初中数学知识点梳理沪教市北综合版

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1、.初中数学知识点梳理沪教市北综合版初中数学知识点梳理沪教市北综合版导导言言 初中数学知识点梳理沪教市北综合版初中数学知识点梳理沪教市北综合版 为编者依据沪教版为编者依据沪教版 初中数学初中数学 和市北初级中学资优生培训教材和市北初级中学资优生培训教材 初中数学初中数学 的容综合编撰而成，既吸取了沪教版的容综合编撰而成，既吸取了沪教版 初中数学初中数学 侧重根底、知识全面的特点，也吸取了市北版侧重根底、知识全面的特点，也吸取了市北版 初初中数学中数学 拓展广度、延伸深度的特点，拓展广度、延伸深度的特点，实现了两者容的有机融合，保证了初中数学知识点梳理的根底性、系统实现了两者容的有机融合，保证了初

2、中数学知识点梳理的根底性、系统性、全面性、拓展性和概括性，能为初中数学的学习提供较好的知识帮助。文中带“局部为市北版性、全面性、拓展性和概括性，能为初中数学的学习提供较好的知识帮助。文中带“局部为市北版的加深容，练习带“局部也为市北版容。的加深容，练习带“局部也为市北版容。第一章第一章 数的整除数的整除一、一、知识构造知识构造二、二、重点和难点重点和难点重点重点：会正确地分解素因数，并会求两个正整数的最大公因数和最小公倍数。会正确地分解素因数，并会求两个正整数的最大公因数和最小公倍数。难点：求两个正整数的最小公倍数。难点：求两个正整数的最小公倍数。第一节整数和整除第一节整数和整除1.11.1

3、整数和整除的意义整数和整除的意义 正整数：用来表示物体个数的数正整数：用来表示物体个数的数1 1，2 2，3 3，4 4，5叫做正整数。，5叫做正整数。-优选-负整数：在正整数负整数：在正整数 1 1，2 2，3 3，4 4，5之前添上“，5之前添上“-，得到的数，得到的数-1-1，-2-2，-3-3，-4-4，-5叫做负整数。5叫做负整数。零既不是正整数，也不是负整数。零既不是正整数，也不是负整数。自然数：零和正整数统称为自然数。自然数：零和正整数统称为自然数。整数：正整数、零、负整数统称为整数。整数：正整数、零、负整数统称为整数。正整数正整数自然数自然数整数整数零零负整数负整数 整除：整除

4、：设设 a a、b b 是两个整数，是两个整数，且且 ba，ba，假设存在整数假设存在整数 q q，使使 a abqbq，那么称那么称 b b 整除整除 a a，或或 a a 被被 b b 整除，整除，记作记作 ba。ba。或者说，如果整数或者说，如果整数 a a 除以整数除以整数 b(b 0所得的商是整数，那么叫做b(b 0所得的商是整数，那么叫做a a 被被 b b 整除，或整除，或 b b 能整除能整除 a a。整数整数 a a 除以整数除以整数 b b整数整数 a a 被整数被整数 b b 整除整除 a a b b整数整数 b b 整除整数整除整数 a a例 1：以下哪一个算式的被除数

5、能被除数整除？28710354解：因为 2874，10331，541.25，所以被除数能被除数整除的是287。注意整除的条件：注意整除的条件：除数、被除数都是整数；除数、被除数都是整数；被除数除以除数，商是整数而且余数为零。被除数除以除数，商是整数而且余数为零。整除的主要性质：整除的主要性质：cb、ba，那么cb、ba，那么 ca；ca；假设假设 ma、mb，那么ma、mb，那么 mma ab b;假设假设 ma、mb，那么ma、mb，那么 mma ab b;假设假设 ma，那么ma，那么 mabmabb b 为自然数为自然数;n n 个连续正整数的积能被个连续正整数的积能被 n n！整除。！

6、整除。n n 的阶乘：的阶乘：n n！1 12 23 3n n-.word.zl-例如：a 为整数时，2a(a+1)6a(a+1)(a+2)24a(a+1)(a+2)(a+3)解：由于 4 个连续的整数中必有 1 个数为 4 的倍数，还有另一个数为2 的倍数，有 1 个是 3 的倍数，因为 a、a+1、a+2、a+3 为 4 个连续的整数，所以，a、a+1、a+2、a+3 中必有一个数为 4 的倍数，另有一个数为 2 的倍数，有一个数为 3 的倍数，即为 234=24 的倍数。整除与除尽的区别：整除与除尽的区别：整除：它只在整数气氛讨论，被除数、除数、商都是整数，余数为零；整除：它只在整数气氛

7、讨论，被除数、除数、商都是整数，余数为零；除尽：未限制数域围，只是除完后没有余数。除尽：未限制数域围，只是除完后没有余数。练习练习 是否有最小的自然数？是否有最大的整数？把以下各数分别填入相应的括号中。2260，12，3.14，0，1，1，0.618，7正整数，负整数，自然数，整数 以下各式中，哪些式子表示整除？1243 200.540 3575454514.21.43787.810 2.61.32，能不能说 2.6 能被 1.3 整除？如果 a 表示一个自然数，且a2，写出：紧挨着它，在它后面的两个连续自然数_;-。.word.zl-紧挨着它，在它前面的两个连续自然数_。以下算式中，哪些是除

