椭圆知识点总结附例题

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1、圆锥曲线与方程椭圆知识点一椭圆及其标准方程1. 椭圆的定义：平面内与两定点F1, F2距离的和等于常数2a |FF |)的点的轨迹叫做椭 圆，即点集 M=PI IPFl+IPF2l=2a, 2aIFF2l=2c;这里两个定点F1, F2叫椭圆的焦点，两焦点间的距离叫椭圆的焦距2c。(2a = IFF I时为线段FF , 2a b0);焦点F (c, 0)y 2x2 1 焦点在y轴上： 石 +顶 =1(ab0);焦点F(0, c)注意：在两种标准方程中，总有ab0,并且椭圆的焦点总在长轴上；两种标准方程可用一般形式表示：+ = 1或者 mx2+ny2=1mn二.椭圆的简单几何性质：1. 范围(1

2、) 椭圆邑 + 21 = 1 (ab0) 横坐标-aWxWa,纵坐标-bWxWba 2 b2(2) 椭圆+ = 1 (ab0) 横坐标-bWxWb，纵坐标-aWxWaa 2 b22. 对称性椭圆关于x轴y轴都是对称的，这里，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称 中心,椭圆的对称中心叫做椭圆的中心3. 顶点(1) 椭圆的顶点： A1(-a， 0)， A2(a， 0)， B1(0， -b)， B2(0， b)(2) 线段AA2, B1B2分别叫做椭圆的长轴长等于2a,短轴长等于2b, a和b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。4离心率(1)我们把椭圆的焦距与长轴长的比竺，即c称为椭圆的离心率,2a

3、 a记作 e ( 0 e b0)准线方程：x = a 2 b2c 焦点在y轴上：竺+ = 1 (ab0)准线方程：y = a 2 b2c小结一：基本元素(1) 基本量：a、b、c、e、(共四个量)， 特征三角形(2) 基本点：顶点、焦点、中心(共七个点)(3) 基本线：对称轴(共两条线)x2 y 2O+ _ b 0)的内部 0 0a 2 b2x yx2 y 2(2)点 P(x ,y )在椭圆 乂 + 兰=1(a b 0)的外部 -0 + b2 10 0 a2 b2 a2 b26.几何性质(1) 最大角(ZFPF ) =ZFBF ,12 max 1 2 2例题讲解：一.椭圆定义：1 .方程：；(

4、x 2为+ y 2 + ：；G + 2为+ y 2 = 10化简的结果是2. 若AABC的两个顶点A(4,0),B(4,0), AABC的周长为18，则顶点C的轨迹方程是3. 已知椭圆乂 +兰=1上的一点P到椭圆一个焦点的距离为3,则P到另一焦点距离为169二. 利用标准方程确定参数1. 若方程旦 + =1 (1)表示圆，则实数k的取值是5 k k 3(2) 表示焦点在x轴上的椭圆，则实数k的取值范围是.(3) 表示焦点在y型上的椭圆，则实数k的取值范围是.(4) 表示椭圆，则实数k的取值范围是.2. 椭圆4x2 + 25 y2 = 100的长轴长等于，短轴长等于,顶点坐标是，焦点的坐标是,焦

5、距是 离心率等于,3. 椭圆二 + = 1的焦距为2，贝U m =04 m4. 椭圆5x2 + ky2二5的一个焦点是(0,2)，那么k =0三. 待定系数法求椭圆标准方程1. 若椭圆经过点(4,0)，(0, 3)，则该椭圆的标准方程为o2. 焦点在坐标轴上，且a2二13，c2二12的椭圆的标准方程为3. 焦点在x轴上，a:b二2:1， c =、：6椭圆的标准方程为4. 已知三点P (5，2)、f(6, 0)、f (6，0)，求以f、F为焦点且过点P的椭圆的标1 2 1 2准方程；变式：求与椭圆4x2 + 9y2二36共焦点，且过点(3,-2)的椭圆方程。四焦点三角形1. 椭圆乂 + 21 =

6、 1的焦点为F、F , AB是椭圆过焦点F的弦，则AABF的周长是 。9 25 1 2 1 2 2. 设F，F为椭圆16x2 + 25y2二400的焦点，P为椭圆上的任一点，则APF F的周长是多1 2 1 2少？ APFF的面积的最大值是多少？123. 设点P是椭圆乂 +兰二1上的一点，F,F是焦点，若ZFPF是直角，则AFPF的面积25 16 1 2 1 2 1 2为0变式：已知椭圆9x2 +16y2二144，焦点为FF，P是椭圆上一点.若严2 = 60。，求 APF F 的面积.12五.离心率的有关问题1. 椭圆+ - = 1的离心率为，则m =4 m22. 从椭圆短轴的一个端点看长轴两

