第1讲 空间几何体的结构特征及表面积与体积附带解析

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1、第38讲空间几何体的结构特征及表面积与体积(讲) 思维导图 题型仁空何几何体时蜡构特征 题型2：空何几何体时表面积 空间几何体的结构特征及表面积与体积昌 考向［一宜接利用公式求休积 题型于空间几何体的体积』考向2 斯卜法诫体积 考向占等体积法求翻 考向1：几何碎的外接球 题型4：与球有关的切、接问题0/ '■.考向2:几何悴的内切球 知识梳理 1•简单几何体 (1)多面体的结构特征 名称 棱柱 棱锥 棱台 图形 > A R A B 底面 互相平行且相等 多边形 互相平行且相似 侧棱 互相平行且相等 相交于一点，但不一定 相等 延长

2、线交于一点 侧面形状 平行四边形 三角形 梯形 ① 特殊的四棱柱 四棱柱 底面为〉 平行四边形 平行 侧棱垂直 六面体I于底面 I直平行I I六面体I 底面为 矩形 长方体—底面正四棱柱 边长相等 侧棱与底面 边长相等 正方体 ②多面体的关系: 图形 K A r 5 § 母线 互相平行且相 等，垂直于底面 长度相等且相交 于一占 J 八、、 延长线交于一点 轴截面 全等的矩形 全等的等腰三角 形 全等的等腰梯形 圆 侧面展开图 矩形 扇形 扇环 2. 直观图 （1） 画法：常用斜二测

3、画法. （2） 规则： ① 原图形中x轴、尹轴、z轴两两垂直，直观图中，疋轴、卩轴的夹角为45。（或135。），刃轴与疋轴和卩轴 所在平面垂直. ② 原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍平行于坐标轴.平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持 原长度不变，平行于尹轴的线段长度在直观图中变为原来的一半. 3. 圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式 圆柱 圆锥 圆台 侧面展开图 厂—> A 1 2srr ■■■ 侧面积公式 S =2nrl S =nrl S =n(r+r')l 圆柱侧 圆锥侧 圆台侧 — 4 4. 空间几何体的表面

4、积与体积公式 名称 几何体 表面积 体积 柱体（棱柱和圆柱） S =S +2S 表面积 侧 底 V=Sh 锥体（棱锥和圆锥） S =S +S 表面积 侧 底 V=*Sh 台体（棱台和圆台） S =S +S +S 表面积 侧 上 下 V=f（S 上+S 下+林下）h 球 S=4nA2 4 V=3nR3 题型归纳 题型 1 空间几何体的结构特征 例 1 -1 】 给出下列命题： ① 在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线; ② 直角三角形绕其任一边所在直线旋转一周所形成的几何体都是圆锥； ③ 棱台的上、下底面可以不相似，但

5、侧棱长一定相等. 其中正确命题的个数是( ) A. 0 B. 1 C. 2 D.3 【解析】 ①不一定，只有当这两点的连线平行于轴时才是母线；②不一定，当以斜边所在直线为旋 转轴时，其余两边旋转形成的面所围成的几何体不是圆锥，如图所示，它是由两个同底圆锥组成的几何体； ③ 错误，棱台的上、下底面相似且是对应边平行的多边形，各侧棱延长线交于一点，但是侧棱长不一定相 【答案】A 【跟踪训练 1-1】下列命题正确的是( ) A. 两个面平行，其余各面都是梯形的多面体是棱台 B. 两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台 C. 直角梯形以一条直角腰所在的直线

6、为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的旋转体是圆台 D. 用平面截圆柱得到的截面只能是圆和矩形 【解析】 如图所示，可排除A、B选项.对于D选项只有截面与圆柱的母线平行或垂直，截得的截 面才为矩形或圆，否则截面为椭圆或椭圆的一部分，故选C. 跟踪训练 1-2】（多选）给出下列命题，其中真命题是（ ） A.棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形 B•若三棱锥的三条侧棱两两垂直，则其三个侧面也两两垂直 c.在四棱柱中，若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，贝y该四棱柱为直四棱柱 D.存在每个面都是直角三角形的四面体 【解析】A不正确，根据棱柱的定义，棱柱的各个侧面都是平行四边

