多元函数微分法在几何上的应用

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1、1 多元函数微分法在几何上的应用多元函数微分法在几何上的应用一一 空间曲线的切线与法平面空间曲线的切线与法平面二二 曲面的切平面与法线曲面的切平面与法线2一一 空间曲线的切线与法平面空间曲线的切线与法平面1 空间曲线空间曲线C的方程为的方程为).(),(),(tzztyytxx设点设点,),(000CzyxMMoxyzC0t它所对应它所对应的参数是的参数是，则曲线，则曲线C在点在点M处的切处的切线方程是线方程是)()()(000000tzzztyyytxxx其中其中)(),(),(000tztytxs称为称为曲线曲线C在点在点M处的切向量。处的切向量。P3证证MoxyzCP设点设点P的坐标是的

2、坐标是),(111zyx它所对应的参数是它所对应的参数是1t，则割线则割线MP的方程是的方程是010010010zzzzyyyyxxxx可改写为可改写为010100101001010)()()()()()(tttztzzztttytyyytttxtxxx让让,MP 即即,01tt 便有便有)()()(000000tzzztyyytxxx4oxyzCM曲线曲线C在点在点M处的法平面是过点处的法平面是过点M且垂直于切线的平面，且垂直于切线的平面，0)()()(000000zztzyytyxxtx它的方程为它的方程为5例例1 求螺旋线求螺旋线tztytx,sin,cos在点在点)2,1,0(M处的切

3、线与法平面方程。处的切线与法平面方程。解解 点点)2,1,0(M所对应的参数为所对应的参数为,2t因此螺旋线因此螺旋线在点在点M处的切向量为处的切向量为21,cos,sinttts1,0,1所以切线方程是所以切线方程是,12011zyx法平面方程是法平面方程是,02zx即即.02zx6解解.2,1,0zyx,cos)(tetxt,sincos2)(ttty,3)(3tetz所以切线方程是所以切线方程是,32211zyx法平面方程是法平面方程是,0)2(3)1(2zyx.0832zyx,cos0 tuuduextysin2,cost tez31 0 t在在处的切线与法平面方程。处的切线与法平面方

4、程。例例2 求曲线求曲线因此切向量因此切向量,3,2,1s即即72 空间曲线空间曲线C的方程为的方程为.0),(0),(zyxGzyxF不妨设不妨设0),(0),(zyxGzyxF确定确定)(xyy)(xzz xx 则曲线则曲线C在点在点),(000zyxM处的切向量是处的切向量是)(),(,100 xzxys),(000,1zyxMdxdzdxdy8例例3 求曲线求曲线26222zyxzyx在点在点)2,1,1(M处的切线方程。处的切线方程。解解0222dxdzzdxdyyx01dxdzdxdy，解得，解得.,zyyxdxdzzyxzdxdy,32,31)2,1,1()2,1,1(MMdxd

5、zdxdy因此曲线在点因此曲线在点M处的切向量处的切向量,32,31,1s所以切线方程是所以切线方程是.32231111zyx9例例4 求曲线求曲线21xyxyz在点在点)1,1,1(M处的切线方程。处的切线方程。解解 方法一方法一0dxdzxydxdyxzyzxdxdy2，解得，解得.)2(,22xyzyxdxdzxdxdy,3,2)1,1,1()1,1,1(MMdxdzdxdy因此曲线在点因此曲线在点M处的切向量处的切向量,3,2,1s所以切线方程是所以切线方程是.312111zyx10方法二方法二曲线的一般方程可以化为参数方程曲线的一般方程可以化为参数方程321,xzxyxx因此曲线在点

6、因此曲线在点M处的切向量处的切向量143,2,1xxxs3,2,1所以切线方程是所以切线方程是.312111zyx11二二 曲面的切平面与法曲面的切平面与法线线oxyz1 曲面曲面 的方程为的方程为.0),(zyxF设点设点,),(000zyxMM则曲面则曲面在点在点M处的切平面方程是处的切平面方程是0)()()(000zzzFyyyFxxxFMMM其中其中,MMMzFyFxFn称为曲面称为曲面在点在点M处的法向量。处的法向量。12oxyzM证证C在曲面在曲面 上任意做一条过点上任意做一条过点 的曲线的曲线CM),(),(),(tzztyytxx，不妨设，不妨设曲线曲线C的方程为的方程为点点M

