《状态空间表达式解》PPT课件

《《状态空间表达式解》PPT课件》由会员分享，可在线阅读，更多相关《《状态空间表达式解》PPT课件（51页珍藏版）》请在装配图网上搜索。

1、2.1 线性定常连续系统齐次状态方程的解线性定常连续系统齐次状态方程的解2.6 线性离散系统状态方程的解线性离散系统状态方程的解2.2 线性定常连续系统状态转移矩阵的几种算法线性定常连续系统状态转移矩阵的几种算法2.3 线性定常连续系统非齐次状态方程的解线性定常连续系统非齐次状态方程的解2.4 线性时变连续系统状态方程的解线性时变连续系统状态方程的解2.5 线性连续系统状态方程的离散化线性连续系统状态方程的离散化2.1 线性定常连续系统齐次状态方程的解线性定常连续系统齐次状态方程的解u=0X(t0)=X0X=AXt0=0设设 n=1x=ax解为解为x(t)=eatx0且且eat=1+at+a2

2、t2/2！+对于对于 n阶，阶，解为解为X(t)=eAtX0eAt=I+At+A2t2/2！+矩阵指数函数矩阵指数函数证明：证明：设设X(t)解的形式为解的形式为X(t)=b0+b1t+b2t2+bktk+代入状态方程代入状态方程b1+2b2t+3b3t2+kbktk1+=A(b0+b1t+b2t2+bktk+)b1=A b0b2=A b1=A2b01212!b3=A b2=A3b01313!bk=A bk1=Akb01k1k!b1=A b0b2=A b1=A2b01212!b3=A b2=A3b01313!bk=A bk1=Akb01k1k!令令t=0，X(t)=b0+b1t+b2t2+bk

3、tk+，X(0)=b0=X0将上述结果代入将上述结果代入X(t)X(t)=(I+At+A2t2/2！+)X0=eAtX0若若t0 0，则，则 X(t)=eA（tt0)X(t0)SX(S)X(0)=AX(S)(SIA)X(S)=X0X(S)=(SIA)1X0对对X=AX取拉氏变换取拉氏变换对上式取拉氏反变换对上式取拉氏反变换X(t)=L1(SIA)1X0=eAtX0X(t)=eAtX0记为记为:(t)=eAt (tt0)=eA（tt0)状态方程解：状态方程解：X(t)=(t)X0 X(t)=(tt0)X(t0)状态转移曲线状态转移曲线eA（t1t0)X(t0)X(t0)X(t1)X(t)t0t1

4、状态转移矩阵满足的条件：状态转移矩阵满足的条件：(tt0)=A (tt0)(0)=IeAt=L1(SIA)1X(t)=eA（tt0)X(t0)状态转移矩阵：状态转移矩阵：eA（tt0)或或eAt根据定义得证根据定义得证eAt=I+At+A2t2/2！+证明：根据定义证明：根据定义(t)=eAt=I+At+A2t2/2！+(t)=A+2A2t/2!+kAktk1/(k)！+=A(I+At+Ak1tk1/(k1)！+)=A (t)=(t)A证明证明:(t1+t2)=eA(t1+t2)=I+A(t1+t2)+A2(t1+t2)2/2！+=(I+At1+A2t12/2！+)(I+At2+A2t22/2

5、！+)=(t1)(t2)证明：由证明：由（3）(t1+t2)=(t1)(t2)证明证明:得得 (tt)=(t)(t)=I（1）(0)=I(t+t)=(t)(t)=I 所以所以 (t)1=(t)右式右式=(t2 t1+t1 t0)由（由（3）得得 =(t)k=(t)(t)(t)=eAt eAt eAt=e(A+A+AA)t=ekAt=(kt)（1）若）若A为对角线矩阵为对角线矩阵 1 0 0 00 2 0 00 0 0 nA=则则(t)=eAt=e 1t 0 0 00 e 2t 0 00 0 0 e nt 将对角线矩阵将对角线矩阵A代入代入 eAt=I+At+A2t2/2！+中中eAt=1 0

