(完整版)初二数学一次函数知识点总结

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1、 1 一次函数知识点总结 基本概念 1、变量：在一个变化过程中可以取不同数值的量。常量：在一个变化过程中只能取同一数值的量。例题：在匀速运动公式vts 中,v表示速度,t表示时间,s表示在时间t内所走的路程,则变量是_,常量是_。在圆的周长公式 C=2r 中，变量是_，常量是_.2、函数：一般的，在一个变化过程中，如果有两个变量 x 和 y，并且对于 x 的每一个确定的值，y 都有唯一确定的值与其对应，那么我们就把 x 称为自变量，把 y 称为因变量，y 是 x 的函数。*判断 Y 是否为 X 的函数，只要看 X 取值确定的时候，Y 是否有唯一确定的值与之对应 例题：下列函数（1）y=x (2

2、)y=2x-1 (3)y=1x (4)y=2-1-3x (5)y=x2-1 中，是一次函数的有（）（A）4 个 （B）3 个 （C）2 个 （D）1 个 3、定义域：一般的，一个函数的自变量允许取值的范围，叫做这个函数的定义域。4、确定函数定义域的方法：（1）关系式为整式时，函数定义域为全体实数；（2）关系式含有分式时，分式的分母不等于零；（3）关系式含有二次根式时，被开放方数大于等于零；（4）关系式中含有指数为零的式子时，底数不等于零；（5）实际问题中，函数定义域还要和实际情况相符合，使之有意义。例题：下列函数中，自变量 x 的取值范围是 x2 的是（）Ay=2x By=12x Cy=24x

3、 Dy=2x2x 函数5yx中自变量 x 的取值范围是_.已知函数221xy，当11x时，y 的取值范围是（）A.2325y B.2523 y C.2523 y D.2523 y 5、函数的图像 一般来说，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象 6、函数解析式：用含有表示自变量的字母的代数式表示因变量的式子叫做解析式。7、描点法画函数图形的一般步骤 第一步：列表（表中给出一些自变量的值及其对应的函数值）；第二步：描点（在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表格中数值对应的各点）；第三步：

4、连线（按照横坐标由小到大的顺序把所描出的各点用平滑曲线连接起来）。8、函数的表示方法 列表法：一目了然，使用起来方便，但列出的对应值是有限的，不易看出自变量与函数之间的对应规律。解析式法：简单明了，能够准确地反映整个变化过程中自变量与函数之间的相依关系，但有些实际问题中的函数关系，不能用解析式表示。图象法：形象直观，但只能近似地表达两个变量之间的函数关系。9、正比例函数及性质 一般地，形如 y=kx(k 是常数，k0)的函数叫做正比例函数，其中 k 叫做比例系数.注：正比例函数一般形式 y=kx(k 不为零)k 不为零 x 指数为 1 b 取零 当 k0 时，直线 y=kx 经过三、一象限，从

5、左向右上升，即随 x 的增大 y 也增大；当 k0 时，图像经过一、三象限；k0，y 随 x 的增大而增大；k0 时，向上平移；当 b0，图象经过第一、三象限；k0，图象经过第一、二象限；b0，y 随 x 的增大而增大；k0 时，将直线 y=kx 的图象向上平移 b 个单位；当 b0 b0 经过第一、二、三象限 经过第一、三、四象限 经过第一、三象限 图象从左到右上升，y 随 x 的增大而增大 k0 时，向上平移；当 b0 或 ax+b0 时，直线必通过第一、三象限，y 随 x 的增大而增大；当 k0,b0,这时此函数的图象经过第一、二、三象限；当 k0,b0,这时此函数的图象经过第一、三、四

6、象限；当 k0,这时此函数的图象经过第一、二、四象限；当 k0,b0 时，直线必通过第一、二象限；当 b0 时，直线只通过第一、三象限，不会通过第二、四象限。当 k0 时，直线只通过第二、四象限，不会通过第一、三象限。4、特殊位置关系：当平面直角坐标系中两直线平行时，其函数解析式中 K 值（即一次项系数）相等 6 当平面直角坐标系中两直线垂直时，其函数解析式中 K 值互为负倒数（即两个 K 值的乘积为-1）点斜式 y-y1=k(x-x1)（k 为直线斜率,(x1,y1)为该直线所过的一个点）两点式(y-y1)/(y2-y1)=(x-x1)/(x2-x1)（已知直线上（x1,y1）与（x2,y3

