轻松地认识导数和偏导数

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1、轻松地认识导数和偏导数轻松地认识导数和偏导数初学微积分，最绕不过去的当然是导数了。我们试着百度了一下导数，得到下面的定义：当自变量的增量趋于零时，因变量的增量与自变量的增量之商的极限。一个函数存在导数时，称这个函数可导或者可微分。也有同学是从物理学角度了解微积分的，说对于一个 s-ts-t 位移方程式，导数就是速度，二阶导数就是加速度。跟上面的定义差不多，都是极限值。有同学总是习惯将微积分与“动态”、“极限”这样的字眼联系在一起，在脑海中烙下“结果极限近似”的误解。其实，很多时候我们只是用极限的方法去理解和证明它，结果不见得都是极限近似。比如微分集合与积分差就是曲线在不同空间维度上的互逆转换，

2、它是完全等价的，导数也一样。先看一个简单函数的求导数过程，以函数 f(x)=x2f(x)=x2 为例：之所以说导数是极限近似的，是不是因为那个略去的无穷小 xx?下面我们做一个不严谨的假定，假定 0 0 是可以被除的，重要的事情说三遍：假定！假定！假定！在曲线 y=x2y=x2 上取任一点对应 x x。我们就停留在这个点上求导数，不论向左还是向右，它在平面坐标轴上的变化都为 0 0，那么：结果是不是一样的？连极限运算都不用了吧。通过以“0 0 可以被除”的假定为前提的求导过程，我们可以这样理解：对于一段连续的函数曲线对于一段连续的函数曲线 f f（x x，y y）=0=0，可以把任一点的空间状

3、态拿出来单独，可以把任一点的空间状态拿出来单独描述，这一描述就是导数描述，这一描述就是导数 f(x)f(x)，如果需要对这个点进行量化，就赋予它一个无，如果需要对这个点进行量化，就赋予它一个无穷小的自变量穷小的自变量 xx，结果就是微分，结果就是微分 f(x)xf(x)x。导数。导数 f(x)f(x)和微分和微分 f(x)xf(x)x 是曲线上是曲线上任一点的一体两面，一个用来描述状态，一个用来量化尺度。任一点的一体两面，一个用来描述状态，一个用来量化尺度。当然，如果 x 不是无穷小，微分 f(x)x 也可以量化曲线的变化尺度，我们后面再讲。对 f f（x x，y y）=0=0，做一下补充说明

4、。把 y=x2y=x2 变换一下形式，得 x2-x2-y=0y=0，就得到 f f（x x，y y）=0=0，可知道它是一条曲线。如果 f f（x x，y y）00，x2-y=zx2-y=z，再变换一下 x2-y-z=0 x2-y-z=0，就得到 f f（x x，y y，z z）=0=0，可知道它是一个曲面。依次类推，f f（x x，y y，z z，ww）=0=0 就是一个曲体，f f（x x，y y，z z，ww，v v）=0=0 就是一个超曲体等等。那么导函数是怎么回事呢？就像你观察一个原子内部，发现里面还藏着一个小宇宙一样，在一个曲线空间的点上，开拓一个新的曲线空间。求高阶导数呢，就是一

5、层层嵌套的曲线空间，直至开拓出一个常数空间，导数才归 0，不能继续向下开拓。偏导数理解起来可能要难一点点，但道理是相同的，无论对曲面、曲体还是超曲体求导都是要压缩掉一个空间维度。以对一个曲面 f f（x x，y y，z z）=0=0 求导为例，压缩掉一个空间维度就是要描述曲面上每一条曲线的空间状态。因为曲面有两个方向的自变量 x x 和 y y，相当于取曲面上横竖垂直交叉的两条曲线，我们先视其中一个方向的自变量为常数，然后对这两条线分别求导。例如曲面函数 z=x2*y2z=x2*y2（它的曲面差不多相当于一个窄口高杯子），对其求偏导数得：我们前面讲了，对曲线求导得到的是点的空间状态。但当 x x 或 y y 作为常数布满整个定义域区间时，这些点就连成一条线了，所以曲面函数的偏导数是对 x x，y y两个方向上曲线的空间状态的描述。于是，曲面函数的全微分的表述就要考虑为两个方向的微分之和：如果再增加一个自变量，对一个曲体 w=x2*y2*z2求导，用图形就没法描述了，但求导方法是一样的：它的全微分：