7、形，但不一定全等;B正确，若 三棱锥的三条侧棱两两垂直，则三个侧面构成的三个二面角都是直二面角；C正确，因为两个过相对侧棱的 截面的交线平行于侧棱，又垂直于底面；D正确，如图，正方体ABCDA]B]C]D]中的三棱锥C] ABC,四个 面都是直角三角形. 答案】 BCD A B 名师指导】 辨别空间几何体的 2 种方法 定义法 紧扣定义，由已知构建几何模型，在条件不变的情况下，变换模型中的线面关系 或增加线、面等基本要素，根据定义进行判定 反例法 通过反例对结构特征进行辨析，要说明一个结论是错误的，只需举出一个反例即 可 题型 2 空间几何体的表面积 【例

8、2-1】（1）（2019・四川泸州一诊）在梯形 ABCD 中, ZABC=2, ad//bc，BC=2AD=2AB=2.将梯形 ABCD 绕 AD 所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的表面积为（ ） B. (4+\/2)n A. (5+^)n C. (5+2-：/2)n D.(3+jO)n (2)(2020•河南周口模拟)如图，在三棱柱ABC ABC中，AA］丄底面ABC, AB丄BC, AA1=AC=2，直 线AC与侧面AABB所成的角为30°,则该三棱柱的侧面积为() B. 4+^.'3 A. 4+4迈 C. 12 D.8+4V2 n ［解析］(1)丁在梯

9、形 ABCD 中，/ABCp AD//BC, BC=2AD=2AB=2,：・将梯形ABCD 绕 AD 所 在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体是一个底面半径为AB=1,高为BC=2的圆柱挖去一个底 面半径为AB=1,高为BC-AD=2-1 = 1的圆锥，・•・该几何体的表面积S=nx12+2nx1x2+nx1x\； 12+12= (5 2)n.故选 A. (2)连接AB因为AA］丄底面ABC,则AA］丄BC, 又 AB丄BC, AA『AB=A，所以BC丄平面AABB, 所以直线A1C与侧面AA1B1B所成的角为ZCA1B=30°.又AA1=AC=2,所以AC=2迈，BC=-'2.又

10、 AB丄 BC,则AB=\'2，则该三棱柱的侧面积为2<5x2+2x2=4+4\：1 ［答案］(1)A (2)A 【跟踪训练2-1】在如图所示的斜截圆柱中，已知圆柱底面的直径为40 cm,母线长最短50 cm,最长80 cm, 则斜截圆柱的侧面面积S= cm2. 【解析】将题图所示的相同的两个几何体对接为圆柱，则圆柱的侧面展开图为矩形.由题意得所求侧 面展开图的面积 S=2x(50+80)x(nx40)=2 600n(cm2). 【答案】2 600n 【名师指导】 求解几何体表面积的类型及求法 求多面体 的表面积 只需将它们沿着棱“剪开”展成平面图形，利用求

11、平面图形面积的方法求多面体 的表面积 求旋转体 的表面积 可以从旋转体的形成过程及其几何特征入手，将其展开后求表面积，但要搞清 它们的底面半径、母线长与对应侧面展开图中的边长关系 求不规则 几何体的 表面积时 通常将所给几何体分割成基本的柱体、锥体、台体，先求出这些基本的柱体、 锥体、台体的表面积，再通过求和或作差，求出所给几何体的表面积 题型3 空间几何体的体积 【例3-1】(2019•江苏南通联考)已知正三棱柱ABC AiBiCi的各棱长均为2,点D在棱AA］上，则三棱锥D BB1C1 的体积为 ［解析］如图，取BC中点O,连接AO. V正三棱柱ABC

