x +寸5） + y2 = 36，定点N（ 5,0），点P为圆M上的动点，点Q在NP上，点G在MP上，且满足NP = 2NQ,GQ - NP = 0（1）求点G的轨迹C的方程（2）过点（2,0）作直线l，与曲线C交于A,B两点，O是坐标原点，设OS = OA + OB，是否存在这样的直线l，使得四边形OASB的对角

32、线相等（即|OS| = |AB|）？若存在，求 出直线l的方程；若不存在，试说明理由5、（2014,福建）已知双曲线E :三兰=1（a 0,b 0）的两条渐近线分别为l : y = 2x，a2 b21(1)求双曲线E的离心率如图，。为坐标原点，动直线1分别交直线,l2于瓦B两点以,B分别在第一、四象限），且SB的面积恒为8,试探究：是否存在总与直线l有且只有 一个公共点的双曲线E ？若存在，求出双曲线E的方程；若不存在请 说明理由习题答案:1、解析：（1）e = = - a : b : c = 2: 0, y 2 0y + y =, y y =，12 12 + 12 1212 + 12AC|

33、= J(x -1)2 + y 2 =互 y ,| BC| = J(x -1)2 + y 2 =JEEN 1131 、2 勺 313 + =.ac| |bc| 西；2 y39 +12L 1 y2 70+ 1y 12 + t2 7_3v9 +12y y -y y123v9 +12- y1y1 y22108+ 12 +12 -2712 +12 0解得：k 21 4-32k264k2 -12且 x + x =, xx =12 4k 2 + 3 1 24 k 2 + 3x + x 16k 20 = 2=-4k2 + 3y0 =k (x0+4 )=芸3k = L =1 x 4k33kk =- k =1 4

34、k 4假设存在实数k，使得FN 1 AD，则k k =-11F1N AD12k.k =工=374?=工F1N x +1 - 16k 2 +1 1 - 4k 20七 + 4k 2 *kADyk (x + 4)x + 2 x + 2kFNk _ 4kk (x? + 4) _ 1a 1 - 4k 2x2 + 2 即 4k2x2 + 16k2 =(4k 2 - 1)x2 + 8k 2 - 2 n x2 =-2 - 8k 2 -2因为D在椭圆上，所以x2 g -2,2，矛盾所以不存在符合条件的直线l4、解析：(1)由NP = 2NQ,GQ -NP = 0可得Q为PN的中点，且GQ 1 PN二GQ为PN的

35、中垂线PG = GNGN| + |GM| = mP = 6G点的轨迹是以M,N为焦点的椭圆，其半长轴长为a = 3，半焦距c =方,X2V2,轨迹方程为：亏+=1 (2)因为 OS = OA + OB四边形OASB为平行四边形 若OS = |AB|，则四边形OASB为矩形，即OA OB = 0 若直线l的斜率不存在，则l: x = 2, B f 2,-号x = 2z联立方程：_ + 2必，即 AI 2,3、OA OB = 16丰0 故i: x = 2不符合要求 9若直线l的斜率存在，设l: V = k(X - 2), A (x , y ), B (x , y )1122r2 如 n(9k2 +

36、 4)x2 - 36k2x + 36 (k2 -1)= 0x2y2+= 19436k 236 (k2-1)x + x =, xx =i 2 9k 2 + 4 i 2 9k 2 + 4y1 y2=k(x -2) k(x -2)= k2-2(x + x )+ 4=20k 29k 2+ 4-OA L OB :. OA OB = 020k 2八，,3=0，解得：k = + 9k 2 + 49k 2 + 42一 一36 (k2 -1):.OA OB = xx + y y =1 21 2所以存在l: 3x - 2y - 6 = 0或3x + 2y - 6 = 0，使得四边形OASB的对角线相等b5、解析：

37、（1）由双曲线方程可知，渐近线方程为y = xab.:一 =2 n b = 2a a.:e = f = 5a.:c2 = a2 + b2 = 5a2(2)若直线l 不与 x 轴垂直，设l: y = mx +1, A(x , y ),B(x , y )1122联立方程:tx =X = my +111 2mn y = 2 x2ty =112mI x = my +1 同理可得 cI y = 2 xn/1y1t1 + 2m2t1 + 2m设直线l与x轴交于C0,。）一 y22t+1一 2m 1 + 2m2t=8 n 12 = 4 1 一 4m2由直线l与渐近线的交点A,B分别在第一、四象限可知:x 2 y 2由可得双曲线方程为：云-赤=1 联立i与双曲线方程:x = my +1()()n 4m2 17y 2 + 8mty + 4 v2 a 2) = 04 x 2 y 2 = 4a 2因为i与双曲线相切/.A =(8mt)2 16 (t 2 a 2 )Cim 2 1)= 0整理可得：4m2a2 + 4 G 一 4m2) a2 = 0 n G 一 4m2 )(4 一 a2 )= 0 x 2 y 2所以a2 = 4/双曲线方程为:一=1416x2y2存在一个总与1相切的双曲线，其方程为厂土 =1