6、0 00 1 0 00 0 0 1 1t 0 0 00 2t 0 00 0 0 nt+1/2！12t2 0 0 00 22t2 0 00 0 0 n2t2+1+1 t+12 t2/2！+1+2 t+22 t2/2！+1+n t+n2 t2/2！+00=e 1t 0 0 00 e 2t 0 00 0 0 e nt（2）若）若A为为约当块约当块 1 1 0 00 1 1 00 0 0 1A=则则 eAt=e 1t 1 t t2/2！tm1/（m1）！）！0 1 t t2/2！tm2/（m2）！）！0 0 0 0 1例：已知齐次状态方程例：已知齐次状态方程X=AX的状态转移矩阵为的状态转移矩阵为(t

7、)=2et 2e2tet e2t 2et+2e2tet+2e2t求求(t)1解：根据解：根据(t)1=2et 2e2tet e2t 2et+2e2tet+2e2t作业作业2-1：已知系统的状态转移矩阵为已知系统的状态转移矩阵为(t)=2et e2t2(e2t et)et e2tet+2e2t求系统矩阵求系统矩阵A2.2 线性定常连续系统状态转移矩阵的几种算法线性定常连续系统状态转移矩阵的几种算法(t)=eAt=I+At+A2t2/2！+(t)=eAt=L1(SIA)1e 1t 0 0 00 e 2t 0 00 0 0 e nt P1eAt=PP：化：化A为对角线标准形的线性变换阵为对角线标准形

8、的线性变换阵状态转移矩阵为状态转移矩阵为证明：证明：当当A的特征值互异时，必存在一个变换阵的特征值互异时，必存在一个变换阵P，使，使 12 0 0 00 22 0 00 0 0 n2=又又 eAt=I+At+A2t2/2！+则则 P1eAtP=P1IP+P1 AtP+P1 A2t2/2！P+由于由于 P1 A2P=P1 APP 1AP A=P1AP 1 0 0 00 2 0 00 0 0 n=同理：同理：=所以所以 P1eAtP=P1IP+P1 AtP+P1 A2t2/2！P+P1 AkP=(P1 AP)(P 1AP)1k 0 0 00 2k 0 00 0 0 nk=1 0 0 00 1 0

9、00 0 0 1 1t 0 0 00 2t 0 00 0 0 nt+1/2！12t2 0 0 00 22t2 0 00 0 0 n2t2+所以所以 P1eAtP=P1IP+P1 AtP+P1 A2t2/2！P+P1eAtP=P1IP+P1 AtP+P1 A2t2/2！P+1+1 t+12 t2/2！+1+2 t+22 t2/2！+1+3 t+32 t2/2！+00=P1eAtP=e 1t 0 0 00 e 2t 0 00 0 0 e nt eAt=e 1t 0 0 00 e 2t 0 00 0 0 e nt P1PP1eAtP=e 1t 0 0 00 e 2t 0 00 0 0 e nt A=

10、0 1 1 6 11 6 6 11 5例：已知系数矩阵例：已知系数矩阵试求其状态转移矩阵。试求其状态转移矩阵。解：解：1=1、2=2、3=33 5/2 2 3 4 31 3/2 1P1=P=p1 p2 p3=1 1 10 2 61 4 9eAt=e 1t 0 0 00 e 2t 0 00 0 0 e nt P1PeAt=e 1t 0 0 00 e 2t 0 00 0 0 e nt P1P3 5/2 1 3 4 31 3/2 11 1 10 2 61 4 9et 0 00 e2t 00 0 e 3t=3et 3e2t+e3t=5/2et 4e2t+3/2e3t6e2t+6e3t3et 12e2t

