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1、2021/3/91第二章 向量范数与矩阵范数2.4 矩阵的条件数2021/3/92 考虑线性方程组 它有准确解为:如果方程组的系数矩阵以及右端项发生微小的变化，得 它有准确解:，可以看出，方程组的解变化非常大。1226826.000018.00001xx(1,1)Tx 1226825.999998.00002xx(10,2)Tx 2021/3/93定义定义1：设设 ，|.|是是Cnxn上的一个矩上的一个矩阵范数阵范数.矩阵矩阵A的的条件数条件数定义为定义为n nnAC1cond()AA A2021/3/94常用的条件数有：常用的条件数有：1cond()AAA1111cond()AAA11222
2、1cond()()nHHnAAAA AA A是的最大特征值，是的最小特征值2021/3/95常用的条件数有：常用的条件数有：112221cond()(max,min,)niniiAAAA=是 的特征值2021/3/96例例1：cond()A123233345A2021/3/97cond()1A 1cond()=cond()AAcond()=cond(),0,.kAA kkC2222cond()=1cond()=cond()=cond()UUAAUAcond()cond()cond()ABAB2021/3/98111211112311111121n nnHnijnnn4247261028cond
3、(H)=1.5514 10cond(H)=1.4951 10cond(H)=1.525 102021/3/992021/3/910注：当矩阵当矩阵A十分病态时，就说明十分病态时，就说明A已十分接已十分接 近一个奇异矩阵。近一个奇异矩阵。2626.00001Adet()0.00002A 1300000.5300000100000100000A16cond()8.00001 600000.54.8 10AAA2021/3/911定理定理1 设设 是一个可逆矩阵，是一个可逆矩阵，是一个矩阵，是一个矩阵，|.|是是Cnxn上的一个矩阵范数上的一个矩阵范数.若若 则则 可逆，且有可逆，且有11111()
4、1AAAAAAAA11AAn nnACn nACAA2021/3/912推论推论1 设设 ，若存在若存在Cnxn上的一个矩阵范数上的一个矩阵范数|.|使得使得 则有则有111()cond()1 cond()()AAAAAAAAAA11AAn nnACn nAC2021/3/913定理定理2 设设 ，而而Cn上的向量范数上的向量范数 与与Cnxn上的矩阵范上的矩阵范数数|.|相容相容.设设x是线性方程组是线性方程组Ax=b的解，的解，是是线性方程组线性方程组 的解的解若若 ，则，则 xn nnACn nACnbC()AA xbb11AA2021/3/914cond()1 cond()()cond
5、()1 cond()()xxAAAxAAAbAAbAA2021/3/915定理定理3 设设 ，而而Cn上的向量范数上的向量范数 与与Cnxn上的矩阵范上的矩阵范数数|.|相容相容.若向量若向量 分别满足分别满足Ax=b，则有，则有,nx xCn nnAC,nb rCAxbr1cond()cond()rxxrAAbxb2021/3/916011,01 1A1cond()()AO2021/3/9173 33100,001iAiiACbCi()AA xb x42210 xxx22AA2021/3/9182138244410Acond()A2021/3/91931222254,245Ab bC142210bbb122xxx2021/3/920放映结束 感谢各位的批评指导！谢谢 谢！谢！让我们共同进步
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