线性方程组克莱姆法则ppt课件

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1、第二章线性方程组第二章线性方程组线性方程组的一般形式为线性方程组的一般形式为本章讨论本章讨论1)1)解的存在性解的存在性 2)2)3)3)4)4)何时无解？何时无解？)(怎样求解？怎样求解？)(解与解之间的关系解与解之间的关系 )11121121222212121212mmnnnnnnmmaaabaaabxxxxxxxxxaaab (有多少个解？有多少个解？)(何时有解？何时有解？方程组的求解问题方程组的求解问题:1学习交流PPT如果存在如果存在 个数个数n当当方程组的方程组的 个等式个等式m则称则称nnxxccxc 1212,.,为该方程组的一个解为该方程组的一个解方程组的全体解构成的集合，

2、方程组的全体解构成的集合，称为方程组的解集称为方程组的解集.都成立都成立,11,xc 22,xc.,nnxc对于方程组对于方程组基本概念：基本概念：11121121222212121212mmnnnnnnmmaaabaaabxxxxxxxxxaaab 1c2cnc1c2cnc1c2cnc 使得使得时，时，12,.,nc cc2学习交流PPT设有两个设有两个 n()()的每个解的每个解如果方程组如果方程组()()都是方程组都是方程组()()的解的解;同时同时都是方程组都是方程组()()的解的解,则称这两个方程组则称这两个方程组的每个解的每个解,同解同解.方程组方程组()()11121121222

3、212121212kknnnnnnkkcccdcccdxxxxxxxxxcccd元线性方程组元线性方程组11121121222212121212mmnnnnnnmmaaabaaabxxxxxxxxxaaab()()与与3学习交流PPT.线性方程组线性方程组首先讨论：首先讨论：未知量的个数未知量的个数方程的个数方程的个数的方程组的方程组.4学习交流PPT方程组有唯一解：方程组有唯一解：aa1122aa1122a11当当 x 1x 2即当即当0 0 时时22111()axa22112()axa 0时，时，1221a a 12xx1122a a 21122211a aa a 21122211a aa

4、 a11112222aaaa 11122122121122xxbxxbaaaa 11122122121122xxbxxbaaaa212b a122b a121b a211b a122b a212b a121b a 211b a211222bbaa111122aabb11122122aaaa11122122aaaa12a 21a 22a5学习交流PPT一、克莱姆一、克莱姆(Cramer)(Cramer)法则法则二元线性方程组二元线性方程组11122121122221xxxabaaabx 当当0 0 时时,方程组有唯一解：方程组有唯一解：1x 1222aadet A det A 1detB2x 2

5、detB1121aa这一结果可以推广到一般的这一结果可以推广到一般的含有含有n n个未知量个未知量n n个方程个方程的的线性方程组线性方程组.det A 12bb12bb1112aa2122aa11122122aaaa11122122aaaa6学习交流PPT三元线性方程组三元线性方程组1231111213aaaxbxx 当当时时,方程组有唯一解：方程组有唯一解：det A 111213aaa212223aaa1213333233abaxaxx 313233aaa1x 2x 123bbb111213212223313233aaaaaaaaa121322233233aaaaaa0 11121321

6、2223313233aaaaaaaaa3x 111213212223313233aaaaaaaaa111321233133aaaaaa123bbb111221223132aaaaaa123bbb1212232223abaxaxx 7学习交流PPT四元线性方程组四元线性方程组1234111213141aaaaxxxbx 当当时时,方程组有唯一解：方程组有唯一解：det A 11121314aaaa21222324aaaa2122112232344xxxxbaaaa 3132312333344xxxxbaaaa 31323334aaaa0 4142412434344xxxxbaaaa 414243

7、44aaaa8学习交流PPT1x 2x 1234bbbb11121314212223243132333441424344aaaaaaaaaaaaaaaa3x 1234111213141aaaaxxxbx 2122112232344xxxxbaaaa 3132312333344xxxxbaaaa 4142412434344xxxxbaaaa 121314222324323334424344aaaaaaaaaaaa11121314212223243132333441424344aaaaaaaaaaaaaaaa1234bbbb111214212224313234414244aaaaaaaaaaaa1

8、234bbbb111314212324313334414344aaaaaaaaaaaa4x 111213212223313233414243aaaaaaaaaaaa1234bbbb9学习交流PPT其中其中 定理定理2.1(2.1(克莱姆法则克莱姆法则)12121211121212221212.nnnnnnnnnnaaaaaaxxxxxxxxaxaabbb 当其系数行列式当其系数行列式对应对应后得到的行列式后得到的行列式.有且仅有唯一解有且仅有唯一解11detdetBxA22detdetBxAdetdetnnBxA是将系数行列式是将系数行列式detAdetA12,.,nb bb线性方程组线性方程

9、组2 1(.)00时时,11121.naaa21222.naaadet A 12.nnnnaaa1detB1 2(,.,)jn.地换地换为为方程组的常数项方程组的常数项中第中第 1 1 列元素列元素22jj10学习交流PPTnnnaaaaBaa1112212212.det.有且仅有唯一解：有且仅有唯一解：12121211121212221212.nnnnnnnnnnaaaaaaxxxbbbxxxxxxaaa 当当 时时,det0A 11detdetBxA22detdetBxAdetdetnnBxA.nbbb12nbbb12.nbbb12两个条件两个条件:三个结论三个结论:11121.naaa2

