圆的有关问题探讨

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1、呼兰一中包维成呼兰一中包维成呼兰一中包维成一、设计意图一、设计意图 圆是最完美的曲线，它在日常生活中被广泛的利用，因为它具有独特的性质，所以我们有必要深入的去研究它。圆也是最简单的二次曲线，可以通过对圆的研究，逐渐推广到其它曲线的研究。圆的主要内容是研究点与圆、直线与圆，圆与圆的位置关系，而这些关系在很多情况下都是一种动态显示，然而只利用黑板却很难将这些问题表述清楚，也很难理解其中的本质，这是圆中的难点，也是重点。因此，要想更深刻地理解这些问题，就必须要借助于动画演示，也正借于此，本节课利用几何画板，制作了大量动画，通过动画的演示，使问题的本质得到了真正的理解，从而达到了掌握本课内容的目的。本

2、节课从具体问题入手，以问题为中心及背景，按照“问题情境教学活动意义建构数学理论数学应用总结与反思”的顺序结构对问题逐一展开，这样使问题的本质得到了探究，这也正是新课标所需要的理念。二、学习目标二、学习目标 1.知识与技能 通过对本节课的学习，将系统的体会点与圆、直线与圆、圆与圆以及其他曲线和圆的位置关系，掌握处理这些关系的方式方法。2.过程与方法 本节课通过对三个例题进行“设问”，“反问”，“补问”，“追问”等以问题为中心逐一展开，逐渐深入，充分体现出“从特殊到一般，再化一般为特殊”的思想的运用。3.情感、态度与价值观 通过本节课知识的学习，培养了学生观察问题、提出问题、分析问题、解决问题的探

3、究能力；通过学生与学生、老师与学生的共同探讨，充分激发了学生的合作精神。三、重难解读三、重难解读 重点是复习巩固了直线与圆，圆与圆的位置关系，特别是对直线与圆，圆与圆的位置关系的探究，从探究中总结出处理这些问题的一般方法与思维方式。难点是将特殊的问题推广为一般化，在运动中寻求不变量，在多个运动元素中假设某一个或某几个不动元素，从而探究出处理这些问题的一般规律，深刻地体会出圆的特殊性质。四、学法指导四、学法指导1.通过对具体问题的解决，最后逐渐地推广为一般结论，把一般的结论上升为一般理论的获得；2.回忆与圆有关的几何性质，充分利用这些几何性质，可以使问题大大简化。3.通过对直线与圆，圆与圆的位置

4、关系的图形与方程的研究，从“形”和“数”的两个角度来分析、解决问题来充分体会解析几何的本质。圆是最完美的曲线圆是最完美的曲线,在我们生活生产中被在我们生活生产中被广泛的使用广泛的使用,它在力学上有很多独特的性质它在力学上有很多独特的性质,因因此我们很有必要深入地去了解圆的有关问题此我们很有必要深入地去了解圆的有关问题.今天我们用解析的方法来探讨圆的有关问题今天我们用解析的方法来探讨圆的有关问题.我们解题的口号是：我们解题的口号是：更准、更快、更好更准、更快、更好-蒋行彪语蒋行彪语五五、内容探究、内容探究引言：例题例题1 1、求圆、求圆O O：上的点到上的点到P P（3 3，4 4）的距离的最小

5、值。的距离的最小值。122 yx动画演示解：连接解：连接OP交圆交圆O与点与点M，则，则PM的的长就是所要求的最小值。下面给出长就是所要求的最小值。下面给出证明。证明。在圆在圆O上任取异于上任取异于M的点的点M，连接，连接PM，OM。在。在OPM中，中，PMOP-OM=OPOM=PM。PM的长就是所求的最小值。的长就是所求的最小值。PM=OP-OM=5-1=4。设问：你能求出其最大值吗设问：你能求出其最大值吗？122 yx22)4()3(yx变题变题1：若：若P（x，y）为圆）为圆O：上的点，上的点，求求 的最值。的最值。动画演示变题变题2、求圆、求圆O：上的点到上的点到 的距离的最小值的距离

6、的最小值。122 yx动画演示02543 yx解：过点解：过点O作作OPl l于于P，OP交圆交圆O于于M，则，则PM的长的长就是所求的最小值。下面给就是所求的最小值。下面给出证明出证明。在圆在圆O上任取异于上任取异于M的点的点M，过，过M作作MQ l l于于Q。连接。连接OQ。OM+MQOQOP，OM+MQ OM+MP，又，又OM=OM，MQ MP。MP的长就是所求的最小值。由例的长就是所求的最小值。由例1知知MP=4。变题变题1、求圆、求圆O：上的点到上的点到3x+4y-25=0的距离的最小值的距离的最小值。122 yx追问：求圆追问：求圆O：上的点到直线上的点到直线 ()的距离的最大值。