11、+9e3tA具有具有m重特征值，则状态转移矩阵为重特征值，则状态转移矩阵为eAt=Q e 1t e 1tt e 1t t2/2！e 1t tm1/(m1)！0 e 1t e 1t t e 1t tm2/(m2)！0 0 0 te 1t Q1 0 0 0 e 1t 以以A有三重特征值为例进行证明有三重特征值为例进行证明 1 1 00 1 10 0 1 J=Q1AQ=证明证明 eAt=I+At+A2t2/2！+则则 Q1eAtQ=Q1IQ+Q1 AtQ+Q1 A2t2/2！Q+=I+Jt+J2t2/2！+eAt=Q(I+Jt+J2t2/2！+)Q1 1 1 00 1 10 0 1 J=Q1AQ=将

12、将代入上式，得代入上式，得eAt=Q e 1t e 1tt e 1t t2/2！0 e 1t e 1t tQ1 0 0 e 1t 若若A具有三重特征值具有三重特征值 1，二重特征值，二重特征值 2，单特征值，单特征值 3，状态转移矩阵状态转移矩阵eAt=Q Q1 e 1t e 1tt e 1t t2/2！0 0 00 e 1t e 1t t 0 0 00 0 e 1t 0 0 0 0 0 0 e 2t e 2t t 00 0 0 0 e 2t 00 0 0 0 0 e 3t已知已知 eAt=I+At+A2t2/2！+则有则有eAt=a0(t)I+a1(t)A+a2(t)A2+an1(t)An1

13、a0(t)、a1(t)、，an1(t)为待定系数是为待定系数是t的标量函数的标量函数若若A的特征值互异，则的特征值互异，则1 2 22 2n1 1 1 12 1n1 1 n n2 nn1 a0(t)a1(t)an1(t)e 1te 2te nt=2.3 线性定常连续系统非齐次状态方程的解线性定常连续系统非齐次状态方程的解X=AX+BUXAX=BU(XAX)=eAtBU eAtddteAtX=eAtBUdd eA X()d =d t0teA BU()t0teAtX(t)=eAt0X(t0)+d t0teA BU()X(t)=eA(tt0)X(t0)+d t0teA(t)BU()X(t)=(tt0

14、)X(t0)+d t0t(t)BU()非齐次状态方程的解非齐次状态方程的解SX(S)X(0)=AX(S)+BU(S)设设 t0=0X(S)=(SIA)1X0+(SIA)1 BU(S)对上式取拉氏反变换，利用卷积积分对上式取拉氏反变换，利用卷积积分X(t)=L1(SIA)1X0+L1(SIA)1BU(S)X(t)=eAtX0+d 0te A(t)BU()非齐次状态方程的解非齐次状态方程的解或或X(t)=(t)X0+d 0t(t)BU()X=AX+BU例：已知系统状态方程例：已知系统状态方程X0=0试求在单位阶跃输入（试求在单位阶跃输入（u=1(t)）作用下状态方程的解。）作用下状态方程的解。解：

15、解：(t)=eAt=L1(SIA)1(SIA)1=adj(SIA)|SIA|S+3 1 2 S1(S+1)(S+2)=(SI-A)=S 1 2 S+3=S+3(S+1)(S+2)1(S+1)(S+2)2(S+1)(S+2)S(S+1)(S+2)uX 0 12 301=X+(SIA)1=S+3(S+1)(S+2)1(S+1)(S+2)2(S+1)(S+2)S(S+1)(S+2)=2S+1 1S+2 1S+1 1S+2 2S+1 2S+2 2S+2 1S+1+2et e2tet e2t 2et+2e2tet+2e2t=eAt=L1(SIA)1状态方程的解状态方程的解d t0te A(t)BU()X

16、(t)=2e(t)e2(t)e(t)e2(t)2e(t)+e2te(t)+2e2(t)=0td 01=0te(t)e2(t)e(t)+2e2(t)d=e(t)1/2e2(t)e(t)+e2(t)t01/2 et+e2 t1/2 et e2t=2et e2tet e2t 2et+2e2tet+2e2t=eAt2.4 线性时变连续系统状态方程的解线性时变连续系统状态方程的解X=A(t)X(t)已知已知X(t0)状态方程的解：状态方程的解：X(t)=(t，t0)X(t0)证明：将证明：将X(t)=(t，t0)X(t0)代入代入 X=A(t)X(t)(t，t0)X(t0)=A(t)(t，t0)X(t0

