第1讲 空间几何体的结构特征及表面积与体积附带解析

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1、第38讲空间几何体的结构特征及表面积与体积(讲)思维导图题型仁空何几何体时蜡构特征 题型2：空何几何体时表面积空间几何体的结构特征及表面积与体积昌考向一宜接利用公式求休积题型于空间几何体的体积考向2 斯卜法诫体积考向占等体积法求翻考向1：几何碎的外接球 题型4：与球有关的切、接问题0/.考向2:几何悴的内切球知识梳理1简单几何体(1)多面体的结构特征名称棱柱棱锥棱台图形A RAB底面互相平行且相等多边形互相平行且相似侧棱互相平行且相等相交于一点，但不一定相等延长线交于一点侧面形状平行四边形三角形梯形 特殊的四棱柱四棱柱底面为平行四边形平行 侧棱垂直 六面体I于底面I直平行I I六面体I底面为矩

2、形长方体底面正四棱柱边长相等侧棱与底面边长相等正方体多面体的关系:图形KAr5母线互相平行且相等，垂直于底面长度相等且相交于一占J 八、延长线交于一点轴截面全等的矩形全等的等腰三角形全等的等腰梯形圆侧面展开图矩形扇形扇环2. 直观图（1）画法：常用斜二测画法.（2）规则： 原图形中x轴、尹轴、z轴两两垂直，直观图中，疋轴、卩轴的夹角为45。（或135。），刃轴与疋轴和卩轴 所在平面垂直. 原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍平行于坐标轴.平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持 原长度不变，平行于尹轴的线段长度在直观图中变为原来的一半.3. 圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式圆柱圆锥圆台侧

3、面展开图厂A12srr侧面积公式S=2nrlS=nrlS=n(r+r)l圆柱侧圆锥侧圆台侧44. 空间几何体的表面积与体积公式名称几何体表面积体积柱体（棱柱和圆柱）S=S +2S表面积侧底V=Sh锥体（棱锥和圆锥）S=S +S表面积侧底V=*Sh台体（棱台和圆台）S=S +S +S表面积侧上下V=f（S 上+S 下+林下）h球S=4nA24V=3nR3题型归纳题型 1 空间几何体的结构特征例 1 -1 】 给出下列命题： 在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线; 直角三角形绕其任一边所在直线旋转一周所形成的几何体都是圆锥； 棱台的上、下底面可以不相似，但侧棱长一定相等.

4、其中正确命题的个数是()A. 0B. 1C. 2D.3【解析】不一定，只有当这两点的连线平行于轴时才是母线；不一定，当以斜边所在直线为旋转轴时，其余两边旋转形成的面所围成的几何体不是圆锥，如图所示，它是由两个同底圆锥组成的几何体； 错误，棱台的上、下底面相似且是对应边平行的多边形，各侧棱延长线交于一点，但是侧棱长不一定相【答案】A【跟踪训练 1-1】下列命题正确的是()A. 两个面平行，其余各面都是梯形的多面体是棱台B. 两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台C. 直角梯形以一条直角腰所在的直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的旋转体是圆台D. 用平面截圆柱得到的截面只能是圆和矩

5、形【解析】 如图所示，可排除A、B选项.对于D选项只有截面与圆柱的母线平行或垂直，截得的截 面才为矩形或圆，否则截面为椭圆或椭圆的一部分，故选C.跟踪训练 1-2】（多选）给出下列命题，其中真命题是（）A.棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形B若三棱锥的三条侧棱两两垂直，则其三个侧面也两两垂直c.在四棱柱中，若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，贝y该四棱柱为直四棱柱D.存在每个面都是直角三角形的四面体【解析】A不正确，根据棱柱的定义，棱柱的各个侧面都是平行四边形，但不一定全等;B正确，若 三棱锥的三条侧棱两两垂直，则三个侧面构成的三个二面角都是直二面角；C正确，因为两个过相对侧棱的 截面

6、的交线平行于侧棱，又垂直于底面；D正确，如图，正方体ABCDABCD中的三棱锥C ABC,四个 面都是直角三角形.答案】 BCDAB名师指导】辨别空间几何体的 2 种方法定义法紧扣定义，由已知构建几何模型，在条件不变的情况下，变换模型中的线面关系 或增加线、面等基本要素，根据定义进行判定反例法通过反例对结构特征进行辨析，要说明一个结论是错误的，只需举出一个反例即 可题型 2空间几何体的表面积【例 2-1】（1）（2019四川泸州一诊）在梯形 ABCD 中, ZABC=2, ad/bc，BC=2AD=2AB=2.将梯形 ABCD绕 AD 所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的表面积为（）

