因式分解的12种方法精讲

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1、心八刀用千巾巾12ZI T 7J 口久保厂口【因式分解的12种方法】把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解。因式分解的方法多种多样，现总结如下：L提公因法如果一个多项式的各项都含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化 成两个因式乘积的形式。例1.分解因式X3 -2x 2-Xx, x=x(x _2x_ 1)2 .应用公式法由于分解因式与整式乘法有着互逆的关系，如果把乘法公式反过来，那么就可以用来把某些多项式分解因式。例2.分解因式a2 +4沥+4力2解：a2 +4ab+4b2 =(a+2b)3 .分组分解法要把多项式am+cm+bm十bn分解因式，可

2、以先把它前两项分成一组，并提出公因 式。，把 它后两项分成一组，并提出公因式们从而得到ct(m+n)+b(m+n),又可 以提出公因式m+n, 从而得到(a+b)(m+n)例3.分解因式m2 +5n-mn-5m解: m2 +5n mn 5m= m 2-5m-mn+5n =(m -5m ) + (-mn+5n)4 .十字相乘法对于mx2 px-q形式的多项式，如果ab=m, cd=q ac+bd=p，则多项式可因式分解为(ctx+d)(bx+c)例4.分解因式7x2 -19x-6分析：1 x7=7,2x(-3)=-6 lx2+7x(.3)= 19解：7x2-19x-6=f7x+2； (x-3；5

3、.配方法对于那些不能利用公式法的多项式，有的可以利用将其配成一个完全平方式，然 后再利用 平方差公式，就能将其因式分解。=(x+10)(x-4)6 .拆、添项法可以把多项式拆成若干部分，再用进行因式分解。例 6.分解因式 bc(bc)+ca(c-a)-ab(a+b)角学：bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a -b)=bc(c-a+a+b)+ca(c-a)-ab(a+b) =bc(c-a)+ca(c-a)- bc(a+b)-ab(a+b)=c(c-a)(b+a)+b(a+b)(c-a)= (c+b)(c-a)(a+b)7 .换元法有时在分解因式时，可以选择多项式中的相同的部分换成另一个未知数

4、，然后进 行因式分 解，最后再转换回来。例7.分解因式2x4 工3 -6x2小+2(也叫相反式，在这里以二次项系数为中心对称项 的系数 是相等的，如四次项与常数项对称，系数相等，解法也是把对称项结合在一起)简单初中 生解 ：2x 4-X3 -6x2 -x+2=2(X4 +l)-x(x2 +l)-6x2 =/ 2x2 + (|)2-(x+ j)-6X2 2x2 +( )2-(x+-)-6) X X=* -2)-y-6=x2 (2y2 -y-10)=x 2(y+2)(2j5)C 11=、2 (x+ +2)(2x+_ -5) Xx=(x2 +2x+l) (2x2 -5x+2)=(x+l)2 (2x-

5、l)(x-2)8 .求根法令多项式f(X)=0,求出其根为Xi, X2 , X3 , Xn,则多项式可因式分解为f(x) = (x-xi )(X-X2)(X-X3). (x-Xn )(-般情况下是试根法，并且一般试 3 , -2, -1, 0, 1, 2, 3这些数是不是方程的根)通过综合除法可知，彻=0根为，3 -2, 1 , I则 2x +7x 2x T3x+6=(2x.l)(x+3)(x+2)(x.l)9 .图象法(这种方法在以后学函数的时候会用到。现在只是作为了解内容，它和第 八种方法是类似的)令y=f(x)，做出函数y=f(x)的图象，找到函数图象与x轴的交点xi , x2，Xn，则

6、多项式可因式分解为f(x)=f(x) = (x-x)(X-X2 )(X-X3) . (x-Xn )例9.因式分解x3 +2x2 .5x.6解：令户 a 3+2x2 -5x-6作出其图象，可知与x轴交点为3,1, 2则 x3 +2x 2-5x-6=(x+1 )(x+3)(x-2) 10主元法先选定一个字母为主元，然后把各项按这个字母次数从高到低排列，再进行因式 分解。例10.分解因式疽(b-c)+b (c-a)+。(a-b)分析：此题可选定a为主元，将其按次数从高 到低排列 解：a2 (b-c)b (c-a)+。(a-b)=a (b-c)-a(b c 2)+bc(b-c) =(b c) a a(

7、b+c)+bc 二(b c) (ci b) (ci c)11.利用特殊值法将2或10(或其它数)代入x,求出数P,将数P分解质因数，将质因数适当的组合，并将组合后的每一个因数写成2或10的和与差的形式，将2或10还原成x,即得因式 分解式。例11.分解因式X 3+帚+23、+15解：令 x=2，则 x3 +9x2+23x+15=8+36+46+15=105将105分解成3个质因数的积，即105=3x5x7注意到多项式中最高项的系数为1,而3、5、7分别为x+1, x+3, x+5,在x=2时的值 则 X3 +9x2 +23x+15=(x+l)(x+3)(x+5)12 .待定系数法首先判断出分解