17、)(t，t0)A(t)(t，t0)X(t0)=0上式成立的充要条件上式成立的充要条件(t，t0)A(t)(t，t0)=0即即又又X(t)=(t，t0)X(t0)当当t=t0时，时，X(t0)=(t0，t0)X(t0)，所以所以(t0，t0)=I证明：证明：X(t)=(t，t0)X(t0)X(t1)=(t1，t0)X(t0)（1）X(t2)=(t2，t0)X(t0)（2）X(t2)=(t2，t1)X(t1)（3）将（将（1）代入（）代入（3）中）中X(t2)=(t2，t1)(t1，t0)X(t0)与（与（2）式比较，则）式比较，则证明：由性质（证明：由性质（1）（）（2）知）知(t，t0)(t0

18、，t)=(t，t)=I(t0，t)(t，t0)=(t0，t0)=I故故(t，t0)与与(t0，t)互为逆矩阵。互为逆矩阵。1、当、当A(t)和和d t0tA()是可交换的，即是可交换的，即A(t)d t0tA()=A(t)d t0tA()2、若不满足、若不满足A(t)d t0tA()=A(t)d t0tA()d t0tA()则有则有(t，t0)=I+d 1 t0tA(1)d 2 t0 1A(2)+d 2 t0 1A(2)d 3 t0 2A(3)d 1 t0tA(1)+则有则有(t，t0)=expd t0tA()证明证明1：设设 expd t0tA()X(t0)X=A(t)X(t)是是的解的解则

19、满足则满足(t,t0)=expd t0tA()=I+d t0tA()+1/2！d t0tA()d t0tA()+（1）对上式求导对上式求导ddt(t，t0)=A(t)+1/2！A(t)d t0tA()+1/2！d t0tA()A(t)+（2）证明证明1：（1）式两边左乘）式两边左乘A(t)d t0tA()ddt(t，t0)=A(t)+1/2！A(t)d t0tA()+1/2！A(t)+（2）d t0tA()d t0tA()A(t)exp=A(t)+1/2！A(t)d t0tA()d t0tA()+（3）A(t)比较（比较（2）、（）、（3）两式，若使）两式，若使ddt(t，t0)=A(t)ex

20、pd t0tA()成立成立A(t)d t0tA()=A(t)d t0tA()必满足必满足则有则有(t，t0)=expd t0tA()(t0，t0)=expd t0t0A()=I+d t0t0A()+1/2！d t0t0A()d t0t0A()+（1）又又=Ix1x2x1x2=0 1 0 t例：求时变系统的状态转移矩阵例：求时变系统的状态转移矩阵(t，0)解：证明解：证明A(t)d t0tA()A(t)d t0tA()取前面三项近似计算取前面三项近似计算d 1 0tA(1)d 2 0 1A(2)=d 0tA()0 t 0 t2/2=d=0t 0 1 0 0t 0 1 0 1 0 1 0 12/2

21、d 1 0t=0 12/2 0 13/2d 1=0 t3/6 0 t4/8d 0tA()则有则有(t，0)=I+d 1 0tA(1)d 2 0 1A(2)+=1 0 0 1+0 t 0 t2/2+0 t3/6 0 t4/8+=1 t+t3/6+0 1+t2/2+t4/8+作业：作业：2-2 求状态方程的解求状态方程的解uX 0 1 0 0=X+0111X(0)=u(t)=1(t)X(t0)X(t)=A(t)X(t)+B(t)u(t)状态方程的解状态方程的解X(t)=(t，t0)X(t0)+(t，t0)(t)X(t)=(t，t0)X(t0)+(t，)B()u()d t0t证明：应用叠加原理证明：

