工科数学分析5一阶线性微分方程ppt课件

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1、小结小结 思考题思考题 作业作业一阶线性微分方程一阶线性微分方程利用变量代换求解方程利用变量代换求解方程第三节第三节 一阶线性微分方程一阶线性微分方程伯努利伯努利(Bernoulli)(Bernoulli)方方程程第十二章第十二章 微分方程微分方程一、一阶线性微分方程一、一阶线性微分方程)()(ddxQyxPxy 一阶线性微分方程的标准形式一阶线性微分方程的标准形式,0)(xQ当当上面方程称为上面方程称为上面方程称为上面方程称为,0)(xQ当当如如,dd2xyxy ,sindd2ttxtx ,32 xyyy,1cos yy线性的线性的;非线性的非线性的.齐次的齐次的;非齐次的非齐次的.线性线性

2、一阶一阶 自由项自由项一阶微分方程一阶微分方程关于未知函数关于未知函数及未知函数的及未知函数的导数是一次的导数是一次的一阶方程一阶方程.0)(dd yxPxy,d)(dxxPyy ,d)(d xxPyy1.线性齐次方程线性齐次方程一阶线性微分方程的解法一阶线性微分方程的解法(使用分离变量法使用分离变量法)一阶微分方程一阶微分方程ln|()dln,yP xxC(C为任意常数为任意常数)齐次方程的通解为齐次方程的通解为()dP xxyCe若加上初始条件:00,y xy则特解为:0()d0 xxP xxyy e2.线性非齐次方程线性非齐次方程 yxPxy)(dd线性齐次方程是线性非齐次方程的特殊情况

3、线性齐次方程是线性非齐次方程的特殊情况.,d)(xxPCe显然线性非齐次方程的解不会是如此显然线性非齐次方程的解不会是如此,之间应存在某种共性之间应存在某种共性.想象想象)()(ddxQyxPxy 非齐次方程非齐次方程 待定函数待定函数线性齐次方程的通解是线性齐次方程的通解是但它们但它们)(xQ一阶微分方程一阶微分方程 xxPeyd)()(xC的解是的解是 xxPexCyd)()(,代代入入原原方方程程和和将将yy)(xQ xxPxxPexPxCexCd)(d)()()()(xxPexCxPd)()()(从而从而C(x)满足方程满足方程,)(d)(求求导导对对 xxPexCy得得)(xC)(x

4、P xxPed)(得得)()(ddxQyxPxy )()(d)(xQexCxxP 一阶微分方程一阶微分方程)()(ddxQyxPxy 即即 xxPexQxCd)()()(xexQxCxxPd)()(d)(C xxPexCyd)()(设设一阶微分方程一阶微分方程 xd xdd()().dyP x yQ xx是的解一阶线性非齐次微分方程的通解为一阶线性非齐次微分方程的通解为d)(d)(d)(CxexQeyxxPxxP 常数变易法常数变易法 把齐次方程通解中的常数变易为把齐次方程通解中的常数变易为待定函数的方法待定函数的方法.xxPCed)(非齐次方程的一个特解非齐次方程的一个特解对应齐次对应齐次方

5、程通解方程通解d)(d)(d)(CxexQeyxxPxxP 一阶线性方程解的结构一阶线性方程解的结构xexQexxPxxPd)(d)(d)(注注 一阶线性方程解的结构及解非齐次方程一阶线性方程解的结构及解非齐次方程的常数变易法对高阶线性方程也适用的常数变易法对高阶线性方程也适用.一阶微分方程一阶微分方程)()(ddxQyxPxy 运用公式时一定要写成标准型运用公式时一定要写成标准型.sin1的通解的通解求方程求方程xxyxy ,1)(xxP,sin)(xxxQ xxeyd1 Cxxxdsin1 Cxx cos1解解例例1 1一阶线性非一阶线性非齐次方程齐次方程 xxsin xxed1xdC 一

