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1、2.3.1 直线的直线的参数方程参数方程选修选修4-4请同学们回忆请同学们回忆:我们学过的直线的普通方程都有哪些我们学过的直线的普通方程都有哪些?两点式两点式:112121yyxxyyxx 点斜式点斜式:00()yyk xx ykxb1xyab一般式一般式:0()AxByCA B ，不不同同时时为为零零2121yyxx tan 000()Mxy 已已知知一一条条直直线线过过点点，倾倾斜斜角角，求求这这条条直直线线的的方方程程.00tan()yyxx 解解：直直线线的的普普通通方方程程为为00sin()cosyyxx 把把它它变变成成00sincosyyxx 进进一一步步整整理理，得得：00.s
2、incosyyxxtt 令令该该比比例例式式的的比比值值为为，即即00cos()sinxxttyyt 整整理理，得得到到是是参参数数M0(x0，y0)M(x,y)e(cossin)，00000()()()M Mx yxyxxyy ，解：在直线上任取一点解：在直线上任取一点M(x，y)，则，则(cossin)ele 设设 是是直直线线 的的单单位位方方向向向向量量，则则，00/M MetRM Mte 因因为为，所所以以存存在在实实数数，使使，即即00()(cossin)xxyyt ，00cossinxxtyyt 所所以以，00cossinxxtyyt 即即，00cossinxxttyyt 所所以
3、以，该该直直线线的的参参数数方方程程(为为为为参参数数)xOy0M Mtelt 由由，你你能能得得到到直直线线 的的参参数数方方程程中中参参数数的的几几何何意意义义吗吗？|t|=|M0M|M0Me00|M MteM Mte 解解：，|1ee 又又因因为为 是是单单位位向向量量，0|.M Mtet 所以，直线参数方程中参数所以，直线参数方程中参数t的绝对值等于直线上动点的绝对值等于直线上动点M到定点到定点M0的距离的距离.这就是这就是 t 的几何的几何意义，要牢记意义，要牢记xOy我们是否可以根据t的值来确定向量的方向呢?是直线的倾斜角，当0 0又sin 表示e的纵坐标，e的纵坐标都大于0那么e
4、的终点就会都在第一，二象限，e的方向就总会向上。分析:此时,若t0,则 的方向向上;若t0,则 的方向向下;若t=0,则M与点M0重合.0M M 0M M el 我我们们知知道道，是是直直线线 的的单单位位方方向向向向量量，那那么么它它的的方方向向应应该该是是向向上上还还是是向向下下的的？还还是是有有时时向向上上有有时时向向下下呢呢？21.:10(1 2)lxyyxA BABMA B 例例已已知知直直线线与与抛抛物物线线交交于于，两两点点，求求线线段段的的长长度度和和点点，到到，两两点点的的距距离离之之积积.分析分析:3.点点M是否在直线上是否在直线上1.用普通方程去解还用普通方程去解还是用参
5、数方程去解；是用参数方程去解；2.分别如何解分别如何解.ABM(-1，2)xyO解：因为把点解：因为把点M的坐标代入直的坐标代入直线方程后，符合直线方程，所线方程后，符合直线方程，所以点以点M在直线上在直线上.31cos4()32sin4xttyt 为为参参数数34 易易知知直直线线的的倾倾斜斜角角为为，所所以以直直线线的的参参数数方方程程可可以以写写成成：21.:10(1 2)lxyyxA BABMA B 例例已已知知直直线线与与抛抛物物线线交交于于，两两点点，求求线线段段的的长长度度和和点点，到到，两两点点的的距距离离之之积积.M(-1，2)ABxOy212()222xttyt 即即为为参
6、参数数22220.yxtt 把把它它代代入入抛抛物物线线方方程程，得得1221021022tt 解解得得，t由由参参数数 的的几几何何意意义义得得12|10ABtt，121 2|2.MAMBttt t M(-1，2)ABxOy12121212()0.(1)(2)f x yMMttM MM MMt 直直线线与与曲曲线线，交交于于，两两点点，对对应应的的参参数数分分别别为为，曲曲线线的的弦弦的的长长是是多多少少？线线段段的的中中点点对对应应的的参参数数 的的值值是是多多少少？121212(1)|(2).2M Mttttt ；222(2 1)1164yxMlA BMABl 例例经经过过点点，作作直直