7、）两点）截距式（a、b 分别为直线在 x、y 轴上的截距）实用型（由实际问题来做）用公式 1.求函数图像的 k 值：（y1-y2)/(x1-x2)2.求与 x 轴平行线段的中点：|x1-x2|/2 3.求与 y 轴平行线段的中点：|y1-y2|/2 4.求任意线段的长：(x1-x2)2+(y1-y2)2（注：根号下（x1-x2)与（y1-y2)的平方和）5.求两个一次函数式图像交点坐标：解两函数式 两个一次函数 y1=k1x+b1 y2=k2x+b2 令 y1=y2 得 k1x+b1=k2x+b2 将解得的 x=x0 值代回 y1=k1x+b1 y2=k2x+b2 两式任一式 得到 y=y0

8、则(x0,y0)即为 y1=k1x+b1 与 y2=k2x+b2 交点坐标 6.求任意 2 点所连线段的中点坐标：（x1+x2）/2，（y1+y2）/2 7.求任意 2 点的连线的一次函数解析式：（X-x1）/(x1-x2)=(Y-y1)/(y1-y2)(其中分母为 0，则分子为 0)x y +，+（正，正）在第一象限 -，+（负，正）在第二象限 -，-（负，负）在第三象限 +，-（正，负）在第四象限 8.若两条直线 y1=k1x+b1y2=k2x+b2，那么 k1=k2，b1b2 9.如两条直线 y1=k1x+b1y2=k2x+b2，那么 k1k2=-1 10.y=k（x-n）+b 就是向右

9、平移 n 个单位 y=k（x+n）+b 就是向左平移 n 个单位 一次函数的平移 口诀：右减左加（对于 y=kx+b 来说，只改变 b）y=kx+b+n 就是向上平移 n 个单位 y=kx+b-n 就是向下平移 n 个单位 口诀：上加下减（对于 y=kx+b 来说，只改变 b）相关应用 生活中的应用 1.当时间 t 一定，距离 s 是速度 v 的一次函数。s=vt。2.当水池抽水速度 f 一定，水池中水量 g 是抽水时间 t 的一次函数。设水池中原有水量 S。g=S-ft。3.当弹簧原长度 b（未挂重物时的长度）一定时，弹簧挂重物后的长度 y 是重物重量 x 的一次函数，即 y=kx+b（k

10、为任意正数）7 数学问题 一、确定字母系数的取值范围 例 1 已知正比例函数，则当 k0 时，y 随 x 的增大而减小。解：根据正比例函数的定义和性质，得 且 my2，则 x1与 x2 的大小关系是（）A.x1x2 B.x10，且 y1y2。根据一次函数的性质“当 k0 时，y 随 x 的增大而增大”，得 x1x2。故选 A。三、判断函数图象的位置 例 3.一次函数 y=kx+b 满足 kb0，且 y 随 x 的增大而减小，则此函数的图象不经过（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 解：由 kb0，知 k、b 同号。因为 y 随 x 的增大而减小，所以 k0。所以 b30

11、时，Y1Y2 当 X30 时，Y10，则可以列方程组-2k+b=-11 6k+b=9 解得 k=2.5 b=-6，则此时的函数关系式为 y=2.5x6 （2）若 k0，则 y 随 x 的增大而增大；若 k0，则 y 随 x 的增大而减小。综合测试 一、选择题：1.若正比例函数 y=kx 的图象经过一、三象限，则 k 的取值范围是（）A.k0 B.k0 D.k 为任意值 2.一根蜡烛长 20cm，点燃后每小时燃烧 5cm，燃烧时剩下的高度 y（cm）与燃烧时间 x（小时）的函数关系用图象表示为（）3.（北京市）一次函数 的图象不经过的象限是（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象