22、应用叠加原理对上式求导对上式求导X(t)=(t，t0)X(t0)+(t)+(t，t0)(t)=A(t)(t，t0)X(t0)+(t)+(t，t0)(t)=A(t)X(t)+(t，t0)(t)与状态方程比较，得与状态方程比较，得 (t，t0)(t)=B(t)u(t)(t)=1(t，t0)B(t)u(t)证明：证明：(t)=1(t，t0)B(t)u(t)=(t0，t)B(t)u(t)两边积分两边积分(t)(t0)=t0t(t0，)B()u()d (t)=t0t(t0，)B()u()d +(t0)X(t)=(t，t0)X(t0)+(t，t0)(t)=(t，t0)X(t0)+(t，t0)t0t(t0，

23、)B()u()d+(t0)又又 X(t0)=(t0，t0)X(t0)+(t0，t0)(t0)X(t0)=I X(t0)+I(t0)(t0)=0X(t)=(t，t0)X(t0)+(t，)B()u()d t0t得证得证2.5 线性连续系统状态方程的离散化线性连续系统状态方程的离散化X(t)=A(t)X(t)+B(t)u(t)X(k+1)T=G(kT)X(kT)+H(kT)u(kT)T满足香农定理：采样脉冲宽度远小于采样周期满足香农定理：采样脉冲宽度远小于采样周期.系统具有零阶保持特性：在两个采样瞬时之间的采样值系统具有零阶保持特性：在两个采样瞬时之间的采样值不变。即不变。即u(t)=u(kT)kT

24、 t(k+1)T推导离散化的状态方程：推导离散化的状态方程：已知：已知：X(t)=(t，t0)X(t0)+(t，)B()u()d t0t将上式离散化，令将上式离散化，令t=(k+1)T，t0=hT，代入上式，代入上式(1)X(k+1)T=(k+1)T，hTX(hT)+(k+1)ThT(k+1)T，B()u()d (2)令令t=kT，t0=hT，代入，代入(1)式，得式，得 将上式两边乘将上式两边乘(k+1)T，kTX(kT)=kT，hTX(hT)+kThT(kT，)B()u()d (kT，)B()u()d (k+1)T,kT X(kT)=(k+1)T,kT kT,hTX(hT)+(k+1)T,

25、kT kThT(kT，)B()u()d=(k+1)T，hT X(hT)+(k+1)T,B()u()d kThT(2)式减去上式式减去上式X(k+1)T=(k+1)T,kT X(kT)+(k+1)T,B()u()d (k+1)ThT(k+1)T,B()u()d kThT=(k+1)T,kT X(kT)+(k+1)TkT(k+1)T,B()u()d 令令 G(kT)=(k+1)T,kT，u()=u(kT)，kT,(k+1)T H(kT)=(k+1)TkT(k+1)T,B()d X(k+1)T=G(kT)X(kT)+H(kT)u(kT)Y(kT)=C(kT)X(kT)+D(kT)u(kT)X(t)=

26、AX(t)+Bu(t)X(k+1)T=GX(kT)+Hu(kT)G=(k+1)T kT=(T)=eATH=(k+1)TkT(k+1)T Bd 令令t=(k+1)T H=0T(t)dtB=eAt 0TdtBY(kT)=CX(kT)+Du(kT)uX 0 1 0 201=X+例：试将状态方程离散化。例：试将状态方程离散化。解：解：eAt=L1(SIA)1(SI-A)=S 1 0 S+2(SIA)1=01(S+2)1S1S(S+2)eAT=1(1 e2T)/20e2TH=eAt 0TdtBeAt=1(1 e2t)/20e2t=t(t+e2t/2)/20e2t/2T0B=T/2 1/4+e2T/41/