7、B. (4+/2)nA. (5+)nC. (5+2-：/2)nD.(3+jO)n(2)(2020河南周口模拟)如图，在三棱柱ABC ABC中，AA丄底面ABC, AB丄BC, AA1=AC=2，直线AC与侧面AABB所成的角为30,则该三棱柱的侧面积为()B. 4+.3A. 4+4迈C. 12D.8+4V2n解析(1)丁在梯形 ABCD 中，/ABCp AD/BC, BC=2AD=2AB=2,：将梯形ABCD 绕 AD 所 在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体是一个底面半径为AB=1,高为BC=2的圆柱挖去一个底 面半径为AB=1,高为BC-AD=2-1 = 1的圆锥，该几何体的表面积S

8、=nx12+2nx1x2+nx1x； 12+12= (5 2)n.故选 A.(2)连接AB因为AA丄底面ABC,则AA丄BC, 又 AB丄BC, AAAB=A，所以BC丄平面AABB, 所以直线A1C与侧面AA1B1B所成的角为ZCA1B=30.又AA1=AC=2,所以AC=2迈，BC=-2.又 AB丄 BC,则AB=2，则该三棱柱的侧面积为2.312V612A- C-,3一4 远4B-D.J3解析易知三棱锥B1 ABC的体积等于三棱锥A B1BC1的体积，又三棱锥A B1BC1的高为寸，底面积 为2，故其体积3X223=if，答案 A【跟踪训练3-1】如图，正四棱锥PABCD的底面边长为2：

9、3 cm,侧面积为8、 cm?,则它的体积为cm3.【解析】记正四棱锥PABCD的底面中心为点O,棱AB的中点为H,连接PO, HO, PH,则PO丄平面ABCD,因为正四棱锥的侧面积为8込cm2,所以80)，则 EF=x，连接 FC,由题意可得 FC=.；3在APAC 中，cosZAPC= 4x2+4x24 2x212x4x22x2 vz2x2 1在APEC 中，EC2=PC2+PE22PCPEcosZEPC=4x2+x22x2xxpx厂=x2+2,在NFEC 中,CEF=90,AFC2=EF2+EC2，即 x2+2+x2=3,2 PA =PB=PC=2x=2.VAB=BC=CA=2,A三棱

10、锥P ABC的三个侧面为等腰直角三角形,PA, PB, PC两两垂直，故球 O是棱长为的正方体的外接球，设球O的半径为R,则2R=S辽,R=，球O的体积V=3nR3 = /6兀故选D.答案 D【例4-2】(1)如图，在圆柱O1O2内有一个球O,该球与圆柱的上、下底面及母线均相切.记圆柱O1O2的体积为V,球O的体积为，则召的值是12V2(2)已知正三棱锥的高为1,底面边长为2/3,内有一个球与四个面都相切，则棱锥的内切球的半径为解析(1)设圆柱内切球的半径为R,则由题设可得圆柱OO2的底面圆的半径为R,咼为2R,nR22R 34jnR3（2）如图，过点P作PD丄平面ABC于点D,连接AD并延长

11、交BC于点连接PE,/AB=3 ,AShABC= 313, DE=1, PE=百.S表=3*2曲0辽+3羽=3召+ 3!VPD=1,A三棱锥的体积V=、3逼x1=.设球的半径为尸，以球心O为顶点，三棱锥的四个面为底面把正三棱锥分割为四个小棱锥, 则r=爲焉=应1.答案（1）| （2）迈1【跟踪训练4-1】（2019四川成都一诊）如图，在矩形ABCD中，EF/AD, GH/BC, BC=2, AF=FG=BG =1.现分别沿EF, GH将矩形折叠使得AD与BC重合，则折叠后的几何体的外接球的表面积为（）B. 6nA. 24n2X 12 【解析】 由题意可知，折叠后的几何体是底面为等边三角形的三棱

12、柱，底面等边三角形外接圆的半径为3因为三棱柱的高为BC=2,所以其外接球的球心与底面外接圆圆心的距离为1,则三棱柱外接球的半径为R=2+12=，所以三棱柱外接球的表面积S=4nR2=.故选C.【答案】C【跟踪训练4-2】（2019广东中山一中七校联合体联考）在四棱锥PABCD中，底面ABCD是边长为2a的正方形，PD丄底面ABCD, 且PD=2a若在这个四棱锥内放一球，则此球的最大半径为.【解析】由题意知,当球与四棱锥各面均相切,即内切于四棱锥时球的半径最大.作出其侧视图,如图所 示.易知球的半径r=（2：1）a.【答案】（2 V2）a【名师指导】解决与球有关的切、接问题，其通法是作截面，将空间几何问题转化为平面几何问题求解，其解题的思维流程是:1比昭2 丨扣泉是舟戕球，埠七列按点的距弟柑爭止曲半植 . = aw . ?作戟面丨球，兀何体的各科元金琨皿條现这些总秦河的关和, 一-一达刮宦问问題平而化时目时下站欝机据卄出截面中的几扁死王It立关于华半径的方