数项级数及审敛法(IV)

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1、二、交错级数及其审敛法二、交错级数及其审敛法 三、绝对收敛与条件收敛三、绝对收敛与条件收敛 第二节第二节一、正项级数及其审敛法一、正项级数及其审敛法常数项级数的审敛法常数项级数的审敛法 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第六章 一、正项级数及其审敛法一、正项级数及其审敛法若,0nu1nnu定理定理 1.正项级数1nnu收敛部分和序列nS),2,1(n有界.若1nnu收敛,收敛则nS,0nu部分和数列nSnS有界,故nS1nnu从而又已知故有界.则称为正项级数.单调递增,收敛,也收敛.证证:“”“”机动 目录 上页 下页 返回 结束,Zn,nnvku 都有定理定理2(比较审敛法比较审敛法)设,

2、1nnu1nnv且存在,ZN对一切,Nn 有(1)若强级数1nnv则弱级数1nnu(2)若弱级数1nnu则强级数1nnv证证:设对一切和令nSn则有收敛,也收敛;发散,也发散.分别表示弱级数和强级数的部分和,则有nnvku 是两个正项级数,(常数 k 0),因在级数前加、减有限项不改变其敛散性,故不妨机动 目录 上页 下页 返回 结束(1)若强级数1nnv则有nn lim因此对一切,Zn有nS由定理 1 可知,1nnu则有(2)若弱级数1nnu,limnnS因此,limnn这说明强级数1nnv也发散.knSnk也收敛.发散,收敛,弱级数机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例1.讨论 p 级数

3、pppn131211(常数 p 0)的敛散性.解解:1)若,1p因为对一切,Zn而调和级数11nn由比较审敛法可知 p 级数11npnn1发散.发散,pn1机动 目录 上页 下页 返回 结束,1p因为当nxn1,11ppxn故nnppxnn1d11nnpxx1d1111)1(111ppnnp考虑强级数1121)1(1ppnnn的部分和n111)1(11ppnkkkn故强级数收敛,由比较审敛法知 p 级数收敛.时,1)1(11pn11111)1(113121211pppppnn12)若机动 目录 上页 下页 返回 结束 调和级数与 p 级数是两个常用的比较级数.若存在,ZN对一切,Nn,1)1(

4、nun,)1(1)2(pnupn.1收敛则nnu;1发散则nnu机动 目录 上页 下页 返回 结束 证明级数1)1(1nnn发散.证证:因为2)1(1)1(1nnn),2,1(11nn而级数111nn21kk发散根据比较审敛法可知,所给级数发散.例例2.2.机动 目录 上页 下页 返回 结束 定理定理3.(比较审敛法的极限形式),1nnu1nnv,limlvunnn则有两个级数同时收敛或发散;(2)当 l=0,1收敛时且nnv;1也收敛nnu(3)当 l=,1发散时且nnv.1也发散nnu证证:据极限定义,0对,ZN存在lnnvu)(l设两正项级数满足(1)当 0 l 时,时当Nn 机动 目录

5、 上页 下页 返回 结束 nnnvluvl)()(,l取由定理 2 可知与1nnu1nnv同时收敛或同时发散;)(Nn),()(Nnvlunn利用(3)当l=时,ZN存在,时当Nn,1nnvu即nnvu 由定理2可知,若1nnv发散,;1也收敛则nnu(1)当0 l 时,(2)当l=0时,由定理2 知1nnv收敛,若.1也发散则nnu机动 目录 上页 下页 返回 结束,nunv,limlvunnn是两个正项级数正项级数,(1)当 时,l0两个级数同时收敛或发散;特别取,1pnnv 可得如下结论:对正项级数,nu,1pl0limnnulpn,1pl0发散nu(2)当 且 收敛时,0lnv(3)当

6、 且 发散时,lnv也收敛;nu也发散.nu收敛nu机动 目录 上页 下页 返回 结束 的敛散性.nnn1lim例例3.判别级数11sinnn的敛散性.解解:nlim sin1nn11根据比较审敛法的极限形式知.1sin1发散nn例例4.判别级数1211lnnn解解:nlim221limnnn1根据比较审敛法的极限形式知.11ln12收敛nnnn1sin)1ln(21n21n2n211lnn机动 目录 上页 下页 返回 结束 nnnuu1lim由定理定理4.比值审敛法(Dalembert 判别法)设 nu为正项级数,且,lim1nnnuu则(1)当1(2)当1证证:(1),1时当11nnuun

7、nuu)(112)(nu1)(NNnu,1使取收敛,.收敛nu时,级数收敛;或时,级数发散.,ZN知存在,时当Nn k)(由比较审敛法可知机动 目录 上页 下页 返回 结束,1时或,0,NuZN必存在,11nnuu,0limNnnuu因此所以级数发散.Nn 当时(2)当nnuu11nuNu1lim1nnnuu说明说明:当时,级数可能收敛也可能发散.例如例如,p 级数:11npnnnnuu1limppnnn1)1(1lim1但,1p级数收敛;,1p级数发散.从而机动 目录 上页 下页 返回 结束 limn例例5.讨论级数)0(11xxnnn的敛散性.解解:nnnuu1limnxn)1(1nxnx