7、端点的视角为1200，则此椭圆的离心率e为3. 椭圆的一焦点与短轴两顶点组成一个等边三角形，则椭圆的离心率为 4. 设椭圆的两个焦点分别为行、F2,过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点尸，若厶F1PF2为等 腰直角三角形，求椭圆的离心率05.在AABC中，ZA = 3Oo,l AB 1= 2,S=打.若以A, B为焦点的椭圆经过点C，则该AABC椭圆的离心率e =.最值问题：x21. 椭圆石+ y2 = 1两焦点为F、F2,点P在椭圆上，则IPFJlPF2I的最大值为，最小值为2、 椭圆X +兰=1两焦点为F F2, A(3, 1)点P在椭圆上，则IPFJ+IPAI的最大值为,25 16 1 2

8、1 最小值为 _x23、已知椭圆一 + y2 = 1, A(1, 0), P为椭圆上任意一点，求IPAI的最大值最小4值。4、设F是椭圆竺+疋=1的右焦点，定点A(2,3)在椭圆内，在椭圆上求一点P 使IPAI+2IPF最小,3224求P点坐标_最小值.同步测试1 已知 F(-8, 0), F2(8, 0),动点 P 满足IPFI+IPF2I=16，则点 P 的轨迹为()A圆B椭圆 C线段D直线x 2 y 22、椭圆r 片=1左右焦点为耳、F2, CD为过F1的弦，则A CDF1的周长为16 9 1 2 1 1x 2 y 23已知方程i +乙+ J壬=1表示椭圆，则k的取值范围是()A -1k

9、0C k$0D k1 或 kv-14、求满足以下条件的椭圆的标准方程(1) 长轴长为10,短轴长为6(2) 长轴是短轴的2倍，且过点(2, 1)(3) 经过点(5, 1), (3, 2)5、若ZABC顶点B、C坐标分别为(-4, 0), (4, 0), AC、AB边上的中线长之和为30,则ZABC的重心G 的轨迹方程为x 2 y 26、 椭圆一=1 b 0)的左右焦点分别是耳、F2,过点F1作x轴的垂线交椭圆于P点。a2 b 21 2 1若ZF1PF2=60，则椭圆的离心率为7、已知正方形ABCD，则以A、B为焦点，且过C、D两点的椭圆的的离心率为椭圆方程为 x2 y 28已知椭圆的方程为一

10、+二二1, P点是椭圆上的点且ZFPF二60。，求APFF的面积4 3 1 2 1 29若椭圆的短轴为AB,它的一个焦点为片，则满足 ABF为等边三角形的椭圆的离心率为x2y 210. 椭圆 +市二1上的点P到它的左焦点的距离是12,那么点P到它的右焦点的距离是 1003611. 已知椭圆乞+ = 1（a 5）的两个焦点为F、F，且IFF |二8，弦AB过点F，则 ABF的周a 225121 112长x2 y 212在椭圆=1上求一点P,使它到左焦点的距离是它到右焦点的距离的两倍13、中心在原点、长轴是短轴的两倍，一条准线方程为x = 4,那么这个椭圆的方程为_。14、椭圆的两个焦点三等分它的

11、两准线间的距离，则椭圆的离心率e =.15、椭圆的中心在原点,焦点在x轴上，准线方程为y = 18，椭圆上一点到两焦点的距离分别为10和14,则椭圆方程为 16. 已知P是椭圆9x2 + 25y2 = 900上的点，若P到椭圆右准线的距离为8.5,则P到左焦点的距离为17. 椭圆盏+16 = 1内有两点A（2,2）， B（3,0），P为椭圆上一点，若使|pa| + 5|pb|最小，则最小值为 18、椭圆 + - =1 与椭圆+ - =X(X0)有 3223（A）相等的焦距（B）相同的离心率（C）相同的准线（D）以上都不对19、椭圆竺+ 22 = 1与旦+ - = 1 （0k9）的关系为2599-入 25-入（A）相等的焦距（B）相同的的焦点（C）相同的准线（D）有相等的长轴、短轴20、椭圆皀+ 22 = 1上一点P到左准线的距离为2，则点P到右准线的距离为 X 2 y 221-点P为椭圆p + = 1上的动点,F ,F为椭圆的左、右焦点，则PF -PF的最小值为25 16 1 2 1 2此时点P的坐标为.