12、限 4.（陕西省课改实验区）直线 与 x 轴、y 轴所围成的三角形的面积为（）A.3 B.6 C.D.5.（海南省）一次函数 的大致图象是（）二、填空题：1.若一次函数 y=kx+b 的图象经过（0，1）和（1，3）两点，则此函数的解析式为_.2.（2006 年北京市中考题）若正比例函数 y=kx 的图象经过点（1，2），则此函数的解析式为_.三、一次函数的图象与 y 轴的交点为（0，3），且与坐标轴围成的三角形的面积为 6，求这个一次函数的解析式.四、（芜湖市课改实验区）某种内燃动力机车在青藏铁路试验运行前，测得该种机车机械效率 和海拔高度 h（，单位 km）的函数关系式如图所示.（1）请你

13、根据图象写出机车的机械效率 和海拔高度 h（km）的函数关系；（2）求在海拔 3km 的高度运行时，该机车的机械效率为多少？五、（浙江省丽水市）如图建立羽毛球比赛场景的平面直角坐标系，图中球网高 OD 为 1.55 米，双方场地的长 OA=OB=6.7 10（米）.羽毛球运动员在离球网 5 米的点 C 处起跳直线扣杀，球从球网上端的点 E 直线飞过，且 DE 为 0.05米，刚好落在对方场地点 B 处.（1）求羽毛球飞行轨迹所在直线的解析式；（2）在这次直线扣杀中，羽毛球拍击球点离地面的高度 FC 为多少米？（结果精确到 0.1 米）【综合测试答案】一、选择题：1.C 2.B 3.D 4.A

14、5.B 二、填空题：1.y=-2x+1 2.y=2x 三、分析：一次函数的解析式 y=kx+b 有两个待定系数，需要利用两个条件建立两个方程.题目中一个条件比较明显，即图象和 y 轴的交点的纵坐标是3，另一个条件比较隐蔽，需从“和坐标轴围成的面积为6”确定.解：设一次函数的解析式为 y=kx+b，函数图象和 y 轴的交点的纵坐标是3，函数的解析式为.求这个函数图象与 x 轴的交点，即解方程组：得 即交点坐标为（，0）由于一次函数图象与两条坐标轴围成的直角三角形的面积为 6，由三角形面积公式，得 这个一次函数的解析式为 四、解：（1）由图象可知，与 h 的函数关系为一次函数 设 此函数图象经过（

15、0，40%），（5，20%）两点 解得 （2）当 h=3km 时，当机车运行在海拔高度为 3km 的时候，该机车的机械效率为 28%五、解：（1）依题意，设直线 BF 为 y=kx+b OD=1.55，DE=0.05 即点 E 的坐标为（0，1.6）又OA=OB=6.7 点 B 的坐标为（6.7，0）由于直线经过点 E（0，1.6）和点 B（6.7，0），得 解得，即：（2）设点 F 的坐标为（5，），则当 x=5 时，则 FC=2.8 11 在这次直线扣杀中，羽毛球拍击球点离地面的高度是 2.8 米 常见题型 常见题型一次函数及其图像是初中代数的重要内容，也是高中解析几何的基石，更是中考的重

16、点考查内容。其中求一次函数解析式就是一类常见题型。现以部分中考题为例介绍几种求一次函数解析式的常见题型。希望对大家的学习有所帮助。一.定义型 例 1.已知函数 是一次函数，求其解析式。解：由一次函数定义知，故一次函数的解析式为 注意：利用定义求一次函数 解析式时，要保证。如本例中应保证 二.点斜型 例 2.已知一次函数 的图像过点（2，1），求这个函数的解析式。解：一次函数 的图像过点（2，1），即 故这个一次函数的解析式为 变式问法：已知一次函数，当 时，y=1，求这个函数的解析式。三.两点型 已知某个一次函数的图像与 x 轴、y 轴的交点坐标分别是（2，0）、（0，4），则这个函数的解析式

17、为_。解：设一次函数解析式为 由题意得 故这个一次函数的解析式为 四.图像型 例 4.已知某个一次函数的图像如图所示，则该函数的解析式为_。解：设一次函数解析式为 由图可知一次函数 的图像过点（1，0）、（0，2）有 故这个一次函数的解析式为 五.斜截型 例 5.已知直线 与直线 平行，且在 y 轴上的截距为 2，则直线的解析式为_。解析：两条直线：；：。当，时，直线 与直线 平行，。又 直线 在 y 轴上的截距为 2，故直线的解析式为 六.平移型 例 6.把直线 向下平移 2 个单位得到的图像解析式为_。解析：设函数解析式为，直线 向下平移 2个单位得到的直线 与直线 平行 直线 在 y轴上