7、线线，交交椭椭圆圆于于，两两点点.如如果果点点恰恰好好为为线线段段的的中中点点，求求直直线线 的的方方程程.22121222cos(2 1)1sin()(3sin1)4(cos2sin)80|4(cos2sin).3sin1xtMlytttttMAtMBtMtt 解解：设设过过点点，的的直直线线 的的参参数数方方程程为为为为参参数数 代代入入椭椭圆圆方方程程得得由由 的的几几何何意意义义知知，因因为为点点在在椭椭圆圆内内，这这个个方方程程必必有有两两个个实实根根，所所以以1202cos2sin01tan211(2)240.2ttMABlklyxxy 因因为为点点为为线线段段的的中中点点，所所以
8、以，即即，于于是是直直线线 的的斜斜率率为为，因因此此直直线线 的的方方程程为为，即即1.直线参数方程直线参数方程3.注意向量工具的使用注意向量工具的使用.00cos()sinxxttyyt 是是参参数数2.利用直线参数方程中参数利用直线参数方程中参数 t 的几何意义，的几何意义，简化求直线上两点间的距离简化求直线上两点间的距离.第二课时第二课时例3.当前台风中心P在某海滨城市O向东300Km处生成,并以40km/h的速度向西偏北45度方向移动.已知距台风中心250km以内的地方都属于台风侵袭的范围,那么经过多长时间后该城市开始受到台风侵袭?pMOypMOyxyoMP045)0(135sin4
9、0135cos40300),(250250)0,300(00222tttytxlMyxMtyxOOOOMOkmOPxOPO为参数，的方程为移动形成的直线条件知台风中心，根据的坐标为后，台风中心设经过时间的方程为圆将受到台风侵袭。上时，城市内或以圆在圆移动后的位置，当台风中心为半径作圆为圆心，以的坐标为角坐标系，如图，则点轴，建立直所在直线为为原点，解：取侵袭后该城市开始受到台风所以，大约在的范围约为由计算器计算得，解得时有上内或在圆在圆当点为参数，即htttttOOttMtttytx26.80.2475215475215250)220()220300()220,220300()0(220220
10、300222思考：思考：在例在例3中，海滨城市中，海滨城市O受台风侵袭大概受台风侵袭大概持续多长时间？持续多长时间？如果台风侵袭的半径也发生变化如果台风侵袭的半径也发生变化(比如：比如：当前半径为当前半径为250KM，并以，并以10KM/h的速度不断增大的速度不断增大)，那么问题又该如何，那么问题又该如何解决？解决？4,.AB CDOPBPCPD例，如图，是中心为点 的椭圆的两条相交弦，交点为P,两弦AB,CD与椭圆长轴的夹角分别为 1,2,且 1=2。求证：PACBADpO12CBADpO12有两个根因此方程由于并整理，得到代入将为参数的参数为则直线的坐标为点设则椭圆的方程为轴、短轴的长分别
11、为角坐标系，设椭圆的长证明：如图建立平面直)3(,0sincos)3.(.0)()sincos(2)sincos()1()2()2).(sincos),(,1),1.(.1,2,222222220220202022222200002222babayaxbtyaxbtabttyytxxAByxPbyaxbaPDPCPBPAabbayaxbabbayaxbPDPCCDabbayaxbttPBPAtt得到、由，即得到换为，将同理，对于直线，容易得到设这两个根分别为)5()4()5.(.sincos)(sin)(cos)4.(sincos,2222222022022222222022022222222022022121探究：探究：如果把椭圆改为双曲线，是如果把椭圆改为双曲线，是否会有类似的结论？否会有类似的结论？）到此直线的距离（）求点（程）写出该直线的参数方（）共线且与向量（直线过点1,2214,2),3,1(PA练习1：的方程。求直线两点，若于为参数交椭圆作直线过点lPBPABAyxlP,7164,)(sincos2)3,3(练习2：。的切线方程及切点坐标）求过点（中点坐标；两点，求、交于）直线与圆（的直线且倾斜角的余弦是已知经过ABCCByxA225153)3,5(22练习3：28
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