小号发出的波足以把玻璃杯振碎

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1、1小号发出的波足以把玻璃杯振碎小号发出的波足以把玻璃杯振碎2 1 简谐振动简谐振动 2 简谐振动的合成简谐振动的合成 3 阻尼振动与受迫振动简介阻尼振动与受迫振动简介 第第6章章 机械振动基础机械振动基础3 机械振动：机械振动：物体位置在某一值附近来回往复的变化物体位置在某一值附近来回往复的变化 广义振动：广义振动：一个物理量在某一定值附近往复变化一个物理量在某一定值附近往复变化 该物理量的运动形式称振动该物理量的运动形式称振动 物理量：物理量：iQHEr等等等等4重要的振动形式是重要的振动形式是 简谐振动简谐振动(S.H.V.)simple harmonic vibration物理上：物理上

2、：一般运动是多个简谐振动的合成一般运动是多个简谐振动的合成数学上：数学上：付氏级数付氏级数 付氏积分付氏积分也可以说也可以说 S.H.V.是振动的基本模型是振动的基本模型或说或说 振动的理论建立在振动的理论建立在S.H.V.的基础上的基础上注意：注意：以机械振动为例说明振动的一般性质以机械振动为例说明振动的一般性质51 简谐振动简谐振动xkkxfx,066.1.1.以弹簧谐振子为例以弹簧谐振子为例kmx0 xkx设弹簧原长为坐标原点设弹簧原长为坐标原点22txmkxdd022xmktxdd0222xtxdd由牛顿第二定律由牛顿第二定律令令mk2 简谐振动简谐振动整理得整理得）（注：或书中形式2

3、20dtxdxxmkxkxxm 02xx 70222xtxdd02xx 020 xx 0 02022 dtxd)cos(tAx08tAxtxsinddxtAxdtxdta2222cos ddtAxcos则速度和加速度分别为9、简谐振动的、简谐振动的振幅、周期、频率和相位振幅、周期、频率和相位表征了系统的能量表征了系统的能量位移位移xkm0 xxA振幅振幅最大位移最大位移由初始条件决定由初始条件决定tAxcos广义：广义：振动的物理量振动的物理量弹簧谐振子弹簧谐振子特征量：特征量：10位相位相 周相周相系统的周期性系统的周期性 固有的性质固有的性质称固有称固有频率频率21T圆频率圆频率t相位相位

4、初相位初相位角频率角频率tAxcos 取决于时间零点的选择取决于时间零点的选择初位相初位相频率频率T周期周期11简谐振动的描述简谐振动的描述tAxcostAtxsindd2costAxtAta22cosddcos2tAa1.解析描述解析描述12均是作谐振动的物理量均是作谐振动的物理量频率相同频率相同振幅的关系振幅的关系Am2Aam相位差相位差超前超前 落后落后ax,tAxcos2costAcos2tAa132.曲线描述曲线描述ToxtAAaA2tAxcos2costAcos2tAa141）谐振动谐振动0222xtxddtAxcos从对象的运动规律出发从对象的运动规律出发（电学规律电学规律 力学

5、规律等）力学规律等）T小结小结2）动力学方程）动力学方程 S.H.V.的判据的判据156.1.3 振幅和初相的确定决定简谐振动的具体形式 需知外力条件，还需知道初始条件，即t0时的位移 和速度 。tAtAxsincos0tsincos00AAx)arctan(022020AxA0 x0设书中例题，（197页）16练习题：弹簧振子的振动表达式用余弦函数表示。若t0时物体的运动状态分别为（1）（2）过平衡位置向x正方向运动；（3）且向x负方向运动。试用相量图法分别确定相应的初相。解：设振动表达式为tAxcostAsin时，0)1(t则000Ax0sin1cos同理3)3(,2)2(相量图分别为：x