18、的截距为，故图像解析式为 七.实际应用型 例 7.某油箱中存油 20 升，油从管道中匀速流出，流速为 0.2 升/分钟，则油箱中剩油量 Q（升）与流出时间 t（分钟）的函数关系式为_。解：由题意得，即 故所求函数的解析式为（）注意：求实际应用型问题的函数关系式要写出自变量的取值范围。八.面积型 例 8.已知直线 与两坐标轴所围成的三角形面积等于 4，则直线解析式为_。解：易求得直线与 x 轴交点为（，0），所以，所以，即 故直线解析式为 或 九.对称型 若直线 与直线 关于（1）x 轴对称，则直线 l 的解析式为（2）y 轴对称，则直线 l 的解析式为（3）直线 y=x 对称，则直线 l 的解

19、析式为（4）直线 对称，则直线 l 的解析式为（5）原点对称，则直线 l 的解析式为 例 9.若直线 l 与直线 关于 y 轴对称，则直线 l 的解析式为_。解：由（2）得直线 l 的解析式为 十.开放型 例 10.已知函数的图像过点 A（1，4），B（2，2）两点，请写出满足上述条件的两个不同的函数解析式，并简要说明解答过程。解：（1）若经过 A、B 两点的函数图像是直线，由两点式易得（2）由于 A、B 两点的横、纵坐标的积都等于 4，所以经过 A、B 两点的函数图像还可以是双曲线，解析式为（3）其它（略）十一.几何型 例 11.如图，在平面直角坐标系中，A、B 是 x 轴上的两点，以 AO

20、、BO 为直径的半圆分别交 AC、BC 于 E、F 两点，若 C 点的坐标为（0，3）。（1）求图像过 A、B、C 三点的二次函数的解析式，并求其对称轴；（2）求图像过点 E、F 的一次函数的解析式。解：（1）由直角三角形的知识易得点 A（，0）、B（，0），由待定系数法可求得二次函数解析式为，对称轴是（2）连结 OE、OF，则、。过 E、F 分别作 x、y 轴的垂线，垂足为 M、N、P、G，易求得 E（，）、F（，）由待定系数法可求得一次函数解析式为 12 十二.方程型 例 12.若方程 的两根分别为，求经过点 P（，）和 Q（，）的一次函数图像的解析式 解：由根与系数的关系得，点 P（11

21、，3）、Q（11，11）设过点 P、Q 的一次函数的解析式为 则有 解得 故这个一次函数的解析式为 十三.综合型 例 13.已知抛物线 的顶点 D 在双曲线 上，直线 经过点 D 和点 C（a、b）且使 y 随 x的增大而减小，a、b 满足方程组，求这条直线的解析式。解：由抛物线 的顶点 D（）在双曲线上，可求得抛物线的解析式为：，顶点 D1（1，5）及 顶点 D2（，15）解方程组得，即 C1（1，4），C2（2，1）由题意知 C 点就是 C1（1，4），所以过 C1、D1 的直线是；过 C1、D2 的直线是数学术语.经典例题 1 在直角坐标系 xOY 中，直线 L 过(1,3)和(3,1)

22、两点，且 X 与轴、Y 轴分别交于 A、B (1)求直线 L 的函数解析式;(2)求AOB 的面积.1、y=kx+b 则 3=k+b 1=3k+b 所以 k=-1,b=4 y=-x+4 2、y=0,x=4 x=0,y=4 所以面积=442=8 2 为了扩大内需，让惠于农民，丰富农民的业余生活，国家决定对购买彩电的农户实行政府补贴。规定 每购买一台彩电，政府补贴若干元，经调查发现，某市场销售彩电台数 y 台与政府补贴款额 x 元之间大致满足如图、(1)该商场销售家电的总收益为 80000=160000(元)(2)依题意可设 y=k1x+800,Z=k2x+200 有 400k1+800=1200,200k2+200=160,解得 k1=1,k2=-.所以 k1=1,k2=-.y=x+800,z=-x+200.(3)W=yz=(x+8000)(-x+200)=-(x-100)2+162000 政府应将每台补贴款额 x 定为 100 元,总收益有最大值.其最大值为 162000 元.