8、因式的形式，然后设出相应整式的字母系数，求出字母系数，从而把多项式因式分解。例 12.分解因式 x4 -X3 5 乂 2 -6x-4如果已知道这个多项式没有一次因式，因而只能分解为两个二次因式。=X4 +（tz+c）x3 +（7c+b+d）x2 +（od+bc）x+bd从而 a+c= - 1, ac+b+d=-5, ad+bc= - 6, bd=-4所以解得则 X4 -xs -5x2 -6x-4 =（x 2+x+l）（X2 -2x-4）因式分解初中代数中一种重要的恒等变形，也是中考数学试题中比较常见的题型，对于因式 分解，除了掌握其方法外，还应注意观察题目的本身特点，正确的选择方法，同时，由于

9、种 种原因，因式分解时常常会出现这样或那样的错误，下面举例予以剖析，望有则改之，无则 加勉。【方法解读】一.曲解概念“局部分解例 1 ：分解因式：(x+j)2+(x+y)+ -.4错解：原式=(+*)( x+y+1)+ .4111正解：原式=(x+y)2+ 2x (x+j/)+ ()2 = (x+y+ )2.【解读】尽管结果的第一项是积的形式，但从整体上看还是和的形式。错因在于 曲解了分 解因式的意义，误认为只要结果中有整式的积即可，而忽视了整个结果必须是积的形式这一 本质。【举一反三】I / 7 I 7/L-1/ 七7 八 /U I 7 /A. + 2x + 3 = (x + 1) +2B.

10、 (x + y)(x-y) = *yC. xi -xy + y =(x - j)2D. 2x-2y = 2( x-【答案】D【解析】选项A。x2 + 2x + 3 = (x +1)2 + 2不是因式分解选项Bo (x + y)(x-y) = x -y2不是因式分解cyy选项Do 2x-2y = 2 (x-y)是因式分解故选D o二.提公因式，不翼而飞例 2:分解因式：4a2b-6abT-2ab.错解：原式=2湖(2。-3力).正解：原式=2沥(2。-3力+1).【解读】当各项的公因式恰与某一项相同(或互为相反数)时，提取公因式后，该项的位 置必须由1 (或-1) “留守”，而错解忽视了这一点，

11、致使第三项“1不翼而飞。【举一反三】因式分解：ab1 - 2沥+。=.【答案】a (b- ) 2【解析】ab2 - 2ab+a =a (b2-2b+1) =a (b - ) 2,故本题的答案为 a (b - )2本题考查略因式分解的提公因式法与公式法，解题的关键在于判断公因式并熟练 地运用完全平方式。三.盲目变换，符号出错例3：分解因式：3仙.1) 2.2(1 叩 R错解：原式=3如1)2-：|令1)3=(/?.1)2 3-2Q?- 二 (p-l)2(3 q_2p+2).正解：原式=3g( 1 -)2-2( 1 -/?), =( 1 -/?)2(3g-2 + 2 p).【解读】错因在于把(顷)

12、3化为1) 3时出现了符号错误，误认为(顷)3= 仍.1)3.事实上，当为偶数时，(l-p)n=(p-l)；当为奇数时，(1-/?)=(/?1 )。所以本 题中若选择把01)2化为(1中凡 可避免符号的干扰.【举一反三】因式分解：x(x_2)-3 (2_x)【答案】(x 2)(x + 3)【解析】试题分析：提公因式(x-2 )进行因式分解；解：原式=(、-2) (x + 3)四.忘记初衷，背道而驰.例 4 ：分解因式：(2x+y)2.(x-2*) 2.错解：原式=(2x+y)+( x-2y) (2x+j/)-( x-2y) =(3x-y)( x-3y)=32+S xy-3 y正解：原式=(3x

13、y)( x+3y)【解读】错解的最后一步与因式分解背道而驰，是整式乘法。这种走“回头路”的现,式化为几个整式积的形式”不够明确。【举一反三】分解因式：9(。+力)2 - 4(。- b)2【答案】(5o+b)0+5Z)【解析】利用平方差公式即可分解因式。解：9(。+/?)2 - 4(。- b)2、=3(。+力)+2(。-方)3(。+人)-2(a -Z),二 (5a+b)(a+5b)五.半途而废，前功尽弃例5:分解因式：(x2+4)2-16x2错解:原式二(x2+4)2-(4x ) 2=( x2+4+4x)( x2+4-4x).正解:原式二(%2+4+4x)( x2+4-4x)=( x+2) 2

14、(x-2)2.【解读】错因在于分解因式不彻底。因为结果中的两个因式都是完全平方式，还 可以继 续分解，所以错解由于半途而废，而导致“前功尽弃” O【举一反三】 分解因式：4x2 - 16=【答案】4(x+2)(x - 2)【解析】4x2- 16,II【强化训练】1.下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是()A. (x +j?) = X2 -y2 ；B. 42=2x3x7;C.-x-2 = (x-2)(x + l)；D. 2xA-x-l = x(2x-1)-1.【答案】C【解析】A. 3+*)D=E是乘法运算，故不正确；B. 42=2X3X7是分解因数，故不正确；C. ”-2 = (x-2)(