6、O3/2/xxOOAAAAx020Ax 176.1.4 简谐振动的能量简谐振动的能量 如如 弹簧谐振子弹簧谐振子kmx0 x系统机械能守恒系统机械能守恒以弹簧原长为势能零点以弹簧原长为势能零点ckxm222121)(cos21)(sin2122222tkAtmAkm22222212121mAkxm221kA18222212121kAkxm讨论讨论1)普适普适2AE 2)时间平均值时间平均值PKEE241kA3)由简谐振动能量求振动由简谐振动能量求振动Ckxm)2121(22ttddddtxdd022 kxtxmdd0222xtxdd例题（203页）（理解）19则总A21)1(2kAEEEpkJ

7、EJEpk6.0,2.0mAxEkxEEEpkp18.025.022222121)2(2，则时，当总2)21(21)3(AkEp练习：一弹簧振子，劲度系数为25N/m,当物体以初动能和初势能分别为 振动时，请回答：（1）振幅是多大？（2）位移是多大时，动能和势能相等？（3）位移是振幅一半时，势能多大？练习：一弹簧振子，劲度系数为25N/m,当物体以初动能和初势能分别为 振动时，请回答：（1）振幅是多大？（2）位移是多大时，动能和势能相等？（3）位移是振幅一半时，势能多大？20t6.1.5.旋转矢量表示法旋转矢量表示法用匀速圆周运动用匀速圆周运动 几何地描述几何地描述 S H V规定规定xoAA

8、A tAxcosx端点端点在在x轴上的投影式轴上的投影式逆时针转逆时针转以角速度以角速度)cos(tAxt21tAxcos1）直观地表达振动状态直观地表达振动状态优点优点tx0Axt当振动系统确定了振幅以后当振动系统确定了振幅以后表述振动的关键就是表述振动的关键就是相位相位 即即表达式中的余弦函数的表达式中的余弦函数的综量综量)(t而旋转矢量图而旋转矢量图可可直观地显示该综量直观地显示该综量分析解析式分析解析式可知可知用图代替了文字的叙述用图代替了文字的叙述22x如如 文字叙述说文字叙述说 t 时刻弹簧振子质点时刻弹簧振子质点 在正的端点在正的端点Ax 0t旋矢与轴夹角为零旋矢与轴夹角为零12

9、3t 质点经二分之一振幅处质点经二分之一振幅处向负方向运动向负方向运动xoA意味意味A意味意味2Ax 023A质点过平衡位置向负方向运动质点过平衡位置向负方向运动32t43t5Axt同样同样432 0向负方向运动向负方向运动x12xoAA0 x 02Ax 00 x 02或或2Ax 0 xoxAAA6786780 向正向运动向正向运动25cos2coscos2tAatAtAxxaAAA2由图看出：速度超前位移由图看出：速度超前位移加速度超前速度加速度超前速度2称两振动称两振动同相同相2）方便地方便地比较振动步调比较振动步调位移与加速度位移与加速度称两振动称两振动反相反相0若若262 简谐振动的合

10、成简谐振动的合成一、同方向同频率一、同方向同频率谐振动谐振动的合成的合成二、同方向不同频率二、同方向不同频率谐振动谐振动的合成的合成 拍拍三、三、两个垂直方向谐振动的合成两个垂直方向谐振动的合成 利萨如图形利萨如图形四、谐振分析四、谐振分析27 当一个物体同时参与几个谐振动时当一个物体同时参与几个谐振动时 就需考虑振动的合成问题就需考虑振动的合成问题 本节只讨论满足线性叠加的情况本节只讨论满足线性叠加的情况 本节所讨论的本节所讨论的同频率同频率的谐振动合成结果的谐振动合成结果 是波的是波的干涉和偏振光干涉干涉和偏振光干涉的重要基础的重要基础 本节所讨论的本节所讨论的不同频率不同频率的谐振动合成

