系统的状态空间表达式

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1、1896192019872006第第1 1章章 控制系统的控制系统的状态空间表达式状态空间表达式本章内容本章内容状态变量和状态空间表达式状态变量和状态空间表达式系统的外部描述系统的外部描述系统输入-输出描述从系统“黑箱”的输入-输出因果关系中获悉系统特性传递函数描述属系统的外部描述 系统的内部描述系统的内部描述系统的完全描述完整地表征了系统的动力学特征状态空间表达式属系统的内部描述 基本概念基本概念状态变量：状态变量：足以完全表征系统运动状态的最小个数的一组变量称为状态变量 状态向量（矢量）：状态向量（矢量）：如果n个状态变量用x1(t)、x2(t)、xn(t)表示，并把这些状态变量看作是矢量

2、的分量，则就称为状态向量（简称状态）。记作：状态空间：状态空间：状态向量取值的空间，即以状态变量 x1、x2、xn为坐标轴所构成的n维空间称为状态空间 021,)(,),(),(tttxtxtxxTn状态变量的个数与选择状态变量的个数与选择n阶微分方程描述的系统，有n个独立的状态变量。同一个系统状态变量的选择不唯一，但状态变量的个数总是相等，通常选择容易测量的量。例如：机械和液压系统：流量、压力、速度、加速度、位移、力及它们的导数等电系统：电压、电流、电荷、磁通及它们的导数等如果将储能元件的物理变量选为系统的状态变量，则状态变量的个数等于系统中独立储能元件的个数基本概念基本概念n状态方程：状态

3、方程：系统状态方程描述的结构图如下图所示 输入引起状态的变化是一个动态过程，每个状态变量的一阶导与所有状态变量和输入变量的数学方程称为状态方程。非线性系统状态方程为 线性系统状态方程为)()()()()(tutBtxtAtx),(2121tuuuxxxfxmn基本概念基本概念n输出方程：输出方程：描述状态与输入一起引起输出的变化是一个代数方程称为输出方程。非线性系统输出方程为线性系统输出方程为n状态空间表达式：状态空间表达式：状态方程和输出方程合在一起，构成对一个系统完整的动态描述，称为系统的状态空间表达式。线性系统状态空间表达式可写成 ),(2121tuuuxxxgymn)()()()()(

4、tutDtxtCty)()()()()(tutDtxtCty)()()()()(tutBtxtAtx系统的分类系统的分类线性系统和非线性系统线性系统和非线性系统 时变系统和时不变系统（定常系统）时变系统和时不变系统（定常系统）连续系统和离散系统连续系统和离散系统 确定性系统和随机系统确定性系统和随机系统 线性系统和非线性系统线性系统和非线性系统线性系统状态空间表达式线性系统状态空间表达式)()()()()(tutBtxtAtx)()()()()(tutDtxtCty非线性系统状态空间表达式非线性系统状态空间表达式),(2121tuuuxxxfxmn),(2121tuuuxxxgymn时变系统和

5、定常系统时变系统和定常系统时变系统状态空间表达式时变系统状态空间表达式)()()()()(tutBtxtAtx)()()()()(tutDtxtCty定常系统状态空间表达式定常系统状态空间表达式),(2121tuuuxxxfxmn),(2121tuuuxxxgymn)()()(tuBtxAtx)()()(tuDtxCty),(2121mnuuuxxxfx),(2121mnuuuxxxgy连续系统和离散系统连续系统和离散系统连续系统状态空间表达式连续系统状态空间表达式离散系统状态空间表达式离散系统状态空间表达式)()()(tuBtxAtx)()()(tuDtxCty),(2121mnuuuxxx

6、fx),(2121mnuuuxxxgy)()()()()()()()()()1(kukDkxkCkykukHkxkGkx)()()()()()1(kDukCxkykHukGxkx建立状态方程的步骤建立状态方程的步骤选择状态变量根据物理或其它机理、定律列写运动微分方程化为状态变量的一阶微分方程组用向量矩阵形式表示状态空间分析法举例一状态空间分析法举例一例1求图示机械系统的状态空间表达式令得动态方程组Ku(t)my(t)b)(tukyybym yxyx2112122111xyumxmbxmkumymbymkyxxx 状态空间表达式为212121011010 xxyumxxmbmkxx状态空间分析法