15、x + l)是因式分解;的右边不是积的形式，不是因式分解，故不正确。2.对于非零的两个实数。，b,规定=沥，那么将人016结果再进行分 解因式，则为()A.1(1 + 2) (1-2)B. 1(1 + 4)(-4)C.(。+ 4)(。-4)D. (。2+4)【答案】B【解析】V a 0b = a -ab /. a6 =a3-6a=a(a-16)=。0+4)(。-4).故选B.3.因式分解：(l)2a(yx)3Z(xA)； (2)x3 x .【答案】(l)(y 工)(2。+3b)(2)x(x+l)(x D【解析】试题分析：(1)将原式第二项括号里面变形为*一扒 再将Vx提取出来艮口可；(2)先提

16、取公因式尤，再用平方差公式因式分解即可。试题解析：(1) 原式二2a(yx)+3b(yx)=(yx)(2tz+3Z)；(2)原式=x(x2 1).4. 分解因式：x5 -2x3- 8x .【答案】X(X + 2)(X-2)(X2+2)【解析】本题考查了综合运用提公因式法和公式法进行因式分解。先提公因式X,然后连续运用两次平方差公式求解，分解因式时必须分解到每个因式不能再分解为止。原式二 x(x4 -2x2 - 8)=X(X24%2 +2)=x(x + 2，工-2 乂工 2 +2)5. 下列各式从左到右的变形中，是因式分解的为()A. b) = ax bxB. 1 + = (x l)(x + l

17、) +C. 1 = (x + l)(x 1)D. ax + bx + c = x(a + b + c【答案】C【解析】A是多项式乘法，不是因式分解，错误；B. 不是化为几个整式的积的形式，错误；C. 是公式法，正确；故选：C.6 .代数式2*218因式分解，结果正确的是()A. 2 (X2-9)B. 2(x 3)2C. 2(x+3)(x-3) D. 2(x+9)(x-9)【答案】C【解析】2x2-18 = 2 (x2-9)= 2 (x + 3)(x-3),C中的结果是正确结果。故选C.7.因式分解：(D 5x3y20xy3 ；(xl)(x3) 8【海南省定安县2017-2018学年八年级上学期

18、期末考试数学试题】【答案】5jq?(x + 2人)(x-2j2);(x-5)(x + l)【解析】用提公因式法5x3 y -20xy3=5xy(x2 -4*2)= 5“(x + 2*)(x-2*)用十子相乘法(x-l)(x-3)-8=4x 5(x - 5 X、+1)8, 因式分解：(1) 2x2-8(2) man-lOntn + 25mn / (-Z?) + 9 (Z?-q)【答案】(l)2(x+2)(x-2)； (2)mw(m-5)2:(tz+3)(a-3)().【解析】试题分析：(1)原式提取2,再利用平方差公式分解即可；(2) 原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可；(3) 原式变形

19、后提取公因式，再利用平方差公式分解即可。试题解析：(1)原式一2(x2-4)2(jv+2)(x-2);(2)原式二mn(jn.-10m+25)=mA(m-5)2 ；原式=q2(q-/) )-9(o0)=(o-Z?)( +3)(o-3).9. 分解因式：10a 5 a25 ；(2)(x2 + 3x)2 (x I)2.【合案U)5(。一1)2； ) U+4XV kX+V 2.【解析】(1)提取公因式-5后，再用完全平方式进行分解即可1- 5 疽一5_5 (o 2 2q +1)=-5 (2-1)2 (2)原式运用平方差公式进行分解后，再用完全平方式进行分解即可(x2+3X)2 -(x-1)2(乂 2

20、 + 3x + x -+ 3x - x +1)=+ 4x -+ 2x + 1)=(x2 +4x-1)(x + 1)210.把下列各式因式分解(2)(Q+/) + C)2 _(Q_b_C)2 (3) 4 (x + y)2 -20 (x +j) + 25(4) 4a2 -b2 -6a-3b【答案】(1)(q - 3)(q 2)4q(，+c)(2x + 2y-5)2 (4)(2C)(2o+,+3)【解析】试题分析：先把原式化为。(。-3)-2 (。-3),再用“提公因式法”分解即可；(2)先用“平方差公式”分解，再提“公因式”即可；（4冼把原式分组化为（物222） +（ 6。3方），两组分别分解后，

21、再提“公因式”艮口可。试题解析:(1) Q (Q - 3)+ 2 (3 - Q)=ci (ci - 3)- 2 (。- 3)二(。-3 乂。- 2)(2) (。+ b + cf -a-b-c“= I(o+ 力 + c) + (。一人一 c)(+ b +c) - (a-b-c八=a + b + c + a-b-ca + b + c-a + b + c)=2a (2b + 2c)=4a (b + c)(3) 4 (x + y) 2 - 20 (x + y) + 25=2 (x + j) 2 -20 (x + j) +52=2 (x +)-5 2=(2x + 2y-5) 2(4) 4/ -Z) 2 +6 (7-3/j二(4a2 力 2) + (6- 3b) =(2a + b la -b) +3 (2a -b)=(2a 一 b 2az? + 3