11、结果的谐振动合成结果 可以给出重要的可以给出重要的实际实际应用应用28、振动方向相同、振动方向相同 振动频率相同的振动频率相同的 两个两个SHV的合成的合成21xxcos(cos(21AA)21tt线性叠加线性叠加21xxxxo1A12A2A0t结果：结果：仍是谐振动仍是谐振动振动频率仍是振动频率仍是 振动的振幅振动的振幅cos2212221AAAAA（双光束干涉的理论基础）（双光束干涉的理论基础）29cos2212221AAAAA 若若021AAA21AAA反相反相 合振动合振动减弱减弱同相同相 合振动合振动加强加强特殊结果：特殊结果：若若21AA 若若两振动同相两振动同相两振动反相两振动反

12、相12AA 0A可能的最强振动可能的最强振动“振动加振动振动加振动”不振不振动动30、振动方向相同振动方向相同 频率略有差别的频率略有差别的 振幅相等的振幅相等的 两个两个SHV的合成的合成 拍拍分振动：分振动：tAxtAx202101coscos21线性相加：线性相加：ttAxxx2cos2cos22121021结论：结论：合成已不再是谐振动合成已不再是谐振动 但考虑到但考虑到 1 2 可以用可以用 谐振动表达式等效谐振动表达式等效 加深认识加深认识31ttAxxx2cos2cos22121021分析：分析：2121221则则tA2cos2210较较t2cos21随时间变化缓慢随时间变化缓慢

13、将合成式写成谐振动形式将合成式写成谐振动形式ttAxcos)(tAtA2cos2)(210329tx1 2tx2 1=1-2 tx合振动可看做是振幅缓变的谐振动合振动可看做是振幅缓变的谐振动合成振动如图示合成振动如图示表达式为表达式为ttAx2cos2cos22121033|21vvv拍 拍拍 合振动的周期性的强弱变化叫做合振动的周期性的强弱变化叫做拍拍 拍频拍频 单位时间内合振动加强或减弱的次数叫拍频单位时间内合振动加强或减弱的次数叫拍频测未知频率的一种方法测未知频率的一种方法tAtA2cos2)(210由式由式得得22221134、两个垂直方向谐振动的合成、两个垂直方向谐振动的合成1.同频

14、率的谐振动合成同频率的谐振动合成21)cos()cos(2211tAytAx线性相加：线性相加：)cos()cos(2211tAtAyx轨迹方程是椭圆轨迹方程是椭圆即即 合成的一般结果是椭圆合成的一般结果是椭圆3512 不同不同 椭圆形状、旋向也不同椭圆形状、旋向也不同 =3/2 =5/4 =7/4 =/2 =/4PQ =0yx =3/4（-3/4）（-/2）（-/4）36nmnm,21，合成轨迹为合成轨迹为稳定的闭合曲线稳定的闭合曲线利萨如图利萨如图 yxA1A20-A2-A1达达到到最最大大的的次次数数达达到到最最大大的的次次数数yxyxyx 例如左图：例如左图：23 yx 应用：应用：测

15、定未知频率测定未知频率37四、谐振分析四、谐振分析 利用付里叶分解利用付里叶分解 可将任意振动分解成若干可将任意振动分解成若干SHV的叠加的叠加(合成的逆运算）合成的逆运算）对周期性振动：对周期性振动：)cos(2)(10kkktkAatxT2=T 周期周期k=1 基频基频（）k=2 二次谐频二次谐频（2）k=3 三次谐频三次谐频（3）决定决定音调音调决定决定音色音色高次高次谐频谐频38共振共振(简谐振动）简谐振动）振动振动受迫振动受迫振动自由振动自由振动阻尼自由振动阻尼自由振动无阻尼自由振动无阻尼自由振动无阻尼自由非谐振动无阻尼自由非谐振动无阻尼自由谐振动无阻尼自由谐振动振动的形式振动的形式