7、举例二状态空间分析法举例二例2求图示RLC回路的状态空间表达式令RL+_+_u(t)uc(t)+_yi(t)输入输出uuRidtdiLcidtduCcixuxc21uLiLRuLdtdic11iCdtduc1状态空间表达式为2121210110110 xxyuLxxLRLCxx状态空间表达式状态变量图状态空间表达式状态变量图ABCDxxuy)()()(tuBtxAtx)()()(tuDtxCty状态空间表达式状态变量图的绘制步骤状态变量图的绘制步骤绘制积分器画出加法器和放大器用线连接各元件，并用箭头示出信号传递的方向。例 设三阶系统状态空间表达式为3132133221xxyu2x3x6xxxx

8、xx其状态图为236uy3x2x1x-思路：（1）将方块图细化到显示出积分，积分之后为状态变量，积分之前为状态变量的一次微分。（2）按细化后的方块图逻辑关系，直接写出状态空间表达式。例、求图示系统的状态空间表达式。u(t)y(t)-21ss31s648s12 su(t)y(t)-21s31s)8(s1s64-u(t)y(t)-s1s1s164-23-s18-1x2x3x4xu2xxxux3xxxx64xxx8xx41443133122111yx状态空间表达式1、由物理公式直接建立状态空间表达式例 系统如图所示选择状态变量：x1=iL,x2=ucdtduCRdtdiLuicLL11)(uRdtd

9、uCudtdiLccL2整理得：2112121)(RRRLuRRRRLiLudtdicLLcLcuRRCiRRCRdtdu)(1)(21211状态方程为：LuLxRRRxRRRRLdtdxc2211121211)(122112112)(1)(xRRCxRRCRdtdx输出方程为：2xuyc写成矩阵形式：uLxxRRCRRCRRRLRRRRRLxx01)(1)()(121212121121212121 10 xxy例 系统如图图示由弹簧、质量体、阻尼器组成的机械动力学系统的物理模型。试建立以外力u（t）为系统输入、质量体位移y（t）为输出的状态空间模型。解：设在外力u（t）作用于小车前，小车已处

10、于平衡态。这里仅考虑外力加入后对小车运动的影响。系统的受力情况如下图所示。由牛顿第二定律有：kydtdyfudtydm221yx选择状态变量：对机械动力学系统，常常将位移、速度等选作状态变量。对本例，有 tytx1)()(2tytx状态变量代入，得：umxmfxmkxxx121221输出方程：即得如下矩阵形式的状态空间模型：umxmfmkx1010 x01y 由输入-输出微分方程确定状态空间描述的问题称为实现问题实现问题设单输入-输出线性定常连续时间系统微分方程描述为它的传递函数为 为了得到微分方程式或传递函数式所示系统的状态空间描述，首先选择适当的状态变量，以保证得到前面描述形式的状态方程

11、nmasasasbsbsbsUsYsGnnnmm011101)()()(ubububyayayaymnnn01)m(01)1(1)(n当mn时n当m=n时状态空间表达式的状态方程不变，而输出方程为 uxaaaxn1001010110 xbbym000ubxabbabbynnnnn)()(1100ubbxaaaxmn0011000110 xy100 例 将以下系统输入输出方程变换为状态空间模型uyyyy2611 6 解 本例中因此，可得状态空间模型如下uxx1006116100010 xy002a0=6 a1=11 a2=6 b0=2其系统结构图如下所示“2”和“1”能否互换？能观标准型如何表示

12、？对于给定的线性定常系统，可以选取许多种状态变量，相应地有许多种状态空间表达式描述同一系统，即系统可以有多种结构形式。其实质是矢量的线性变换。设给定系统为uDxCyxxuBxAx0)0(;存在任意一个非奇异矩阵T，将原状态向量作线性变换，设变换关系为得到新的状态空间表达式zTxuDzCTyxTxTzuBTzATTz01111)0()0(;例 下列系统作线性变换：uxxxx02312021212130 xxy解：取变换：Tzx 0226T23212101T状态空间表达式变为：BuTATzTz11uz103210zy022630z06n系统特征值系统特征值设给定系统的状态方程为系统的特征值定义为如

13、下特征方程 的根。n特征值的不变性特征值的不变性同一系统经非奇异变换后，其特征值是不变的。n系统的不变量系统的不变量由于特征值全由特征多项式的系数唯一地确定，而特征值经非奇异变换是不变的，那么特征多项式的系数为系统的不变量。uDxCyuBxAx0)det(AI如果对一个非零向量 成立 ，称非零向量为矩阵A的属于特征值 的特征向量。特征向量不是唯一的。当n个特征值 为两两相异时，任取的n个特征向量必是线性无关的。0)(iipAIn,21nppp,21ipipi 对系统，如其n个特征值 为两两相异，利用它们的特征向量组成变换矩阵 ，那么系统的状态方程在变换 下，必可化为如下的对角线规范型：n,21

