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1、第八章无穷级数第八章无穷级数常数项级数的概念和性质函数项级数 终了终了常数项级数敛散性判别法函数展开为幂级数函数展开为傅里叶级数第一节 常数项级数的概念和性质一.无穷级数的概念二.级数收敛的必要条件三.无穷级数的根本性质 一.无穷级数的概念1.无穷级数的定义设有数列 un:u1,u2,un,nnnuuuu211为一个无穷级数,简称为级数.称 un 为级数的普通项或通项.那么称表达式 .,1数则称该级数为常数项级均为常数的每一项若级数nnnuu .)(),(:1数项级数为函则称级数函数一个变量的若级数的每一项均为同nnnnxuxuu以下各式均为常数项级数;214121211nnn;211nnn;
2、)1(1111)1(111nnn.cos2cos1coscos1nnn例1以下各式均为函数项级数,)1(1)1(112111nnnnnxxxx.Rx,22100nnnnnxaxaxaaxa.1|x,sin2sinsinsin1nxxxnxn.Rx例22.级数的敛散性定义无穷级数1nnu的前 n 项之和：,211nnkknuuuuS称为级数的部分和.假设SSnnlim存在,那么称级数1nnu收敛.S 称为级数的和：.1Sunn假设nnSlim不存在(包括为),1nnu发散.那么称级数讨论等比级数的敛散性.11nnar等比级数的部分和为：nkknarS11当公比|r|1 时,.1)1(limlim
3、rraSnnnn当公比 r=1时,.limlimnaSnnnSn=a,n为奇数0,n为偶数当公比当公比|r|1 时时,等比级数收敛；等比级数收敛；当公比 r=1时,当公比当公比|r|1 时时,等比级数发散等比级数发散.综上所述,.lim ,不存在故nnS讨论级数的敛散性.1)12)(12(1nnn12112121)12)(12(1nnnn1211212171512151312131121 nnSn121121n解解 751531311 例4而121121limlimnSnnn故21)12)(12(11nnn21即该级数收敛,其和为.21S 21)12)(12(1751531311 nn二.级数
4、收敛的必要条件假设级数1nnu收敛,那么必有.0limnnu定理)(limlim1nnnnnSSu1limlimnnnnSS0SS证证设 ,1Sunn.lim SSnn则由于,1 1)1(lim|lim1nnunnnn故该级数发散.,0limnnu解解例5 .1)1(11的敛散性判别级数nnnn证明调和级数是发散的:调和级数的部分和有：，11S，211122 SS4131211224SS证证21211，221 201例61 .1312111nnn328SS2318171615141312118171615141312112121211?212kSk由数学归纳法,得，212kSk k=0,1,2
5、,而21limkk故 nnSlim不存在,即调和级数发散.三.无穷级数的根本性质 假设 c 0 为常数,那么1nncu1nnu与1.性质性质 1有一样的敛散性,且 .11nnnnuccu证证1nnu的部分和为，nkknuS11nncu的部分和为,11nnkknkkncSuccuS故nnnnnnSccSSlimlimlim同时收敛或同时发散,即与1nnu1nncu且有 .11nnnnuccu2.性质性质 2 ,2111SSvunnnn和其和分别为收敛与若且也收敛则级数 ,)(1nnnvu211)(SSvunnn .11nnnnvu证证1)(nnnvu的部分和为：nkkknvuS1)()()(21
6、21nnvvvuuu故nnSS21)()()(2211nnvuvuvu2121limlimSSSSnnnn即 级数1)(nnnvu收敛,且21111)(SSvuvunnnnnnn)(limlim21nnnnnSSS 由于等比级数,31 2111收敛与nnnn所以级数.31211也收敛nnn例7问 题 一个收敛级数与一个发散级数的和是收敛的还是发散的？是发散的问 题 两个发散的级数之和是收敛的还是发散的？不一定.)1()1(111之和与看看nnnn在一个级数的前面加上或者去掉有限项后,所得到的新的级数与原级数的敛散性一样.3.性质性质 3kmmmkuuuS21kmmmmuuuuuu2121)(m
7、kmSS证证)(21muuu设级数1nnu的部分和为 Sn,去掉级数的前面 m 项后得到的级数1mkku的部分和为:kSmkmkkkSSSlimlim由于 Sm 当 m 固定时为一常数,所以故 级数1nnu与级数1mkku。有相同的敛散性级数依然收敛,且其和不变.对收敛的级数加括号后所得到的新 在级数运算中,不能随意加上或去掉括 号,由于这样做能够改动级数的敛散性.4.性质性质 4问 题 收敛的级数去掉括号后所成的级数仍收敛吗？不一定)11()11(看看问 题 发散的级数加括号后所成的级数能否仍发散？不一定1111 看看问 题 假设加括号后的级数仍发散,原级数能否也发散？原级数也发散加括号可引起收敛,去括号可引起发散.
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