16、:393 阻尼振动与受迫振动阻尼振动与受迫振动 一、一、阻尼振动阻尼振动 二、受迫振动二、受迫振动 三、共振三、共振 40一、一、阻尼振动阻尼振动 系统在振动过程中系统在振动过程中 受到粘性阻力作用后受到粘性阻力作用后 能量将随时间逐渐衰减能量将随时间逐渐衰减 系统受的粘性阻力与速率成正比系统受的粘性阻力与速率成正比 比例系数比例系数 叫阻力系数叫阻力系数 关系式为关系式为:f41kmxox弹性F阻力f22txmtxkxdddd022txmxmktxddddm2令令称阻尼因子称阻尼因子mk20系统固有频率系统固有频率由牛顿第二定律有由牛顿第二定律有整理得整理得式中式中42022022xtxtx

17、dddd 如果无阻尼如果无阻尼是谐振动的形式是谐振动的形式 存在阻尼存在阻尼仍振动但能量会衰减仍振动但能量会衰减如果能振动起来（欠阻尼情况）如果能振动起来（欠阻尼情况）上述方程的解是什么形式呢？上述方程的解是什么形式呢？从物理上考虑：从物理上考虑：阻尼振动方程为阻尼振动方程为43)cos(0teAxt220所以所以 解的形式必定是解的形式必定是在在谐振动谐振动的基础上乘上一的基础上乘上一衰减衰减因子因子即形式为：即形式为：可以证明：可以证明：tx44过阻尼过阻尼临界阻尼临界阻尼欠阻尼欠阻尼xt0三种阻尼振动三种阻尼振动过阻尼：过阻尼：0 临界阻尼：临界阻尼：0 欠阻尼：欠阻尼：0 22045二

18、二、受迫振动、受迫振动 振动系统在外界驱动力的作用下维持等幅振动振动系统在外界驱动力的作用下维持等幅振动 设驱动力按余弦规律变化设驱动力按余弦规律变化 即即tHFcostHtxkxtxmcos22dddd由牛顿第二定律有由牛顿第二定律有46mk20m2mHh thxtxtxcos22022ddddtHtxkxtxmcos22dddd整理得整理得其中其中固有频率固有频率阻尼因子阻尼因子47mk20m2mHh thxtxtxcos22022dddd 受迫振动系统达到稳定时受迫振动系统达到稳定时 应做与驱动力频率相同的谐振动应做与驱动力频率相同的谐振动 其表达式为：其表达式为：)cos(tAx用旋矢

19、法可求出上式的用旋矢法可求出上式的A和和 48thxtxtxcos22022ddddthtAtAtAcos)cos()2cos(2)cos(202)cos(tAx)2cos(tAtxdd)cos(222ddtAtx49thtAtAtAcos)cos()2cos(2)cos(202A20A22Ah222022)()2(AAAh2220222)()2(hA画任意时刻旋矢图画任意时刻旋矢图由旋矢图可知：由旋矢图可知：得得驱动力驱动力初相为初相为零零2202arctg位移与驱动力的相位差位移与驱动力的相位差50在在弱阻尼弱阻尼即即 0的情况下的情况下系统的振动速度和振幅都达到最大值系统的振动速度和振幅

20、都达到最大值 共振共振当当 =0 0时时2220222)()2(hA三、共振三、共振 2202共振共振现象共振现象普遍普遍有利有弊有利有弊160年前年前 拿破仑入侵西班牙拿破仑入侵西班牙 桥塌桥塌几十年后几十年后 圣彼德堡卡坦卡河圣彼德堡卡坦卡河1940年年 美国美国 桥桥 大风大风 流速流速51小号发出的波足以把玻璃杯振碎小号发出的波足以把玻璃杯振碎521940年华盛顿的塔科曼大桥建成年华盛顿的塔科曼大桥建成同年同年7月的一场大风引起桥的共振月的一场大风引起桥的共振 桥被摧毁桥被摧毁53我国古代对我国古代对“共振共振”的认识：的认识：蜀人有铜盘，早、晚鸣如人扣，蜀人有铜盘，早、晚鸣如人扣，公元五世纪公元五世纪天中记天中记：问张华。问张华。张华曰：此盘与宫中钟张华曰：此盘与宫中钟相谐相谐，故声故声相应，相应，可改变其薄厚。可改变其薄厚。第第6章结束章结束作业：，