傅里叶变换(周期和非周期信号)

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1、傅里叶（Fourier）变换 周期信号的傅里叶变换傅里叶级数 非周期信号的傅里叶变换 傅里叶变换性质1、三角函数式傅里叶级数三角函数式傅里叶级数周期信号的傅里叶变换傅里叶级数2、指数形式的傅里叶级数、指数形式的傅里叶级数)sincos()(0010tbtaatfnnn或或)cos()(010nnntncctfdttfTaTT22-0)(1dttntfTaTTn220 cos)(2dttntfTbTTn220 sin)(200ac 22nnnbac1、三角函数式傅里叶级数三角函数式傅里叶级数(1)在任意周期内存在有限个第一类间断点；(2)在任意周期内存在有限个的极值点；(3)在任意周期上是绝对可

2、积的，即若周期函数)(tf满足狄里赫利（Dirichlet）条件:dttfTtt)(00周期信号的傅里叶变换傅里叶级数可以展开为三角形式的傅里叶级数，为)sincos(2sinsin2coscos)(0010020102010tnbtnaatbtbtataatfnnn式中,dttfTaTT22-0)(1dttntfTaTTn220 cos)(2式中，0=2/TdttntfTbTTn220 sin)(2 利用三角函数的边角关系，还可以将一般三角形式化为标准的三角形式)cos()sinsincos(cossincos)sincos()(010001002202222100010nnnnnnnnnn

3、nnnnnnnnntncctntncatbabtbaabaatbtaatf)cos()(010nnntncctfdttfTacTT22-00)(1nnnnnnabbacarctan,22 式中，1、三角函数式傅里叶级数三角函数式傅里叶级数周期信号的傅里叶变换傅里叶级数)sincos()(0010tbtaatfnnn或)cos()(010nnntncctf 任何满足狄里赫利条件的周期为T的函数f(t),可以展开成如下两种形式的三角级数：正、余弦级数形式谐波形式0是基谐波角频率,简称基波频率。例1 已知周期信号f(t)如下，画出其频谱图。tttttf00003sin21sin2)452cos(co

4、s21)(解：将f(t)整理为标准形式)23cos(21)42cos()4cos(21)23cos(21)452cos()4cos(21)(000000tttttttf振幅谱与相位谱如下图所示。例1的频谱图0211cn000n000442(a)(b)210振幅频谱图相位频谱图)23cos(21)42cos()4cos(21)(000ttttf2、指数形式的傅里叶级数、指数形式的傅里叶级数周期信号的傅里叶变换傅里叶级数tjnneFtf0n)(式中，n-)(1220TTtjnndtetfTF 证明傅里叶复系数傅里叶复系数2、指数形式的傅里叶级数、指数形式的傅里叶级数周期信号的傅里叶变换傅里叶级数t

5、jnneFtf0n)(式中，n-)(1220TTtjnndtetfTF 证明Next傅里叶复系数傅里叶复系数 Fn还可以表示成模和幅角的形式njnneFF nnnnnnnabFbaarctan2122式中，njneF）（nnjbaF-21n)sincos()(0010tbtaatfnnn或或)cos()(010nnntncctftjnneFtf0n)(dttfTcaFTT22-000)(1)(1220TTtjnndtetfTFnnjnnnjnnecjbaeFF2121nnnncFba212122三角形式与指数形式系数之间的关系三角形式与指数形式系数之间的关系0000 00 021c22c23c

6、nFn244244 0 00000(a)(b)012141幅度频谱相位频谱例1的指数形式频谱图如下图所示。0211cn000n000442(a)(b)210振幅频谱相位频谱三角函数形式的频谱图双边频谱（双边频谱（Double Side Band)单边频谱（单边频谱（Single Side Band)Next傅里叶级数指数形式 推导00sincos0njnejn利用欧拉公式)(21sin)(21cos000000 jnjnjnjneejneen 可以将正、余弦形式的傅里叶级数进一步写成)sincos()(0010tbtaatfnnn 1tt0)22(0000ntjnjnntjnjnnjeebee

7、aa 1t0)22-(00ntjnnnjnnnejbaejbaa 1n*1n000ntjnntjneFeFF是一对共轭复数与是实数，n*n00 FFaF）（），（nnnnjbaFjbaF21 -21n*ntjnneFtf0n)(由三角形式的傅里叶系数定义式dttntfTaTTn220 cos)(2dttntfTbTTn220 sin)(2可知：an是 的偶函数，bn是 的奇函数0n0n当当n换为换为-n时时，有a-n=an,b-n=-bn，从而）（）（nnnnjbajba21-21-）（），（nnnnjbaFjbaF21 -21n*n即 n-n*FFn=1,2,3,1n*1n000)(ntjn

8、ntjneFeFFtf n-n*FFn=1,2,3,1n-0ntjneF=1n0ntjneF 0n00 ntjneFF 1n0n00)(ntjnntjneFeFtf tjnneFtf0n)(22n0)(1-21TTtjnnndtetfTjbaF）（例：周期矩形脉冲 三角函数形式的傅里叶级数三角函数形式的傅里叶级数2.2.指数形式的傅里叶级数指数形式的傅里叶级数3.3.频谱特点频谱特点1T1T2 2)(tftAO脉宽为脉宽为 脉冲高度为脉冲高度为 周期为周期为 A1T1.1.三角函数形式的傅里叶级数三角函数形式的傅里叶级数 周期矩形脉冲)sinncos()(1110tnbtaatfnnn dtt

