线段之和最小问题

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1、线段之和最小的问题辉县市第一初级中学 徐海燕教学目标教学目标：1.1.理解两点之间线段最短。理解两点之间线段最短。2.2.能够利用能够利用“两点之间线段最短两点之间线段最短”这一公理解决线段之和最小问题。这一公理解决线段之和最小问题。重点重点：能从复杂图形中提炼出本节课的数能从复杂图形中提炼出本节课的数 学模型。学模型。难点难点：找到能使线段之和最小的动点找到能使线段之和最小的动点1 1，直线，直线l l 有有A A、B B两点，点两点，点P P是直线是直线l l上上一点，试找出点一点，试找出点P P，使，使PA+PBPA+PB最小最小PA1P同侧同侧异侧异侧作法作法：作点作点A A关于直线关

2、于直线l l的对称点的对称点A A1 1，连接，连接A A1 1B B交直线交直线l l与点与点P P，此时，此时PA+PBPA+PB最小，等最小，等于于A A1 1B B。如图如图1 1，已知菱形，已知菱形ABCDABCD中，中，DAB=60DAB=600 0，AB=2cmAB=2cm。E E是是ABAB的中点，的中点，P P是对角线是对角线ACAC上一点，上一点，则则PE+PBPE+PB的最小值为的最小值为 cmcm。P解：解：四边形四边形ABCDABCD是菱形，是菱形，点点B B与点与点D D关于线段关于线段ACAC对称，对称，连接连接DEDE交交ACAC与点与点P P，此时，此时PE+

3、PBPE+PB最小，等于最小，等于DE.DE.23如图，梯形如图，梯形ABCDABCD中，中，ADBCADBC，AB=CD=AD=1AB=CD=AD=1，B=60B=600 0直线直线MNMN为梯形的对为梯形的对称轴，称轴，P P为为MNMN上一点。则上一点。则PC+PDPC+PD的最小值的最小值为为 。P解：解：直线直线MNMN为梯形的对称轴为梯形的对称轴点点A A与点与点D D关于直线关于直线MNMN对称对称连接连接ACAC交直线与点交直线与点P P，此时，此时PC+PDPC+PD最小，等于最小，等于AC.AC.3如图如图2 2所示，所示，MNMN是是OO的直径，的直径，MN=2MN=2，

4、点，点A A在在OO上，上，AMN=30AMN=300 0。B B是弧是弧ANAN的中的中点，点，,P,P是直径是直径MNMN上一动点，则上一动点，则PA+PBPA+PB的最的最小值为小值为 。B1P解：作点解：作点B B关于关于MNMN的对称点的对称点B B1 1连接连接ABAB1 1，交，交MNMN与点与点P P，此时，此时PA+PBPA+PB最小，等于最小，等于ABAB1 1.2如图，一次函数如图，一次函数y=kx+by=kx+b的图像与的图像与x x轴，轴，y y轴轴分别交与点分别交与点A A（2,02,0），），B B（0,40,4）（1 1）.求该函数的解析式求该函数的解析式.(2

5、).O(2).O为坐标原点，设为坐标原点，设OA,ABOA,AB的中点分别为的中点分别为C C，D D，P P为为OBOB上一动点，求上一动点，求PC+PDPC+PD的最小值，并的最小值，并求出求出P P点的坐标。点的坐标。PC1解：作点解：作点C C关于关于y y轴的对称轴的对称点点C C1 1,连接连接C C1 1D D交交y y轴与点轴与点P,P,此时此时PC+PDPC+PD最小，等于最小，等于C C1 1D D.解决线段之和最小问题的步骤解决线段之和最小问题的步骤1.1.找找两定点两定点2.2.找找一定直线一定直线3.3.作作对称找动点对称找动点如图，已知如图，已知:抛物线抛物线y=-

6、xy=-x2 2+2x+3+2x+3与与x x轴交轴交与与A A（-1,0-1,0）B(3,0)B(3,0)与与y y轴交与点轴交与点C C（0,30,3）。点）。点P P为对称轴上一点，试求出为对称轴上一点，试求出PACPAC的周长的最小值。的周长的最小值。P解：解：点点A A与点与点B B关于抛物线的对称关于抛物线的对称轴对称，轴对称，连接连接CBCB交对称轴与点交对称轴与点P P，此时此时PACPAC的周长的最小的周长的最小,即即PC+PA+ACPC+PA+AC最小，等于最小，等于BC+AC.BC+AC.如图，在平面直角坐标系中，如图，在平面直角坐标系中，A,BA,B两点的坐标分别两点的

7、坐标分别为为A A（-2,0-2,0）B B（8,08,0），以），以ABAB为直径的半圆为直径的半圆P P与与y y轴轴交与点交与点M,M,以以ABAB为一边作正方形为一边作正方形ABCDABCD。(1)(1)写出写出C,MC,M两点的坐标（两点的坐标（2 2）在）在x x轴上是否存在一点轴上是否存在一点Q Q，使得，使得QMCQMC的周长最小？若存在，求出点的周长最小？若存在，求出点Q Q的坐的坐标，若不存在，请说明理由。标，若不存在，请说明理由。MM1Q解：作点解：作点M M关于关于x x轴的对称轴轴的对称轴M M1 1，连接连接M M1 1C C交交x x轴与点轴与点Q Q，此时，此时

8、QMCQMC的周长最小，即的周长最小，即MC+QM+QCMC+QM+QC最小，最小，等于等于M M1 1C.C.已知：如图，正方形已知：如图，正方形ABCDABCD的边长为的边长为6cm6cm，AE=CF=2cmAE=CF=2cm，点，点M,NM,N分别是分别是AB,CDAB,CD上的动点，且上的动点，且AM=CM.(1)AM=CM.(1)试判断四边形试判断四边形EMFNEMFN的形状。的形状。（2 2）试求出四边形）试求出四边形EMFNEMFN的周长的最小值的周长的最小值M解：作点解：作点E E关于关于ABAB的对称点的对称点E E1 1，连接连接E E1 1F F交交ABAB与点与点M M

9、，此时四边形，此时四边形EMFNEMFN的周长最小的周长最小,为为2(ME+MF),2(ME+MF),即即2 2（MEME1 1+MF).+MF).E11.1.如图，已知直角梯形如图，已知直角梯形ABCDABCD中，中，ADBCADBC，ABBC,AD=2ABBC,AD=2，BC=DC=5BC=DC=5，点，点P P在边在边BCBC上移动，当上移动，当PA+PDPA+PD取最小值时，取最小值时，APDAPD中中APAP边上的高为边上的高为 。2.2.如图，在如图，在RtABCRtABC中，中，ACB=90ACB=900 0,ABC=60ABC=600 0,BC=2,BC=2，E E是是ABAB边的中点，边的中点，F F是是ACAC边的中点，边的中点，D D是是BCBC边上一动点，则边上一动点，则EFDEFD的周长最小值是的周长最小值是 。如图，在直角坐标系中，有四个点如图，在直角坐标系中，有四个点A A（-6,36,3）,B(-2,5),C(0,m),D(n,0),B(-2,5),C(0,m),D(n,0)。当四边形。当四边形ABCDABCD的周长最小时，的周长最小时，m=m=，n=n=，