27、2e2T/2=x2(k+1)Tx1(k+1)T1(1 e2T)/20e2Tx2(kT)x1(kT)T/2 1/8+e2T/81/2e2T/2+u(kT)T较小，满足精度的条件下，用差商代替微分。较小，满足精度的条件下，用差商代替微分。X(t)=A(t)X(t)+B(t)u(t)令令X(t)=1TX(k+1)TX(kT)，t=kT 代入上式代入上式1TX(k+1)TX(kT)=A(kT)X(kT)+B(kT)u(kT)X(k+1)T=I+T A(kT)X(kT)+TB(kT)u(kT)=G(kT)X(kT)+H(kT)u(kT)G(kT)=I+T A(kT)H(kT)=TB(kT)2.6 线性离

28、散系统状态方程的解线性离散系统状态方程的解X(k+1)T=GX(kT)+Hu(kT)1、迭代法、迭代法X(0),u(0)X(1),u(1)X(2),u(2)设：设：X(0),u(0)已知已知X(1)=GX(0)+Hu(0)X(2)=GX(1)+Hu(1)=G2X(0)+GHu(0)+Hu(1)X(k)=GkX(0)+Gki1Hu(i)i=0k1Y(k)=CX(k)+Du(k)=C GkX(0)+C Gki1Hu(i)+Du(k)k1i=0X(k+1)=GX(k)+Hu(k)2、Z变换法变换法对上式进行对上式进行Z变换变换zX(z)zX(0)=GX(z)+HU(z)(zIG)X(z)=zX(0)

29、+HU(z)X(z)=(zIG)1z X(0)+(zIG)1HU(z)=(zIG)1z X(0)+HU(z)Z反变换反变换X(k)=Z1(zIG)1z X(0)+(zIG)1HU(z)比较两种方法有如下关系比较两种方法有如下关系Gk=Z1(zIG)1z Gki1Hu(i)i=0k1=Z1(zIG)1HU(z)或或X(k)=Z1(zIG)1z X(0)+HU(z)例：求线性定常离散系统的解。已知例：求线性定常离散系统的解。已知u(k)=1(k=0,1,2)X(0)=u(k)0 1 0.16 111=+x1(k+1)x2(k+1)x1(k)x2(k)11解：方法一，迭代法解：方法一，迭代法 0 1

30、 0.16 1X(1)=11+11=01.84 0 1 0.16 1X(2)=+11=2.84 0.84 01.84 0 1 0.16 1X(3)=+11=0.16 1.3862.840.84方法二，方法二，Z变换法变换法X(k)=Z1(zIG)1z X(0)+HU(z)|zIG|=z 1 0.16 z+1=z2+z+0.16=(z+0.2)(z+0.8)(zIG)1=1(z+0.2)(z+0.8)z+1 1 0.16 z4/3(z+0.2)1/3(z+0.8)5/3(z+0.2)5/3(z+0.8)0.8/3(z+0.2)+0.8/3(z+0.8)1/3(z+0.2)+4/3(z+0.8)=

31、zX(0)+HU(z)=+zz=z2z1 z2+2z z1 zz1 zz1u(k)=1U(z)=zz1X(z)=(zIG)1z X(0)+HU(z)=(17/6)z(z+0.2)+(22/9)z(z+0.8)(25/18)z z1+(3.4/6)z(z+0.2)+(17.6/9)z(z+0.8)(7/18)z z1+X(z)=(17/6)z(z+0.2)+(22/9)z(z+0.8)(25/18)z z1+(3.4/6)z(z+0.2)+(17.6/9)z(z+0.8)(7/18)z z1+X(k)=Z1X(z)=17 6(0.2)k+22 9(0.8)k+25183.4 6(0.2)k17.6 9(0.8)k+718迭代法迭代法Z1 zz+a=(a)K2-1 已知已知 2010A求求（t）。）。22 已知已知 tttttttteeeeeeeet22222)(22)(23 求状态空间表达式的解求状态空间表达式的解 ）是单位阶跃函数）是单位阶跃函数（输入输入）（初始状态初始状态tuXXyuXX 11001100010求系统矩阵求系统矩阵A