数学建模作业

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1、上海世博会影响力的定量评估摘要本文主要针对世博会对上海市的发展产生的影响力进行定量评估。在模型一中，首先我们从上海的城市基础设施建设这一侧面定量评估世博会对上海市的发展产生的影响，而层次分析法是对社会经济系统进行系统分析的有力工具。所以我们运用层次分析法，构造成对比矩阵 a，找到最大特征值，运用CI nn1进行一致性检验，这样对成对比矩阵a 进行逐步修正，最终可以确定权向量。再运用模糊数学的综合评价法，通过组合权向量就可以得出召开世博会比没有召开世博会对上海城市基本设施建设的影响要高出 40%。在模型二中，上海世博会的影响力直接体现在GDP 上，我们直接以GDP 这个硬性直接指标来衡量上海世博

2、会对上海的影响。因此我们运用线性回归的模型预测出在有无上海世博会这两者情况下的 GDP 的值，并将运用线性回归得到的数据与上海统计年鉴中的相关数据进行比较运算，算出误差在%左右，这说明我们用线性回归得到的模型能准确地反映出世博会对上海 GDP 的影响。运用公式GDP 的影响力的大小为Q2Q1100%可以计算出世博对上海Q11983417833100%11.2%。17833关键词：层次分析法 模糊数学 线性回归 城市基础建设 GDP1 问题重述2010 年上海世博会是首次在中国举办的世界博览会。从 1851 年伦敦的“万国工业博览会”开始，世博会正日益成为各国人民交流历史文化、展示科技成果、体现

3、合作精神、展望未来发展等的重要舞台。请你们选择感兴趣的某个侧面，建立数学模型，利用互联网数据，定量评估 2010 年上海世博会的影响力。2 问题分析对于模型一，为了定量评估 2010 年上海世博会的影响力，我们首先选取城市基础设施建设的投入这一个侧面，因为通过查找相关数据，我们发现，城市基础设施建设的投入在上海整个 GDP 的增长中占有很大的比重，对GDP 的贡献占主体地位。而层次分析法是对社会经济系统进行系统分析的有力工具。为此，我们通过研究上海统计局的相关数据，使用层次分析法来评估世博会的召开对基础设施建设的投入的影响，目标层为世博会的召开对基础设施建设的投入的影响，准则层依次为电力建设、

4、交通运输、邮电通信、公用事业、市政建设，方案层依次为没有召开世博时的影响、召开世博时的影响。首先我们通过层次分析法算出电力建设、交通运输、邮电通信、公用事业、市政建设的相对权重，然后应用模糊数学中的综合评价法对上海世博会对城市基础设施建设的影响作出综合的评价，应用综合评价法计算出没有召开世博和召开世博两种情况下的权重，从而得出上海世博会的召开对城市基础设施建设的影响。对于模型二，直接以GDP 这个硬性直接指标来衡量上海世博会对上海的影响。先根据上海没有申办世博会的 GDP 总额的相关数据，建立线性回归模型，由此预测不举办世博会情况下 2010 年上海市的 GDP 总额；再由 2002 年至 2

5、009 年的 GDP 值用线性回归预测出举办世博会情况下 2010 年上海市的 GDP 总额，并将两种情况进行对比得出世博会对上海 GDP 的影响。3 模型假设假设非典和奥运等重大事件对世博前的城市基础建设的投入影响很小，可以忽略。假设不同时期国家的经济实力不同，对城市基础建设的投入影响很小，可以忽略。假设我们查到的数据真实可靠。4 符号说明CI为一致性指标；RI为随机一致性指标；CR为一致性比率；为成对比较矩阵的最大特征值；yii 1,2,3,4,5分别为电力建设、交通运输、邮电建设、共用设施、市政建设2010年各项投入金额的理论预测值；Yii 1,2,3,4,5分别为电力建设、交通运输、邮