6、阶微分方程一阶微分方程d)(d)(d)(CxexQeyxxPxxP 23)(yx xyxxy03d23xyy 解解 xxxf0d)(积分方程积分方程一阶微分方程一阶微分方程例例2 2 如下图如下图,平行于平行于y 轴的动直线被曲线轴的动直线被曲线 y=f(x)阴影部分的面积阴影部分的面积,一阶非齐次线性方程一阶非齐次线性方程 yyx 23即即xyO3xy )(xfy xPQ截下的线段截下的线段PQ之长数值上等于之长数值上等于求曲线求曲线 y=f(x).3(0)yxx与0000 Cxexeyxxd3d2d6632 xxCex 0|xy6 C得得所求曲线为所求曲线为)222(32 xxeyx23x

7、yy ,1)(xP23)(xxQ 一阶微分方程一阶微分方程 xyxxy03d000解初值问题解初值问题:10cos2)1(02xyxxyyx解解 将方程写为将方程写为1cos1222 xxyxxy)(xP)(xQ一阶非齐次线性方程一阶非齐次线性方程一阶微分方程一阶微分方程d)(d)(d)(CxexQeyxxPxxP 2222dd112cosd1xxxxxxxyeexCx)sin(112xCx 由初始条件由初始条件10 xy,1 C特解特解21sin1xxy 例例3例例4 4 设设101()()1,().2,()f xf ax dfafxx其中为可微函数 求一阶微分方程一阶微分方程10011()

8、()()1.2xf ax daf t dtf xx两边微分得到12()()fxf xxx 解得()2f xCx例例5 解方程解方程0d)ln(dln yyxxyy若将方程写成若将方程写成yxyyxylnlndd 则它既不是线性方程则它既不是线性方程,又不能分离变量又不能分离变量.若将方程写成若将方程写成yyyxyxlnlndd yxyy1ln1 以以x为未知函数为未知函数,即即yxyyyx1ln1dd 一阶非齐次线性方程一阶非齐次线性方程.分析分析y 为自变量的为自变量的一阶微分方程一阶微分方程 Cyeyexyyyyyyd1dln1dln1 Cyyyydln1ln1yCylnln21 此外此外

9、,y=1也是原方程的解也是原方程的解.解解yxyyyx1ln1dd 一阶微分方程一阶微分方程)(yP)(yQln d(ln)d0yy xxyyd)(d)(d)(CxexQeyxxPxxP 注注参数形式的参数形式的.解方程时解方程时,通常不计较哪个是自变量哪个是通常不计较哪个是自变量哪个是因变量因变量,视方便而定视方便而定,关系关系.关键在于找到两个变量间的关键在于找到两个变量间的解可以是显函数解可以是显函数,也可以是隐函数也可以是隐函数,甚至是甚至是一阶微分方程一阶微分方程形如形如的方程的方程,)()(ddxQyxPxy 方程为线性微分方程方程为线性微分方程.方程为非线性微分方程为非线性微分方

10、程方程.,1,0时时当当 n,1,0时时当当 n需经过变量代换化为线性微分方程需经过变量代换化为线性微分方程.解法解法)1,0(n称为称为ny 一阶微分方程一阶微分方程伯努利伯努利(Bernoulli)(Bernoulli)方程方程.事实上事实上,ny用用除方程的两边除方程的两边,得得 雅个布雅个布 伯努利伯努利(瑞士瑞士)1654-1705)()(dd1xQyxPxyynn 二、伯努利二、伯努利(Bernoulli)(Bernoulli)方方程程即即)()(dd1111xQyxPxynnn 可见只要作变换可见只要作变换,)()(dd1xQyxPxyynn nyz 1方程就可化为方程就可化为z