7、的距离的最大值。122 yx034aayx动画演示Ra变题变题2、设、设M为圆为圆O：上的一点，上的一点，N为圆为圆O：上的一点。上的一点。求求MN的最小值。的最小值。122 yx1)4()3(22yx动画演示解：连接解：连接OO交圆交圆O于点于点P，交，交圆圆O于点于点Q，则，则PQ的长就是所的长就是所求的最小值。下面给出证明。求的最小值。下面给出证明。在圆在圆O上任取点上任取点P，在圆，在圆O上上任取点任取点Q，连接，连接OP，PQ，QO。则。则OP+PQ+QOOO=OP+PQ+QO。OP=OP，QO=QO，PQPQ。PQ的长即为所的长即为所求的最小值。求的最小值。此时此时PQ=OO-OP

8、-OQ=5-1-1=3补问：你能求出其最大补问：你能求出其最大值吗？值吗？变题变题2、设、设M为圆为圆O：上的一点，上的一点，N为圆为圆O：上的一点。上的一点。求求MN的最小值。的最小值。122 yx1)4()3(22yx变题变题3、已知、已知M为圆为圆O：上的点，上的点，N为抛物为抛物线线C：上的点，求上的点，求MN的最小值。的最小值。122 yx42 xy动画演示解：设圆解：设圆O交交y轴于点轴于点Q，则，则PQ就是所求。下面给出证明。就是所求。下面给出证明。在圆在圆O上任取点上任取点M，在抛物线，在抛物线C上任取点上任取点N，连接，连接ON，则，则OM+MNON OQ=OP+PQ。OM=

9、OP，MN PQ，PQ的长就是所求的最小值。的长就是所求的最小值。此时此时PQ=4-1=3。后问：你能用代数的方法来求吗后问：你能用代数的方法来求吗？解：设解：设N ，则，则ON4，所求的最小值为所求的最小值为4-1=3。),(00yx44200 xy2202020202)4(xxyxON161691682040204020 xxxxx变题变题3、已知、已知M为圆为圆O：上的点，上的点，N为抛物为抛物线线C：上的点，求上的点，求MN的最小值。的最小值。122 yx42 xy例例2、已知圆、已知圆 ：和圆和圆 ：证明：圆证明：圆 与圆与圆 相交，并求过它们交点的直线方程。相交，并求过它们交点的直

10、线方程。1C422 yx2C044422yxyx1C2C证明：圆证明：圆 ：圆圆 与圆与圆 相交。设圆相交。设圆 与圆与圆 交于点交于点P、Q两点。两点。-得：得：x+y-2=0 联立得联立得 或或P(0,2),Q(2,0),即即x+y-2=02C2222)2()2(yx2,221rr4220212121rrCCrr1C1C2C2C044442222yxyxyx02422yxyx20yx02yx122yx问题问题1:你能用更快的方法求出圆你能用更快的方法求出圆 与圆与圆 的公共弦所在的的公共弦所在的直线方程吗直线方程吗?解解:设设P 、Q则则 -得得-得得这表明直线这表明直线4x+4y-8=0

11、过过P 、Q注：此方法充分体现了设而不求的方法。注：此方法充分体现了设而不求的方法。11,yx22,yx42121 yx42222 yx0444112121yxyx0444222222yxyx084411yx084422yx11,yx22,yx02:yxlPQ1C2C问问2：已知圆：已知圆 ：和圆和圆 ：证明：两圆外切并求出过此切点的切线方程。证明：两圆外切并求出过此切点的切线方程。1C2C422 yx04284422yxyx解：圆解：圆 ：圆圆 与圆与圆 外切。外切。由由 -得：得：即过此切线的直线方程为：即过此切线的直线方程为：2C222)222()2()2(yx222222222121r

12、rCC04284442222yxyxyx1C2C02844 yx022 yx问问3：你能将你发现的结论推广到一般吗？：你能将你发现的结论推广到一般吗？设：圆设：圆 ：圆圆 ：-得：得：1C2C011122FyExDyx022222FyExDyx0)()()(212121FFyEExDD若圆若圆 与圆与圆 相交，则相交，则表示两圆公共弦所在的直线方程。表示两圆公共弦所在的直线方程。若圆若圆 与圆与圆 相切，则相切，则表示两圆切点的切线方程。表示两圆切点的切线方程。1C2C1C2C动画演示变题变题1、求证：、求证：恒过两定点恒过两定点。)(04444)1()1(22Ryxyx解：解：（分离参数法）