9、fTaTT 22-1011 1)(dtAT 22-1 1 1TA dttntfTaTTn 221111 2 cos)(dttnAT 2211 2 cos22111sinn2 tnTA2n21 nAsin dttntfTbTTn221111 sin)(20 22211 dttnAT sin)2(a11nSA)2(a211 nSTA 1.1.三角函数形式的傅里叶级数三角函数形式的傅里叶级数 周期矩形脉冲)sinncos()(0010tnbtaatfnnntnnnATA111n122 cossin .3cos23sin322cossincos2sin21111111tAtAtATA2.2.指数形式的

10、傅里叶级数指数形式的傅里叶级数 周期矩形脉冲tjnneFtf1)(n 221111)(1TTtjnndtetfTF 22111 dtAeTtjn221111 tjnejnTA jeeTnAnjnj2-2221111 )2(sin1 nnA)2(Sa11 nTA tjnnenTAtf1)2()(11 Sa Fn1 n3.3.频谱及其特点频谱及其特点 周期矩形脉冲)2(11 nTAFnSa 4 1 T图图中中1 12 TAF 0 2 4 6 6 4 2(1)(1)包络线形状：包络线形状：Sa(x)Sa(x)曲线，频谱只取曲线上离散的点；曲线，频谱只取曲线上离散的点；(2)(2)频谱包络线过零点的横

11、坐标是：频谱包络线过零点的横坐标是：1,2,3.)(k 21 kn每条谱线只出现在每条谱线只出现在 处处1 n3.3.频谱及其特点频谱及其特点 周期矩形脉冲)2(11 nTAFnSa(1)(1)包络线形状：包络线形状：Sa(x)Sa(x)曲线，频谱只取曲线上离散的点；曲线，频谱只取曲线上离散的点；(2)(2)频谱包络线过零点的横坐标是：频谱包络线过零点的横坐标是：1,2,3.)(k 21 kn每条谱线只出现在每条谱线只出现在 处处1 n(3)(3)各谐波分量的振幅各谐波分量的振幅(绝对值）随着绝对值）随着n n的增大而逐渐减小：的增大而逐渐减小：Fn1 n 4 1 T图图中中1 12 TAF

12、0 2 4 6 6 4 2 3.3.频谱及其特点频谱及其特点 周期矩形脉冲Fn1 n 4 1 T图图中中1 12 TAF 0 2 4 6 6 4 2 周期信号频谱的特点：周期信号频谱的特点：离散性、谐波性、收敛性离散性、谐波性、收敛性有效频带有效频带 有效频带：有效频带：Fn1 n 4 1 T图图中中1 12 TAF 0 2 4 6 6 4 2 在实际工作中常将自某一频率以上的高次谐波忽略不计，而只考虑某一低频范围内谐波的作用，这一低频范围，即称为有效频带。有效频带的带宽有效频带的带宽 规定为由坐标原点至频谱包络第一个零规定为由坐标原点至频谱包络第一个零 点之间的频带。点之间的频带。f1f 2

13、 或以下图为例fBB 有效频带：有效频带：Fn1 n 4 1 T图图中中1 12 TAF 0 2 4 6 6 4 2 1f 2 或以下图为例信号的持续时间愈长，其有效频带愈窄；信号的持续时间愈长，其有效频带愈窄；信号脉冲愈窄，其有效频带愈宽。信号脉冲愈窄，其有效频带愈宽。信号的周期、持续时间与频谱的关系信号的周期、持续时间与频谱的关系1.不变，T增大，则频谱的幅度将减小，同时谱线变密。但包络过零点坐标并不改变。TAF 0T不变，减小，则频谱的幅度也将减小，谱线密度 保持不变，但包络过零点的间隔将增大。Back非周期信号的傅立里叶变换dte)t(f)(F :)(F)t(ftj两个重要公式：de)

14、(F21)t(f)(FF :)t(f)(Ftj1-傅里叶变换关系对常简记为：)(F)t(f例：求矩形脉冲f(t)的频谱。2|t|02|t|A)t(AG)t(f2 2)(tftAOdte)t(f)(F tj22tjdteA 2j2jeej-A 2sinA2)2(SaA)2(SaA)F(2 2)(tftAO非周期信号频谱的特点：非周期信号频谱的特点：是连续频谱是连续频谱;脉宽与频宽成反比。)F(2 4 2 A Back周期冲激序列频谱例例 求周期冲激序列信号的指数形式傅立叶级数求周期冲激序列信号的指数形式傅立叶级数表示式表示式nTnTtt)()(n=0,1,2,.0 0 T T 2T2T-T-T-

15、2T-2T3T3Tt t-3T-3TT(t)周期冲激序列频谱2122121()1()1TTTTjntnjntFf t edtTt edtTT系数：系数：周期冲激序列频谱1111()1()1jntnnjntjntTnnnjntnf tF etF eeTeT则：12T1.线性性质线性性质傅里叶变换的几个重要性质傅里叶变换的几个重要性质)(Fa)(Fa)t(fa)t(fa )(F)t(f ),(F)t(f 2211212211则若式中，a1、a2为任意常数。例：求符号函数sgn(t)的频谱函数F(W)。)tsgn(t11-1)t(U2)t(sgn 21 j1)t(U j22j12)t(sgn2尺度压、扩性质)a(Fa1)t a(f )(F)t(f 则若式中，a为正实常数。2|t|02|t|A)t(AG)t(f例：)2(SaA)F()t2(f)4(SaA21 3时延特性0tj0e)(F)t-t(f )(F)t(f 则若4频移特性)(Fe)t(f )(F)t(f 0tj0则若Sa(x)xSa(x)函数介绍函数介绍Sa(x)抽样抽样函数函数,记作：记作：xxSsin)x(a 严格讲函数在x=0处是无定义的，但因为 所以定义Sa(0)=1，则函数在整个实轴连续。，则函数在整个实轴连续。1sinlim xx0 x