10、1222.naaadet A 12.nnnnaaa1detB 1212222.nnnnnaaaaaa2detB 111312123213.nnnnnnaaaaaaaaa11学习交流PPT证证 将方程组将方程组表为矩阵形式表为矩阵形式即即12121211121212221212.nnnnnnnnnnaaaaaaxxxbbbxxxxxxaaa (2.1)AXB b nb12nxxx11121.naaa21222.naaa12.nnnnaaa1bA X B A A是是n n阶方阵阶方阵.12学习交流PPT由于由于故可逆，故可逆，得得由由因此因此,且解必为且解必为从而从而解存在唯一解存在唯一.1212

11、1211121212221212.nnnnnnnnnnaaaaaaxxxbbbxxxxxxaaa (2.1)AXB A detAXB A 1A 1XA B 1111212122212.nnnnnnaaaaaaaaa12nxxx nbbb 1A存在存在X A B 1有解有解,A 方程组方程组(2.1)(2.1)XA B 1是方程组是方程组(2.1)(2.1)的唯一解的唯一解.13学习交流PPT.nnnnnnnnnnaaaaaaxxxxxxxaaabbbxx nxxx nbbb 11121.naaa21222.naaa12.nnnnaaa当当 时时,det0A 方程组方程组(2.1)(2.1)有唯

12、一解有唯一解X 即即12nxxx nAAA11211nAAA22221.nnnnAAA21nbbb 1det A1211211.nnAbbAAb 1212222.nnAbbAAb 1212.nn nnnAbbAAb 1detA证毕证毕B1detB2detnBdet即即1x 2x nx.1A B BA1detdetBA2detdetnBAdetdet1A14学习交流PPTnnnnnaaaaaa1212222.nbbb12nnnnnnaaaaaaaaa111312123213.nbbb12nnaaaaaa1112212212.nbbb12221b A .1nnb A1detB111b A 2det

13、B121b A222b A.2nnb AdetnB11nb A22nb A.nnnb A111212122212.nnnnnnaaaaaaaaa15学习交流PPT1231231231234429xxxxxxxxx 例例方程组有唯一解方程组有唯一解.123 111149124213132()()()223232()()()1112349D 20(21)(31)(32)D 21113192 124(21)(21)(22)3111214D 12 124方程组的唯一解为：方程组的唯一解为：1x 303x 302x 30202 12D 解解30 0 16学习交流PPT常数项均为零的常数项均为零的方程方程

14、(.)所对应的所对应的111212122212121212.nnnnnnnnnaaxxxxxxxxaaaaxaaa当然是方程当然是方程(.)的解的解称为齐次线性方程组称为齐次线性方程组(.)的的齐次线性方程组除零解外齐次线性方程组除零解外,齐次线性方程组齐次线性方程组.nnnnnnnnnnaaaaaaxxxxxxxaaabbbxx 10,x 是否还有其它解是否还有其它解?02 1(.)20,x.,0nx 000000002 4(.)的齐次线性方程组为的齐次线性方程组为:线性方程组线性方程组 称为称为000零解零解.17学习交流PPT1231231232030220 xxxxxxxxx例例 齐次

15、线性方程组齐次线性方程组是其零解是其零解.除零解外除零解外,也是其解也是其解,例例 齐次线性方程组齐次线性方程组xxxx 其解必满足其解必满足此方程组此方程组称为非零解称为非零解12300,0,xxx120 x 10,x 20 x 只有零解只有零解.0000000001,5x 24,x 33x 18学习交流PPT定理定理.121211121212221 122.000.nnnnnnnnnxxxxxxaaaaaaaaaxxx的系数行列式的系数行列式111212122212.nnnnnnaaaaaaaaa则它仅有零解则它仅有零解.如果如果含有含有 个方程的个方程的n元元齐次线性齐次线性n2 4(.

16、)det A 0 方程组方程组19学习交流PPT证证即方程组只有零解即方程组只有零解.由克莱姆法则由克莱姆法则,方程组有唯一解方程组有唯一解121211121212221 122.000.nnnnnnnnnxxxxxxaaaaaaaaaxxx时时,det0A 是方程组是方程组(.)的解，的解，10,x 20,x.,0nx 2 4(.)且方程组只有一个解，且方程组只有一个解，故故10,x 20,x.,0nx 是方程组是方程组(.)的唯一解，的唯一解，00000000020学习交流PPT11 1122121 122221 122.000nnnnnnnnna xa xaxaxaxaxaxaxax11

17、121.naaa21222.naaadet A 12.nnnnaaa 方程组只有零解方程组只有零解方程组有非零解方程组有非零解Adet021学习交流PPT例例 设齐次线性方程组设齐次线性方程组2123123123(1)20(21)20(21)0 xkxxxkxxkxkxkx有非零解，有非零解，求的值求的值k解解det A 2112k 1212k 21kkk 2112k 2020kk 03k 122kk (2)kk 0 0k 或或2k 方程组有非零解方程组有非零解Adet0(2)kk 22学习交流PPT作业作业第二版第二版:P111 :P111 题题1 1（2 2）2 2（1 1）第三版第三版:P84 :P84 题题1 1（2 2）2 2（1 1）23学习交流PPT