6、电建设、共用设施、市政建设 2010年各项实际投入金额；tii 1,2,3,4,5分别为电力建设、交通运输、邮电建设、共用设施、市政建设 2009年各项实际投入金额；wii 1,2,3,4,5分别为电力建设、交通运输、邮电建设、共用设施、市政建设2010年理论投入金额的增长率的理论计算值；Wii 1,2,3,4,5分别为电力建设、交通运输、邮电建设、共用设施、市政建设各项2010 年实际投入的增长率计算值；Q1表示无世博情况下 2010 年 GDP 的预测值；Q2表示有世博情况下 2010 年 GDP 的预测值；表示世博对上海 GDP 的影响率；5 模型的建立与求解模型一第一步：我们首先选取城

7、市基础设施建设的投入这一个侧面，运用层次分析法确定世博会的召开对选取城市基础设施建设的投入的影响，目标层为世博会的召开对基础设施建设的投入的影响，准则层依次为电力建设、交通运输、邮电建设、共用设施、市政建设，方案层依次为没有召开世博时的影响、召开世博时的影响。层次结构示意图如图1 所示：世博对市政建设的影响电力建设交通运输邮电通信公用设施市政建设无世博图 1 层次分析结构图有世博第二步：构造成对比较阵。我们结合上海统计年鉴（见附录 1）中的相关数据，我们对原始数据进行处理，得到表 1 的相关数据，如下表所示：2002-2009 城市基础设施投资额电力建年份2002200320042005200

8、6200720082009合计设66交通运输邮电通信公用事业市政建设表 1 2002-2009 城市基础设施投资额结合表 1，运用19 尺度得到电力建设、交通运输、邮电建设、共用设施、市政建设两两之间的比，得到权重的两两对比值如下表 2 所示电力建设交通运输电力建设交通运输邮电建设共用设施市政建设161/21/341/611/71/81/4邮电建设27114共用设施37114市政建设1/441/41/41表 2 权重的两两对比值 16则成对比较矩阵为A 1/21/341/6231/417841/7111/41/8111/41/4441第三步：计算权向量并做一致性检验。我们使用 matlab 计

9、算出矩阵 A 的最大特征值5.2027，并利用和法计算出特征向量，并将特征向量归一化后得到特征向量为0.1073,0.5467,0.0592,0.0543,0.2325，并利用CI nn1计算出一致性指标CI=，并查CI0.050675 0.1,因RI1.12出n 5时的随机一致性指标RI 1.12,计算出一致性比率CR 此 一 致 性 检 验 通 过，这 时 最 大 特 征 值 对 应 的 特 征 向 量0.1073,0.5467,0.0592,0.0543,0.2325即为电力建设、交通运输、邮电建设、共用设施、市政建设这五个因素的权重。第四步：我们考虑从上海统计年鉴（见附录）表中2002

10、 年开始到 2009 年各项基础设施的投资额的数据进行多项式拟合，就能找到最契合投资额与时间的函数表达式，这样就能预测 2010 年的各项投资额数据。为此我们利用表 3 至表 7 预测的曲线分别计算出 2010 年城市基础设施建设中的电力建设、交通运输、邮电通信、公用事业、市政建设这五个方面的投入金额yi。再与 2009年的实际值ti进行比较，运用公式计wiyiti100%（1）算出理论上的增长率。tiy=68.58x+40.48R2=0.968235030025020015010050020062007年份图 2 电力建设投入-时间关系电力建设投入系列1系列2线性(系列2)2009电力建设根

11、据电力建设投入-时间关系趋势线预测曲线的函数表达式y 68.58x40.48，我们可以求出 2010 年电力建设投入的理论值应该是y1=314.8亿元。从而由公式（1）计算出电力投入的理论增长率是w1=24.24%。1200交通运输投入10008006004002000y=-1.7561x3+24.027x2+37.719x+37.877R2=0.9692系列1系列2多项式(系列2)20022003 2004 20052006 2007 20082009年份交通运输图 3 交通运输投入-时间关系根 据 交 通 运 输 投 入-时 间 关 系 趋 势 线 预 测 曲 线 的 函 数 表 达 式y

