高数同济18函数的连续性与间断点

《高数同济18函数的连续性与间断点》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高数同济18函数的连续性与间断点（22页珍藏版）》请在装配图网上搜索。

1、xx 01一、函数的连续性v 增量增量v 函数连续函数连续二、函数的间断点v 第一类间断点第一类间断点v 第二类间断点第二类间断点1.8 函数的连续性与间断点上页下页结束返回首页0 x2思考：如何描述这种现象？一、函数的连续性xy0)(x f y x y)(xfy.,),(000的的增增量量称称为为自自变变量量在在点点xx x x x Ux xy)(xfy.,),(000的的增增量量称称为为自自变变量量在在点点xx x x x Ux 0)(x f y x .)(),()(0的的增增量量相相应应于于称称为为函函数数xx fx f x f y 曲线不断曲线不断曲线断开曲线断开函数函数f(x)随随x

2、的改变而的改变而逐渐改变逐渐改变;突变现象突变现象下页 数学语言：增量0 x3v1.增量的概念：.),()(0内内有有定定义义在在设设函函数数 xUxf0lim0yx0)()(lim00 xfxfxx)()(lim00 xfxfxx 一、函数的连续性xy0)(x f y x y)(xfy.,),(000的的增增量量称称为为自自变变量量在在点点xx x x x Ux xy)(xfy.,),(000的的增增量量称称为为自自变变量量在在点点xx x x x Ux 0)(x f y x .)(),()(0的的增增量量相相应应于于称称为为函函数数xx fx f x f y 曲线不断曲线不断曲线断开曲线断

3、开0lim0yx 或)()(lim00 xfxfxx 注注:也记也记x=x1-x0,即自变量即自变量x从从初值初值x0变到变到终值终值x1；增量增量 x和和 y可正可负可正可负;在第在第2章的导数部分将再次研究增量章的导数部分将再次研究增量.下页0 x4v2 2 函数的连续性定义函数的连续性定义提示提示:下页下页)()(lim00 xfxfxx设设x x0+x 则当则当 x0时时 xx0 因此因此 设函数设函数 y f(x)在点在点x0的某一个邻域内有定义的某一个邻域内有定义 那么就称那么就称函数函数 y f(x)在点在点x0处连续处连续 .0,0,0,0,1sin)(处处连连续续在在试试证证

4、函函数数 xxxxxxf y f(x0 x)f(x0)()(lim00 xfxfxx 如果如果)()(lim00 xfxfxx)()(lim00 xfxfxx 0 x5思考：思考：如何用如何用e e 语言语言叙述函数的连续性定义？叙述函数的连续性定义？e e 0 0 当当|x x0|有有|f(x)f(x0)|e e 提示：提示：xxx1sinlim0下页下页v2 2 函数的连续性定义函数的连续性定义 设函数设函数 y f(x)在点在点x0的某一个邻域内有定义的某一个邻域内有定义 如果如果那么就称那么就称函数函数 y f(x)在点在点x0处连续处连续 .0,0,0,0,1sin)(处处连连续续在

5、在试试证证函函数数 xxxxxxf)()(lim00 xfxfxx)()(lim00 xfxfxx 0 x6例例1 1,0)0(f又又证证.0)(处处连连续续在在函函数数 xx f),0()(lim0fxfx,0 如 果)()(lim00 x fx fxx 则 称 y f(x)在 点0 x处 左 连 续 下页 如果)()(lim00 x f x fx x 则称y f(x)在点0 x处右连续 )()(lim00 xfxfxx)()(lim00 xfxfxx 0 x7左连续与右连续左连续与右连续结论结论 函数函数y f(x)在点在点x0处连续处连续 函数函数y f(x)在点在点x0处左连续且右连续

6、处左连续且右连续 下页下页.0,0,0,0,)(/1处处的的连连续续性性在在讨讨论论函函数数 xxxexfxxxxexf/100lim)(lim )()(lim00 xfxfxx)()(lim00 xfxfxx 0 x8例例2 2),0(f 解解),0(f.0)(处处不不连连续续在在点点故故函函数数 xx fxxxexf/100lim)(lim 左连续但不右连续左连续但不右连续,0)()(lim00 x Px Px x sin)sin(limlim00 xxxyxx 下页下页 函数函数y f(x)在点在点x0处连续处连续 函数函数y f(x)在点在点x0处左连续且右连续处左连续且右连续 0 x

7、9注注:v3 连续函数连续函数 在区间上每一点都连续的函数在区间上每一点都连续的函数 叫做在该叫做在该区间上的区间上的连续函数连续函数 或者说函数在该区间上连续或者说函数在该区间上连续 连续函数举例连续函数举例 （1）多项式函数多项式函数P(x)在区间在区间()内是连续的内是连续的 这是因为这是因为 函数函数P(x)在在()内任意一点内任意一点 x0处有定义处有定义 并且并且0)2cos(2sin2lim0 xxxx下页下页 如果区间包括端点如果区间包括端点 那么函数在那么函数在右端点右端点连续是指连续是指左连续左连续 在在左端点左端点连续是指连续是指右连续右连续 0 x10 （2）正弦函数）

8、正弦函数 y sin x 在区间在区间()内是连续的内是连续的 这是因为这是因为 函数函数y sin x在在()内任意一点内任意一点x处有定义处有定义 并且并且0limxx 例例 1 正切函数 ytan x 在首页首页 在区间上每一点都连续的函数在区间上每一点都连续的函数 叫做在该叫做在该区间上的区间上的连续函数连续函数 或者说函数在该区间上连续或者说函数在该区间上连续 连续函数举例连续函数举例v3 连续函数连续函数实际上实际上,初等函数在初等函数在定义区间定义区间上都是连续的，（见下节）上都是连续的，（见下节）.0 x11二、函数的间断点 设函数设函数 f(x)在点在点x0的某的某去心去心邻