7、所对应的所对应的参数为参数为0t，则曲线，则曲线C在点在点M处的切向量是处的切向量是.)(),(),(000tztytxs由于由于,C所以所以0)(),(),(tztytxF两边对两边对t求导得求导得0)()()(tzzFtyyFtxxF特别取特别取0tt 有有130)()()(000tzzFtyyFtxxFMMMoxyzMC即即.,MMMzFyFxFns这说明曲面这说明曲面上任意过点上任意过点M的曲线的曲线在点在点M处的切线是在同一个平面上，处的切线是在同一个平面上，且这个平面的法向量是且这个平面的法向量是n，这个平面就是曲面，这个平面就是曲面在点在点M处的切平面。处的切平面。14oxyzM

8、曲面曲面在点在点M的法线是过点的法线是过点M垂直于切平面的垂直于切平面的的直线，的直线，MMMzFzzyFyyxFxx000它的方程是它的方程是15例例5 求曲面求曲面1432222zyx在点在点)1,1,1(M处的处的切平面与法线。切平面与法线。解解 记记,1432),(222zyxzyxF则则zFyFxFzyx8,6,48|,6|,4|MzMyMxFFF切平面方程是切平面方程是,0)1(8)1(6)1(4zyx即即.01432zyx法线方程是法线方程是.816141zyx162 曲面曲面的方程为的方程为).,(yxfz 曲面曲面在点在点),(,(0000yxfyxM处的法向量为处的法向量为

9、1),(),(0000yxfyxfnyx1),(),(0000yxfyxfnyx或者或者（指向向下）（指向向下）（指向向上）（指向向上）切平面方程切平面方程)(,()(,(),(00000000yyyxfxxyxfyxfzyx（可据此方程解释全微分的几何意义）（可据此方程解释全微分的几何意义）17例例6 求曲面求曲面22yxz在点在点)2,1,1(M处的切平面方程。处的切平面方程。解解,2,2yzxzyx1,2,21,2,2)2,1,1(yxn切平面方程是切平面方程是,0)2()1(2)1(2zyx即即.0222zyx18解解设设 为曲面上的切点为曲面上的切点,),(000zyx切平面方程为切

10、平面方程为0)(6)(4)(2000000 zzzyyyxxx依题意，切平面方程平行于已知平面，得依题意，切平面方程平行于已知平面，得,664412000zyx .2000zyx 法向量为法向量为 n6,4,2000zyx例例7 求曲面求曲面2132222zyx平行于平面平行于平面064zyx的切平面方程。的切平面方程。19因为因为 是曲面上的切点，是曲面上的切点，),(000zyx,10 x所求切点为所求切点为满足方程满足方程),2,2,1(),2,2,1(0)2(12)2(8)1(2 zyx2164 zyx0)2(12)2(8)1(2 zyx2164 zyx切平面方程切平面方程(1)(1)

11、切平面方程切平面方程(2)(2)2132202020 zyx20例例8 8 证明曲面证明曲面8xyz 上任意一点处的切平面和三上任意一点处的切平面和三坐标面所围的四面体的体积为定数。坐标面所围的四面体的体积为定数。解解设设000(,)xyz为曲面为曲面8xyz 上任意一点，上任意一点，则在则在点处切面的法向量为点处切面的法向量为0 00 000,y zx zx y且且00 08x y z 切平面方程为切平面方程为000000000()()()0y zxxx zyyx yzz 化为截距式化为截距式0001333xyzxyz所以所以0001(3)(3)(3)366Vxyz 21注：注：空间曲线空间曲线C的方程为的方程为0),(0),(zyxGzyxF1（曲面（曲面）2（曲面（曲面），则空间曲线则空间曲线C在点在点M处的切向量处的切向量s可以取为这两个曲面可以取为这两个曲面的法向量的向量积，的法向量的向量积，即即21nnsMMMMMMzGyGxGzFyFxFkji