12、 -1.756x3 24.027x237.719x37.877，我们可以求出 2010 年交通运输投入的理论值应该是y2=1043.338亿元。从而由公式（1）计算出交通运输投入的理论增长率是w2=6.65%。y=10.545x+89.852R =0.964114012010080604020020072008年份2009邮电通信投入系列1系列2线性(系列2)邮电通信建设图 4 邮电通信投入-时间关系同理根据邮电通信投入-时间关系趋势线预测曲线的函数表达式y 1.545x89.85，我们可以求出 2010 年交通运输投入的理论值应该是y3=132.03亿元。从而由公式（1）计算出邮电通信投入的

13、理论增长率是w3=7.64%。200共用设施建设投入15010050020042005y=3.423x2-2.1253x+27.879R2=0.9651系列1系列2多项式(系列2)20062007年份20082009共用设施建设图 5 共用设施建设投入-时间关系同 理 根 据 共 用 设 施 建 设 投 入-时 间 关 系 趋 势 线 预 测 曲 线 的 函 数 表 达 式y 3.423x22.1253x 27.879，我们可以求出 2010 年交通运输投入的理论值应该是y4=180.7289亿元。从而由公式（1）计算出共用设 施建 设投入的理论增 长率 是w4=32.94%。y=161.55

14、x+165.792R =0.92151000800600400200020072008年份2009市政建设系列1系列2线性(系列2)市政建设投入图 6 市政建设投入-时间关系同 理 根 据 市 政 建 设 投 入-时 间 关 系 趋 势 线 预 测 曲 线 的 函 数 表 达 式我们可以求出 2010 年市政建设投入的理论值应该是y5=811.99y 161.55x165.79，亿元。从而由公式（1）计算出市政建设投入的理论增长率是w5=30.29%。2010 年实际城市基础设施建设的投入与 2009 年的实际城市基础设施建设的投入进行对比，运用公式WiYiti100%（2）分别计算出电力建设

15、、交通运输、邮电通信、ti公用事业、市政建设实际增长率。通过查找相关数据，我们知道了 2010 城市基础设施建设中的电力建设、交通运输、邮电通信、公用事业、市政建设各项实际投入的金额，如下表 3 所示2010 年电力建设实际投入（亿元）表 3 各项实际投入的金额交通运输邮电通信共用设施市政建设34905根据上表中给的数据，运用公式（2）我们就可以算出电力建设、交通运输、邮电建设、共用设施、市政建设各项2010 年实际投入相对2009 年实际增长率分别是W1=37.75%,W2 52.34%,W3 63.05%,W4 58.42%W5=41.17%。通过上面的wii 1,2,3,4,5和Wii

16、1,2,3,4,5计算结果，分别表示 2010 年没有世博的预测投入的增长率，和有世博的实际增长率。我们可以由这两组数据建立评价指数表如下表 4 所示。增长率指标比较内%容预测的结果实际的结果电力建设投入交通运输投入邮电通信投入共用设施投入市政建设投入表 4 评价指数表将表 4 中的每一行进行归一化处理，可以得到表5 归一化后的评价指数表，如下表所示数据指标比较内容预测的结果实际的结果电力建设投入交通运输投入邮电通信投入共用设施投入市政建设投入表 5 归一化后的评价指数表0.390.11写成矩阵形式为R 0.110.360.42它的权重向量为B 0.11 0.550.060.050.23组合权

17、向量为C B R0.610.890.890.640.580.110.550.060.050.230.390.110.110.360.420.610.890.890.640.58(0.110.39)(0.550.11)(0.060.11)(0.050.36)(0.230.42),(0.110.61)(0.550.89)(0.060.89)(0.050.64)(0.230.58)(0.23,0.55)进一步我们将它们进行归一化后得到C (0.30,0.70)则结果表明召开世博会比没有召开世博会对上海城市基本设施建设的影响要高出40%。模型二本模型中，先根据上海没有申办世博会的 GDP 总额的相关数