13、（分离参数法）0)444(42222yxyxyxR044442222yxyxyx20yx02yx或此方程恒过两定点此方程恒过两定点P（0，2）、）、Q（2，0）（你怎么想到此方法的？我们遇到过类似的问题吗？你还会（你怎么想到此方法的？我们遇到过类似的问题吗？你还会有别的方法吗？）有别的方法吗？）变题变题2、若过两圆、若过两圆 与与的交点且过点的交点且过点P（1，2）的圆方程。）的圆方程。1622 yx0118622yxyx解：设所求的圆方程为解：设所求的圆方程为过点过点P（1，2），），-11-22=0，所求的圆方程为所求的圆方程为)1(0)586(162222yxyxyx2102516432

14、1212222yxyyxx022743212122yxyx0278622yxyx问问1：你能将此问题推广吗？：你能将此问题推广吗？变题变题3：求过：求过 和和 的交点的交点且圆心在直线且圆心在直线 上的圆方程。上的圆方程。2522 yx0102 yx01 yx解：设所求圆的方程为解：设所求圆的方程为0)102(2522yxyx01025222yxyx圆心为：圆心为：在在x+y+1=0 上上 )2,(012204524:22yxyx所求圆方程为问题问题1：你能将变题：你能将变题2、变题、变题3的结论加以推广吗？的结论加以推广吗？小结：小结：（1）设）设圆圆 ：圆圆 ：1C2C011122FyEx

15、Dyx022222FyExDyx则过圆则过圆 与圆与圆 的交点曲线方程为：的交点曲线方程为：1C2C0)(2222211122FyExDyxFyExDyx（2）设圆）设圆 ：直线直线l：Ax+By+C=0过圆过圆 与直线与直线l的交点的圆的方程为：的交点的圆的方程为：1C011122FyExDyx0)(11122CByAxFyExDyx1C（3）设曲线）设曲线 则过曲线则过曲线 与曲线与曲线 的交点的曲线方程为的交点的曲线方程为0),(:,0),(:2211yxFCyxFC1C2C0),(),(21yxFyxF思考思考1：小结（：小结（1）中能否将）中能否将“曲线曲线”改为改为“圆圆”？思考思

16、考2：将变题：将变题2中的中的P（1，2）改为）改为Q ，那么，那么圆方程又是什么？圆方程又是什么？)624,1(问题问题2：从思考：从思考1，思考，思考2中你能得到些什么启示吗？中你能得到些什么启示吗？小结中的设法有缺陷吗？若有，缺陷是什么？小结中的设法有缺陷吗？若有，缺陷是什么？例例3、已知：直线、已知：直线l经过点经过点M（-3，-），），且被圆且被圆O：截得的弦截得的弦AB=8，求直线，求直线l的方程。的方程。232522 yx解：设解：设l的方程的方程)3(23xky03622kykx设设O到到l的距离为的距离为d，则，则91625)21(222ABrd3d344362kk44)12

17、(22kk43k0343:023223:yxlyxl即想一想：上述解法完美吗？想一想：上述解法完美吗？在设直线方程时注意不同形式的缺陷性，防止漏解。在设直线方程时注意不同形式的缺陷性，防止漏解。变题变题1、设直线、设直线l被圆被圆O：截得的弦长截得的弦长AB=8，求求AB中点的轨迹方程。中点的轨迹方程。2522 yx解：设解：设P（x，y）由题意知由题意知9)21(222ABrOP922 yx变题变题2、若点、若点P（8，0）与圆）与圆O：相交于相交于A、B两点。两点。（1）求弦）求弦AB中点中点Q的轨迹方程；的轨迹方程；（2）求）求PA、PB 的值。的值。2522 yx解：解：（1）设）设P（x，y），则），则OQAB,Q点的轨迹方程为点的轨迹方程为)8250(16)4(22xyx(2)由割线定理得由割线定理得:39133PNPMPBPA总结总结:在解决圆有关问题时在解决圆有关问题时,要适时利用圆的几何性质与要适时利用圆的几何性质与设而不求的方法设而不求的方法,这样有利于简化运算这样有利于简化运算.最后最后,让我们共同来体会下面这段话的含义让我们共同来体会下面这段话的含义:看山不是山看山不是山,看水不是水看水不是水;看山还是山看山还是山,看水还是水看水还是水.这就是我们这堂课的目的这就是我们这堂课的目的.