12、 ABC的各棱长均为2,・：AC=2, OC=1, 则 AO=3. VAA/平面BCC]B],・••点D到平面BCC1B1的距离为^3. 又 ^△BB1C1 = 1x2x2=2,A VD BB1C1 = |x2^/3=^. ［答案］詈 【例3-2】(1)(2019・全国卷口)学生到工厂劳动实践，利用3D打印技术制作模型•如图，该模型为长方体 ABCD A1B1C1D1挖去四棱锥O EFGH后所得的几何体.其中O为长方体的中心，E, F, G, H分别为所在 棱的中点，AB=BC=6 cm, AA1=4 cm.3D打印所用原料密度为0.9 g/cm3,不考虑打印损耗，制作该模型所

13、 需原料的质量为 g. B (2)如图，在多面体ABCDEF中，已知四边形ABCD是边长为1的正方形，且AADE, ABCF均为正三 角形，EF//AB, EF=2,则该多面体的体积为 ［解析］⑴由题知挖去的四棱锥的底面是一个菱形，对角线长分别为6 cm和4 cm, 故v挖去的四棱锥=卜2轴心与=12(。口). 长方体 = 6x6x4= 144(cm3), 所以模型的体积为V长方体-V 挖去的四棱锥 144-12=132(cm3)， 所以制作该模型所需原料的质量为132x0.9= 118.8(g). E G H F ⑵如图，分别过点A,

14、B作EF的垂线，垂足分别为G, H,连接DG, CH, BF,易求得EG=HF=g, AG=GD=BH=HC=^,则MHC中BC边的高心连：・5=也气存\=普，多面体=%adg + V +V =2V +V =卜密切+举1=申 F BHC AGD BHC E ADG AGD BHC 3 4 2 4 3 ［答案］(1)118.8 (2严 【例3-3】如图所示，已知三棱柱ABCA1B1C1的所有棱长均为1,且AA］丄底面ABC,则三棱锥B1 ABC1 的体积为( ) >.'312V612 A- C -,''3一4 远4 B- D. J3 ［解析］易知三棱锥B1 ABC的

15、体积等于三棱锥A B1BC1的体积，又三棱锥A B1BC1的高为寸，底面积 为2，故其体积^3X2^23=if， ［答案］ A 【跟踪训练3-1】如图，正四棱锥PABCD的底面边长为2：3 cm,侧面积为8、" cm?,则它的体积为 cm3. 【解析】记正四棱锥PABCD的底面中心为点O,棱AB的中点为H,连接PO, HO, PH,则PO丄平面 ABCD,因为正四棱锥的侧面积为8込cm2,所以8<3 =4*2后PH，解得PH=2,在RtAPHO中，HO h；3,所以 po=l,所以 Vpabcd=3，S 正方形d'PO=4 cm3- A H B 【答

16、案】 4 【跟踪训练3-2】如图，已知体积为V的三棱柱ABC ABCv p是棱BB上除B” B以外的任意一点，则 四棱锥P AA］C］C的体积为 • a 【解析】如图，把三棱柱ABC ABC 1补成平行六面体A1D1B1C1 ADBC.设P到平面AA1C1C的距离为力，则 【答案】寸 【名师指导】 求空间几何体的体积的常用方法 公式法 对于规则几何体的体积问题，可以直接利用公式进行求解 割补法 把不规则的图形分割成规则的图形，然后进行体积计算；或者把不规则的几何体 补成规则的几何体，不熟悉的几何体补成熟悉的几何体，便于计算其体积 等体积 法 一

17、个几何体无论怎样转化，其体积总是不变的.如果一个几何体的底面面积和高 较难求解时，我们可以采用等体积法进行求解.等体积法也称等积转化或等积变 形，它是通过选择合适的底面来求几何体体积的一种方法，多用来解决有关锥体 的体积，特别是三棱锥的体积 题型4 与球有关的切、接问题 【例4-1】（2019・全国卷口）已知三棱锥P ABC的四个顶点在球O的球面上，PA=PB=PC, △ABC是边长为 2的正三角形，E, F分别是PA, AB的中点，ZCEF=90。，则球O的体积为（ ） A. 8p6n B. 4"j6n C. 2\；6n D.\：6n ［解析］法一：TE, F分别是PA，AB的