18、据，建立线性回归模型，由此预测不举办世博会情况下 2010 年上海市的 GDP 总额；再由 2002 年至 2009 年的 GDP值用线性回归预测出举办世博会情况下 2010 年上海市的 GDP 总额，并将两种情况进行对比得出世博会对上海 GDP 的影响。第一步：根据上海年鉴数据得到 1978 年至 2009 年上海市 GDP 的相关数据（见附录），并对其进行初步处理得到 1978 年至 2002 年的上海市 GDP 的相关数据，由线性回归得到无世博时年份与 GDP 之间的函数关系，见下图：7 000.00 6 000.00 5 000.00 4 000.00 3 000.00 2 000.0

19、0 1 000.00 0.00y=164.48eR2=0.96810.142x系列1系列2指数(系列2)GDP年份19791981198319851987198919911993199519971999年份1978-2002图 7 无世博预测曲线y 164.48e0.142x计算出无世博情况下1998第二步：由无世博预测曲线的函数关系式：年-2002 年的 GDP 预测值，并与实际数据比较得到下表：年份实际 GDP（亿元）预测 GDP（亿元）表 6 无世博 GDP 实际值与预测值对比19981999200020012002第三步：由表 6 数据运用公式可以计算出无世博 GDP 实际值与预测值的

20、误差范围在%-7%之间，比较小，并且随着时间的推移，无世博GDP 实际值与预测值的误差越来越小。说明我们完全可以运用以上模型来预测无世博的情况下 2010 年的 GDP 的值。第四步：由无世博预测曲线的函数关系式：y 164.48e0.142x计算出无世博情况 2010年的 GDP 的预测值为 17833 亿元。第五步：根据上海年鉴数据得到 2002 到 2009 的上海市 GDP 的相关数据（见附录），由线性回归得到有世博时年份与 GDP 之间的函数关系，见下图 20 000.00 15 000.00 10 000.00 5 000.00 0.00y=5141.9e0.1417xR2=0.9

21、9082002-2009系列1系列2指数(系列2)GDP20022003200420052006200720082009年份图 8 有世博预测曲线第六步：由图8 所示的世博曲线的函数关系式：y 5141.9e0.1417x计算出有世博情况下 2002 年-2009 年的 GDP 预测值，并与实际数据比较得到下表年份实际1057212494140691504620022003200420052006200720082009GDP(亿元)预测GDP（亿元）10443120331386415975表 7 有世博 GDP 实际值与预测值对比第七步：由表7数据运用公式可以计算出有世博 GDP 实际值与预

22、测值的误差范围在%左右，也比较小，并且随着时间的推移，有世博 GDP 实际值与预测值的误差越来越小。说明我们完全可以运用以上模型来预测有世博的情况下 2010 年的 GDP 的值。第八步：由有世博预测曲线的函数关系式y 5141.9e0.1417x：计算出有世博情况 2010年的 GDP 的预测值为 19834 亿元。第九步：运用公式Q2Q1100%可以计算出世博对上海 GDP 的影响力的大小为Q11983417833100%11.2%178336 模型的评价与推广层次分析法在处理复杂的决策问题上有其广泛的实用性和有效性。特别是对社会经济系统进行系统分析。该模型只用到基本的代数、集合，及一点点

23、图论的知识，所以运用层次分析法可以运用简单知识解决较复杂的问题，集系统性、实用性、简洁性于一体。但也有它的局限性，它的比较、判断直到结果都是粗略的，不适于精度要求很高的问题。它的主观性也可能难以为众人所接受。因为从建立层次结构到给出成对比较矩阵，人的主观因素的作用很大。层次分析法的应用遍及经济计划和管理、能源政策和分配、行为科学、军事指挥等各个领域。从处理问题的类型来看主要是决策、评价、分析、预测。评论：优点:层次分析法在处理复杂的决策问题上有很强的说服力，特别是这篇论文进行了系统化的分析，充分利用代数和集合来体现模型的知识，比较实用，而且简洁。缺点：层次虽清晰但是细节处理并不理想，精度上需适当调整，问题调查教粗略，有一定的局限性，很难让大众接受。