9、域邻域内有定义内有定义 在此前提下在此前提下 如果函数如果函数 f(x)有下列三种情形之一有下列三种情形之一 (1)在在x0没有定义没有定义 则函数则函数 f(x)在点在点x0不连续不连续 而而点点x0称为函数称为函数 f(x)的不连续的不连续点或间断点点或间断点 (2)虽然在虽然在x0有定义有定义 但但 f(x)不存在不存在 所以点2 x是函数t a n x 的间断点 (3)虽然在虽然在x0有定义且有定义且 f(x)存在存在 但但 f(x)f(x0)所以点2 x是函数t a n x 的间断点 所以点2 x是函数t a n x 的间断点 下页下页v1 1 间断点（不间断点（不连续连续点）的定义

10、点）的定义xy0)(x f y x .)(),()(0的的增增量量相相应应于于称称为为函函数数xx fx f x f y 0 x12v2 间断点举例间断点举例 例例1 1 xxtanlim2 故称2 x为函数 tan x 的无穷间断点 例例 2 函数xy1sin在点 x0 没有定义 下页下页xy1sin在点 x0 没有定义 0 x13xy1sin 例例2 2 当当x0时时 函数值在函数值在 1与与 1之间变动无限多次之间变动无限多次 所以点所以点x 0是函数的间断点是函数的间断点 所以点所以点x 0称为函数的称为函数的振荡间断点振荡间断点 下页下页v2 间断点举例间断点举例 例例3 函数112

11、xxy在x 1 没有定义 因为11lim21xxx2)1(lim1 xx 0 x14所以点所以点x 1是函数的间断点是函数的间断点 如果如果补充定义补充定义 令令x 1时时y 2 则所给函数在则所给函数在x 1成为成为连续连续 所以所以x 1称为该函数的称为该函数的可去间可去间断点断点 例例3 3 112xxy下页下页v2 间断点举例间断点举例 例例5 设函数0 10 00 1)(x xxx xx f 所以极限)(lim0 x fx 不存在 x 0 是函数f(x)的间断点 0 x15 因函数因函数f(x)的图形在的图形在x 0处产生跳跃现象处产生跳跃现象 我们称我们称x 0为函数为函数f(x)

12、的的跳跃间断点跳跃间断点 例例4 4 因为1)1(lim)(lim00 xxfxx1)1(lim)(lim00 xxfxx 下页下页 1)1(lim)(lim00 x x fx x )(lim)(lim00 xfxfxx 0 x ,0,1)(是是无无理理数数时时当当是是有有理理数数时时当当xxxDyv2 间断点举例间断点举例0 x16 通常把间断点分成两类通常把间断点分成两类 设设 x0是函数是函数f(x)的间断点的间断点 如果左极限如果左极限f(x0)及右极及右极限限f(x0)都存在都存在 那么那么x0称为函数称为函数f(x)的的第一类间断点第一类间断点 不属于第一类间断点的间断点不属于第一

13、类间断点的间断点 称为称为第二类间断点第二类间断点 在第一类间断点中在第一类间断点中 左、右极限相等者称为左、右极限相等者称为可去间可去间断点断点 不相等者称为不相等者称为跳跃间断点跳跃间断点 无穷间断点无穷间断点和和振荡间断点振荡间断点显然是第二类间断点显然是第二类间断点 v3 间断点的类型间断点的类型下页下页0 x17可去型可去型第一类间断点第一类间断点跳跃型跳跃型无穷型无穷型第二类间断点第二类间断点oyx ,)(是是无无理理数数时时当当是是有有理理数数时时当当xxxxx foyx ,)(是是无无理理数数时时当当是是有有理理数数时时当当xxxxx foyx ,)(是是无无理理数数时时当当是

14、是有有理理数数时时当当xxxxx f下页oyx振荡型振荡型0 x18.0,10,sin)()1 xxxxxf狄利克雷函数狄利克雷函数在定义域在定义域R内每一点处都间断内每一点处都间断,且都是第二类间且都是第二类间断点断点.0,10,sin)()2 xxxxxf仅在仅在x=0处连续处连续,在定义域在定义域 R内其余各点处处间内其余各点处处间断断.但其绝对值处处连续但其绝对值处处连续.下页0 x19小结1.函数在一点连续必须满足的三个条件函数在一点连续必须满足的三个条件;3.间断点的分类与判别间断点的分类与判别;2.区间上的连续函数区间上的连续函数;第一类间断点第一类间断点:可去型可去型,跳跃型跳

15、跃型.第二类间断点第二类间断点:无穷型无穷型,振荡型振荡型.间断点间断点下页0 x20练习：练习：研究下列函数在研究下列函数在x=0的连续性，若是间断的，指出间断点类型。的连续性，若是间断的，指出间断点类型。1sinlim)(lim00 xxxfxx.0),0()(lim0是是连连续续点点 xfxfx1sinlim|sinlim)(lim000 xxxxxfxxx1|sinlim)(lim00 xxxfxx解：解：1)xx1sinlim02)01sinlim0 xxx x=0为第一类间断点。为第一类间断点。下页0 x21.0,0,1sin)()3 xaxxxf不存在，不存在，x=0为第二类间断点。为第二类间断点。4）.0,0,1sin)()4 xaxxxxf当当a=0时时f(x)在在x=0处连续。处连续。a0时时 x=0为为f(x)的可去间断点。的可去间断点。3）（a为任意实数）为任意实数）NoImageNoImage下页0 x22 P59:2、4-（2）（4）64：2-（1）、（3）、3