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1、导数的应用2（研究函数的极值）【教学目标】1.理解极大值、极小值的概念.2.能够使用判别极大值、极小值的方法来求函数的极值.3.掌握求可导函数的极值的步骤，对极大、极小值概念的理解，能够结合图象实行说明.并且要说明函数的极值是就函数在某一点附近的小区间来说的. 从图象观察得出，判别极大、极小值的方法.判断极值点的关键是这点两侧的导数异号【教学重点】极大、极小值的概念和判别方法，以及求可导函数的极值的步骤.【教学难点】对极大、极小值概念的理解及求可导函数的极值的步骤【教学方法】 引导学生自主学习法教学过程：【知识回顾】1函数极值的定义：设函数在点附近有定义，假如对附近的所有点，都有（或），就说是
2、函数的一个极 值； 和 统称为极值；2求极值的步骤：(1) 求导； (2) 求根； (3)列表； (4) 确定.【基础练习】1. 函数的极大值为 ,极小值为 .5，2. 函数的极大值与极小值之和为_.解：函数的定义域为，令，解得或.列表：+极大值极小值当时，函数有极大值 当时，函数有极小值.答案为03. 若函数在处极值为，则_，_.解：，由题意，解得，或，.4. 函数的定义域为，其导函数内的图象如下图，则函数在区间内极小值点的个数是_.解：函数在处取得极值必须满足两个条件：（1）为的根；（2）导数值在左右异号.所以，有3个极值.【典型例题】例1 已知函数f（x）x3ax2bxc在x与x1时都取
3、得极值（1） 求a、b的值与函数f（x）的单调区间（2） 若对x1，2，不等式f（x）c2恒成立，求c的取值范围.例2. 解：（1）f（x）x3ax2bxc，f（x）3x22axb由f（），f（1）32ab0得a，b2f（x）3x2x2（3x2）（x1），函数f（x）的单调区间如下表：x（，）（，1）1（1，）f（x）00f（x）极大值极小值所以函数f（x）的递增区间是（，）与（1，）递减区间是（，1）（2）f（x）x3x22xc，x1，2，当x时，f（x）c为极大值，而f（2）2c，则f（2）2c为最大值。要使f（x）f（2）2c例2.函数既有极大值又有极小值，求的取值范围.解：，由题意，有
4、两个不等的实根，即，解得或.例3已知函数，其中，求函数的单调区间与极值解：因为，以下分两种情况讨论（1）当时，令，得到，当变化时，的变化情况如下表：00减函数极小值增函数极大值减函数所以在区间，内为减函数，在区间内为增函数函数在处取得极小值，且，函数在处取得极大值，且（2）当时，令，得到，当变化时，的变化情况如下表：00增函数极大值减函数极小值增函数所以在区间，内为增函数，在区间内为减函数函数在处取得极大值，且函数在处取得极小值，且【反馈练习】1. 求函数的极值.当时，函数有极大值 当时，函数有极小值.2. 函数, 已知在时取得极值, 则 53已知在和处取得极值，且.（1）试求实数的值.（2）
5、试判断时函数取得极大值还是极小值，并说明理由.解：（1），由 ，解得，；（2），当或时，当时，.函数在和上是增函数，在上是减函数.所以，当时，函数取得极大值；当时，函数取得极小值.【小结】1、对极大、极小值概念的理解，能够结合图象实行说明.并且要说明函数的极值是就函数在某一点附近的小区间来说的. 从图象观察得出，判别极大、极小值的方法.判断极值点的关键是这点两侧的导数异号2、在定义中，取得极值的点称为极值点，极值点是自变量的值，极值指的是函数值请注意以下几点：（）极值是一个部分概念由定义，极值仅仅某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小（）函
6、数的极值不是唯一的即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值能够不止一个（）极大值与极小值之间无确定的大小关系即一个函数的极大值未必大于极小值，如下列图所示，是极大值点，是极小值点，而（）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点（vi）但导数为零的点不一定是极值点，要看这点两侧的导数是否异号.函数的不可导点可能是极值点 【作业】1. 已知函数， 求函数的单调区间； 求函数的极值，并画出函数的草图解：由，得，函数单调递增；同理，或函数单调递减.由得下表：0+0单调递减极小值f(-2)单调递增极大值f(2)单调递
7、减极小值=-16，极大值=16.由f(-x)=-f(x)，知f(x)是奇函数，得草图如下图：2. 设函数，（1）若在处取得极值，求实数的值；（2）若在上为增函数，求实数的取值范围.解：（1），在处取得极值，则，解得，经检验知当时，为的极值点.（2）令，解得或.当时，若，则，所以在和上为增函数，故当时，在上为增函数.当时，若，则，所以在和上为增函数，所以在上也为增函数.综上所述，当时，在上为增函数.3. 设函数，已知是上的奇函数.求：（1）的值. （2）的单调区间和极值.解：（1）由得，再由得.（2）由（1）可知，所以，和是函数的单调递增区间；函数的单调递减区间.在时，取得极大值为，在时，取得极小值为.4. 已知函数是上的奇函数，当时取得极值.求的单调区间和极大值.解：由奇函数的定义，有，即，得.所以，联立及，解得，则，.所以，函数的单调增区间为和，单调减区间为；当时，函数取得极大值.【教后感】
9导数的应用2教案