14、npppP,21xPz1BuPzz1其中，n21例：试将下列普通状态空间模型变换为对角规范形uxx10051166116110 xy001解：先求A的特征值。由特征方程可求得特征值为求特征值所对应的特征向量：由前述的方法可求特征值1、2和3 所对应的特征向量：3,2,1321312111312111131211151166116110ppppppppp0611606106010312111312111312111ppppppppp3111210ppp取：1p111011P同理可得：961,42132PP取A的特征向量组成变换矩阵P并求逆阵P-1，即有941620111P123134322531

15、P计算各矩阵3000200011APPA1321BPB111CPC系统在新的状态变量下的状态空间表达式为：xyuxx111132300020001n在对角线规范形下，个个状态变量间实现了完全解耦，可表成为n个独立的状态变量方程。n如果系统矩阵A具有形式 且其特征值为两两相异，则此时化状态方程为对角线形的变换阵是一个范德蒙德（Vandermonde）矩阵 1101010naaaA111111nnnnp 如果系统的特征值为非互异的，则其状态方程不能转化为对角线规范形，但可以构造特定的变换矩阵使之化为准对角线规范型，即约旦(Jordan)规范型。设系统的特征值有q个1的重根，其余（n-q）个根为两两

16、相异，则变换矩阵的计算公式如下 其中，是对应于（n-q）个相异特征值的特征向量，对应于q个1的重根的特征向量的求取根据下式计算nqqpppppP,121nqpp,1qpp,10111pAp1221ppAp11qqqppApuBPzJz1nqJ00000010011111其中，nnnmmmmnnnmmmmscscscsssbsbsbsbasasasbsbsbsbsW221121011101110111)()()(uxxn1110021xcccyn21ucccxxnn212100 xy1111、具有互异根的情况或nnnmmmmnnnmmmmscscscscscsssbsbsbsbasasasbsb

17、sbsbsW4413212311431011101110111)()()()()()(uxxn1110000000000000010014111xcccyn212、具有重根的情况例 将下述传递函数变换为状态空间模型 6116223ssssG解：由系统特征多项式611623sss可求得系统极点为3,2,1321于是有：332211cscscssG其中：1)3(2211c332211sssssGcssGcssG故当选择状态变量为G(s)分式并联分解的各个一阶惯性环节的输出。可得如下状态空间模型：xyuxx121111300020001将上述结果与前面能控标准型的例题结果相比较也说明：即使对同一个系

18、统，采用不同的建立状态空间模型的方法，将得到不同的状态空间模型，即状态空间模型不具有唯一性。对应于状态空间表达式 的传递函数矩阵为 同一个系统，尽管其状态空间表达式可以作各种非奇同一个系统，尽管其状态空间表达式可以作各种非奇异变换而不是唯一的，但它的传递函数矩阵是不变的异变换而不是唯一的，但它的传递函数矩阵是不变的uDxCyxuBxAx0)0(,DBAsICsW1)()(例：求如下系统的传递函数x21yu52x1315x解：先计算逆矩阵C(sI-A)-1B421315ssssAsI53111315ssssadjAsIadj53114211ssssAsIAsIadjAsI则：BAsICsG152

19、53114221ssss425912sss给定状态空间描述的系数矩阵A，B，C，D，求出 0111)det()(asasasAsIsnnn和CBaBCAaBCAECBaBCAaBCAECBaCABECBEnnnnnnnnn1211123122121则相应的传递函数矩阵可按下式定出：DEsEsEsEssGnnnn)(1)(012211 n系统状态空间描述在坐标变换下的特性系统状态空间描述在坐标变换下的特性 n如果两个状态空间描述之间存在非奇异线性变换关系，则称它们是代数等价的，即它们具有相同的一些代数特性。n同一系统采用不同的状态变量组所导出的不同状态空间描述之间，必然是代数等价的。n对于线性定

20、常系统的情况，可以做到使两个代数等价的状态空间描述化为相同的对角线规范形或约当规范形。n系统在坐标变换下的不变量和不变属性反映了系统固有的特性。例如，特征值在坐标变换下保持不变，反映了系统的稳定性这一固有特性。n系统传递函数矩阵在坐标变换下的特性系统传递函数矩阵在坐标变换下的特性 n线性定常系统的传递函数矩阵在坐标变换下保持不变。设系统差分方程为相应的脉冲传递函数为则离散系统状态空间表达式为)()1()()()1()1()(01011kubkubnkubkyakyankyankynn011101)(azazazbzbzbzGnnnnn)()()()()()1(kdukxckykhukxGkxT线性时变系统的状态空间表达式为)()()()()(tutBtxtAtx)()()()()(tutDtxtCty