8、根据定理4可知:,10时当 x级数收敛;,1时当 x级数发散;.1发散级数nn,1时当 x机动 目录 上页 下页 返回 结束 对任意给定的正数,limnnnu定理定理5.根值审敛法(Cauchy判别法)设 1nnu为正项级,limnnnu则;,1)1(级数收敛时当.,1)2(级数发散时当 证明提示证明提示:,ZN存在nnu有时当,Nn 即nnnu)()(分别利用上述不等式的左,右部分,可推出结论正确.,)1(1111数,且机动 目录 上页 下页 返回 结束 时,级数可能收敛也可能发散.1例如,p 级数:11pnnpnnnnu1)(1n说明说明:,1pnnu 但,1p级数收敛;,1p级数发散.机

9、动 目录 上页 下页 返回 结束 例例6.证明级数11nnn收敛于S,似代替和 S 时所产生的误差.解解:nnnnnu1n1)(0n由定理5可知该级数收敛.令,nnSSr则所求误差为21)2(1)1(10nnnnnr21)1(1)1(1nnnn1)1(1nnnnn)1(11111n并估计以部分和 Sn 近 机动 目录 上页 下页 返回 结束 二二、交错级数及其审敛法、交错级数及其审敛法 则各项符号正负相间的级数nnuuuu1321)1(称为交错级数交错级数.定理定理6.(Leibnitz 判别法)若交错级数满足条件:则级数;),2,1()11nuunn,0lim)2nnunnnu11)1(收敛

10、,且其和,1uS 其余项满足.1nnur,2,1,0nun设机动 目录 上页 下页 返回 结束 证证:)()()(21243212nnnuuuuuuS)()()(1222543212nnnuuuuuuuS1u是单调递增有界数列,nS212limuSSnn又)(limlim12212nnnnnuSSnnS2lim故级数收敛于S,且,1uS:的余项nS0nu2nnSSr)(21nnuu21nnnuur1nu故S机动 目录 上页 下页 返回 结束 收敛收敛nn1)1(4131211)11!1)1(!41!31!211)21nn用Leibnitz 判别法判别法判别下列级数的敛散性:nnn10)1(10

11、4103102101)31432收敛上述级数各项取绝对值后所成的级数是否收敛?;1)11nn;!1)21nn.10)31nnn发散收敛收敛 !)1(1 n!1n11 nnnuu1 101 1nnnn10 nn1101 机动 目录 上页 下页 返回 结束 三、绝对收敛与条件收敛三、绝对收敛与条件收敛 定义定义:对任意项级数,1nnu若若原级数收敛,但取绝对值以后的级数发散,则称原级111)1(nnn,!)1(1)1(11nnn1110)1(nnnn1nnu收敛,1nnu数1nnu为条件收敛.均为绝对收敛.例如例如：绝对收敛；则称原级数条件收敛.机动 目录 上页 下页 返回 结束 定理定理7.绝对

12、收敛的级数一定收敛.证证:设1nnunv),2,1(n根据比较审敛法显然,0nv1nnv收敛,收敛12nnvnnnuvu 2,1nnu1nnu也收敛)(21nnuu 且nv,nu收敛,令机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例7.证明下列级数绝对收敛:.)1()2(;sin)1(1214nnnnennn证证:(1),1sin44nnn而141nn收敛,14sinnnn收敛因此14sinnnn绝对收敛.机动 目录 上页 下页 返回 结束(2)令,2nnenu nnnuu1lim limn12)1(nennen2211limnnen11e因此12)1(nnnen12)1(nnnen收敛,绝对收敛.

13、机动 目录 上页 下页 返回 结束 其和分别为 绝对收敛级数与条件收敛级数具有完全不同的性质.*定理定理8.绝对收敛级数不因改变项的位置而改变其和.(P203 定理9)说明说明:证明参考 P203P206,这里从略.*定理定理9.(绝对收敛级数的乘法).S则对所有乘积 jivu1nnw按任意顺序排列得到的级数也绝对收敛,设级数1nnv1nnu与都绝对收敛,S其和为但需注意条件收敛级数不具有这两条性质.(P205 定理10)机动 目录 上页 下页 返回 结束 内容小结内容小结1.利用部分和数列的极限判别级数的敛散性2.利用正项级数审敛法必要条件0limnnu不满足发 散满足比值审敛法 limn1

14、nunu根值审敛法nnnulim1收 敛发 散1不定 比较审敛法用它法判别积分判别法部分和极限1机动 目录 上页 下页 返回 结束 3.任意项级数审敛法为收敛级数1nnu设Leibniz判别法:01nnuu0limnnu则交错级数nnnu1)1(收敛概念:,1收敛若nnu1nnu称绝对收敛,1发散若nnu条件收敛1nnu称机动 目录 上页 下页 返回 结束 思考与练习思考与练习设正项级数1nnu收敛,能否推出12nnu收敛?提示提示:nnnuu2limnnu lim0由比较判敛法可知12nnu收敛.注意注意:反之不成立.例如,121nn收敛,11nn发散.机动 目录 上页 下页 返回 结束 备

15、用题备用题;)1ln(1)1(1nn1.判别级数的敛散性:.1)2(1nnnn解解:(1),)1ln(nnnn1)1ln(111nn发散,故原级数发散.11npnp:级数不是 p级数(2)nlimnnn1lim111nn发散,故原级数发散.nnn1n1机动 目录 上页 下页 返回 结束 2.),3,2,1(0nun设,1limnunn且则级数).()1(11111nnuunn(A)发散;(B)绝对收敛;(C)条件收敛;(D)收敛性根据条件不能确定.分析分析:,1limnunn由,11nun知(B)错;)(2111uunS又)(3211uuC)(4311uu)(5411uu)()1(1111nnuun11111)1(nunu机动 目录 上页 下页 返回 结束