11、 的一阶线性方程的一阶线性方程)1)()()1(ddnxQzxPnxz ny1 令ny 一阶微分方程一阶微分方程(1)()d(1)()d(1)()d)n P xxn P xxzen Q x exC伯努利方程的通解伯努利方程的通解.4dd的的通通解解求求方方程程yxyxxy 解解例例6伯努利方程伯努利方程21 n作变换作变换.21211yyz 则方程化为则方程化为 xzdd即即22ddxzxxz 它的通解为它的通解为 Cexezxxxxd2d22 xCxln212故原方程的通解为故原方程的通解为24ln21 xCxy)1)()()1(ddnxQzxPnxz 一阶微分方程一阶微分方程zx 4211

12、x 211三、利用变量代换求解方程三、利用变量代换求解方程 下面用变量代换的方法来简化求解微分方程下面用变量代换的方法来简化求解微分方程.变量代换在数学的各个方面都是极重要的变量代换在数学的各个方面都是极重要的,极限运算和积分运算中已看到了变换的作用极限运算和积分运算中已看到了变换的作用.一阶微分方程一阶微分方程的的通通解解求求yexy 1分析分析这不是前面的典型类型中的任何一种这不是前面的典型类型中的任何一种,可仿照伯努利方程的解法可仿照伯努利方程的解法,通乘等式通乘等式以以ye 11dd yyexxye可化为线性方程可化为线性方程解解yeu 令令xyexuydddd 那么上式成为上式成为1

13、1dd uxxu即即11dd uxxu线性方程线性方程一阶微分方程一阶微分方程例例7 7两边两边,得得 Cxeeuxxxxdd1d1从而从而xCx 2于是得于是得ye xCx 2即即 xCxy2ln一阶微分方程一阶微分方程一阶微分方程一阶微分方程解微分方程解微分方程例例8 80cossin xyxyy解解 原方程变形原方程变形 y yy2cos21202tan2tan xyyuy 2tan0 xuu一阶线性方程一阶线性方程原方程的解原方程的解)1(2tanxCeyx 2cos2sin2yyxy 2cos220 2tany0 x(1)一阶线性微分方程一阶线性微分方程d)(d)(d)(CxexQe

14、yxxPxxP )()(ddxQyxPxy 一阶微分方程一阶微分方程四、小结四、小结(2)伯努利微分方程伯努利微分方程)1,0()()(dd nyxQyxPxynzyn 1令令一阶微分方程一阶微分方程一阶微分方程的解题程序一阶微分方程的解题程序(1)审视方程审视方程,判断方程类型判断方程类型;(2)根据不同类型根据不同类型,确定解题方案确定解题方案;(3)做变量替换后得出的解做变量替换后得出的解,最后一定要最后一定要还原为原变量还原为原变量.堂上练习题堂上练习题2222,.xyyxyxe1.设求通解22(1)(2(2.1)00)xxxxedye yee dxy2.求满足的特解n,.tasind

15、yydxyx3.设求通解ln sincos(1 cos)0,.xyxyyy4.设求通解一阶微分方程一阶微分方程5.一条连接一条连接A(0,1),B(1,0)的曲线的曲线L位于位于AB的上方的上方(,),M x yLLAM3为 上任意点 且 与弦之间的面积为x求求L 的方程的方程.一阶微分方程一阶微分方程习题习题5.3(2695.3(269页页)作业作业(A)2.(1)(4)3.(2)(B)1.2.(1)3.4.一阶微分方程一阶微分方程 求微分方程求微分方程0d)2(d xyxyx 的一个解的一个解),(xyy 与直线与直线2,1 xx 以及以及x轴所围成的平面图形绕轴所围成的平面图形绕x轴旋转一周的所围轴旋转一周的所围成的旋转体体积最小成的旋转体体积最小.使得由曲线使得由曲线)(xyy 12dd yxxy解解212475xxy 一阶微分方程一阶微分方程原方程可化为原方程可化为那那么么 Cxeeyxxxxd1d2d2.2Cxx 一阶线性方程一阶线性方程)(CV).37215531(2 CC 0)215562()(CCV.12475 C 2122d)(xCxx