18、中点，:・EF//PB. VZCEF=90°，AEF 丄 EC,・：PB 丄 EC, 又•・•三棱锥P ABC为正三棱锥，:・PB丄AC,从而PB丄平面PAC,:.三条侧棱PA, PB, PC两两垂直. •.•△ABC是边长为2的正三角形，:・PA=PB=PC=d 则球O是棱长为-迈的正方体的外接球，设球O的半径为R, 则2R=-朽x迈，r=¥，.•.球O的体积F^=4nRs —：6兀故选D. 法二：令 PA=PB=PC=2x(x>0)，则 EF=x，连接 FC,由题意可得 FC=.；3•在APAC 中，cosZAPC= 4x2+4x2—4 2x2—1 2x4x2 2x2 •

19、vz 2x2— 1 在APEC 中，EC2=PC2+PE2—2PC・PEcosZEPC=4x2+x2—2x2xxpx厂=x2+2,在NFEC 中, CEF=90°,AFC2=EF2+EC2，即 x2+2+x2=3, \'2 ・•・ PA =PB=PC=2x=\'2. VAB=BC=CA=2,A三棱锥P ABC的三个侧面为等腰直角三角形,・PA, PB, PC两两垂直，故球 O是棱长为◎的正方体的外接球，设球O的半径为R,则2R=S辽,R=¥，・・・球O的体积V=3nR3 = \/6兀故选D. ［答案］ D 【例4-2】(1)如图，在圆柱O1O2内有一个球O,该球与圆柱的上、

20、下底面及母线均相切.记圆柱O1O2的体 积为V］,球O的体积为，则召的值是 1 2 V2 (2)已知正三棱锥的高为1,底面边长为2\/3,内有一个球与四个面都相切，则棱锥的内切球的半径为 ［解析］(1)设圆柱内切球的半径为R, 则由题设可得圆柱O］O2的底面圆的半径为R,咼为2R, nR2・2R 3 4 jnR3 （2）如图，过点P作PD丄平面ABC于点D,连接AD并延长交BC于点连接PE, •/AB=^'3 ,AShABC= 3\13, DE=1, PE=百. .•・S表=3*2曲0辽+3羽=3召+ 3

21、£. 设球的半径为尸，以球心O为顶点，三棱锥的四个面为底面把正三棱锥分割为四个小棱锥, 则r=爲焉=应—1. ［答案］（1）| （2）迈—1 【跟踪训练4-1】（2019・四川成都一诊）如图，在矩形ABCD中，EF//AD, GH//BC, BC=2, AF=FG=BG =1.现分别沿EF, GH将矩形折叠使得AD与BC重合，则折叠后的几何体的外接球的表面积为（） B. 6n A. 24n 2 X 12 — 【解析】 由题意可知，折叠后的几何体是底面为等边三角形的三棱柱，底面等边三角形外接圆的半径为3 因为三棱柱的高为BC=2,所以其外接球的球心与底面外接圆圆心的距离为1,则

22、三棱柱 外接球的半径为R= 2+12=^，所以三棱柱外接球的表面积S=4nR2=¥.故选C. 【答案】C 【跟踪训练4-2】（2019・广东中山一中七校联合体联考）在四棱锥PABCD中，底面ABCD是边长为2a的正 方形，PD丄底面ABCD, 且PD=2a•若在这个四棱锥内放一球，则此球的最大半径为 . 【解析】由题意知,当球与四棱锥各面均相切,即内切于四棱锥时球的半径最大.作出其侧视图,如图所 示.易知球的半径r=（2—\：1）a. 【答案】（2 —V2）a 【名师指导】 解决与球有关的切、接问题，其通法是作截面，将空间几何问题转化为平面几何问题求解，其解题的思维 流程是: 1比昭2 ■丨扣泉是舟戕球，埠七列按点的距弟柑爭止曲半植 ■■■■■.■・■ ・■•♦■=■■■ ■■■■■■■■■aw ■■■■.■■■ ■■■■■ ■? 作戟面•丨球，兀何体的各科元金琨皿條现这些总秦河的关和,］ 一-一［达刮宦问问題平而化时目时 下站欝 ［机据卄出截面中的几扁■死王It立关于华半径的方