8、尽？哪些是整除？4276350.640.22053128.132.7230.66666-.word.zl-1.21.2 因数和倍数因数和倍数 倍数和因素：如果数倍数和因素：如果数 a a 能被数能被数 b bb 0整除，b 0整除，a a 就叫做就叫做 b b 的倍数的倍数(mutiple)(mutiple)，b b 就叫做就叫做 a a 的因数的因数(factor)(factor)或或a a 的约数。倍数和因数是相互依存的。的约数。倍数和因数是相互依存的。因素的特征：一个数的因数的个数是有限的，其中最小的因数是因素的特征：一个数的因数的个数是有限的，其中最小的因数是1 1，最大的因数是它本身

9、。，最大的因数是它本身。倍数的特征：一个数的倍数的个数是无限的，其中最小的倍数是它本身。倍数的特征：一个数的倍数的个数是无限的，其中最小的倍数是它本身。因数因数倍数倍数个数个数有限有限无限无限最小最小1 1它本身它本身最大最大它本身它本身没有没有 一个数的因素的求法：一个数的因素的求法：列乘法算式或直接用口诀找，即这个数是哪两个数的乘积，注意要找出所有的可能性；列乘法算式或直接用口诀找，即这个数是哪两个数的乘积，注意要找出所有的可能性；列除法算式找，即这个数所有能整除的整数。列除法算式找，即这个数所有能整除的整数。例：求 18 的因素。乘积是 18 的算式有：118=18，29=18，36=1

10、8，所以，18 的因素有 1，2，3，6，9，18。18 能整除的算式有：181=18，182=9，183=6，所以，18 的因素有 1，2，3，6，9，18。一个数的倍数的求法：这个数和任何非零自然数之积都是该数的倍数，所以，求一个数的倍数的方法可以一个数的倍数的求法：这个数和任何非零自然数之积都是该数的倍数，所以，求一个数的倍数的方法可以列乘法算式找。列乘法算式找。任何正整数都是任何正整数都是 1 1 的倍数。的倍数。练习练习填空填空:455=9，()能被()整除，()能整除()；()是()的因数，()是()的倍数。一个正整数 a 的因数的个数是()，其中最小的一个是()，最大的一个是()

11、；正整数 a 的倍数的个数是()，其中最小的一个是()。一个数的最小倍数是 9，那么这个数的最大因数是()，最小因数是()。有一个数，它既是 6 的倍数，又是 6 的因数，这个数是()。-.word.zl-1.31.3 数的整除性数的整除性常见数的倍数特征：常见数的倍数特征：2 2 的倍数特征：个位是偶数，即个位上是的倍数特征：个位是偶数，即个位上是0 0、2 2、4 4、6 6、8 8 的数，都能被的数，都能被 2 2 整除。整除。3 3 的倍数特征：一个数的各个数位上的数字之和能被的倍数特征：一个数的各个数位上的数字之和能被3 3 整除，这个数就能被整除，这个数就能被 3 3 整除。整除。

12、5 5 的倍数特征：个位上是的倍数特征：个位上是 0 0 或或 5 5 的数，都能被的数，都能被 5 5 整除。整除。9 9 的倍数特征：一个数的各个数位上的数字之和能被的倍数特征：一个数的各个数位上的数字之和能被9 9 整除，这个数就能被整除，这个数就能被 9 9 整除。整除。1111 的倍数特征：的倍数特征：一个数的奇位上的数字之和与偶位上的数字之和的差相等或是一个数的奇位上的数字之和与偶位上的数字之和的差相等或是1111 的倍数，的倍数，这个数就能被这个数就能被 1111整除。整除。7 7、1111、1313 的倍数特征：一个数的末三位数与末三位以前的数字所组成的数之差是的倍数特征：一个

13、数的末三位数与末三位以前的数字所组成的数之差是7 7、1111、1313 的倍数，这个的倍数，这个数就能被数就能被 7 7、1111、1313 整除。整除。4 4 或或 2525 的倍数特征：一个数的末两位数能被的倍数特征：一个数的末两位数能被4 4或或 2525整除，这个数就能被整除，这个数就能被 4 4或或 2525整除。整除。8 8 或或 125125 的倍数特征：的倍数特征：一个数的末三位数能被一个数的末三位数能被 8 8或或 125125整除，整除，这个数就能被这个数就能被 8 8或或 125125整除。整除。例如：1168、4600、5000、12344 都能被 8 整除，1125

14、、13375、5000 都能被 125 整除。能同时被能同时被 2,52,5 整除的数的特征整除的数的特征:个位是个位是 0 0。能同时被能同时被 2 2，3 3，5 5 整除的数的特征整除的数的特征:个位是个位是 0 0，而且各个位上的数字的和能被，而且各个位上的数字的和能被3 3 整除。整除。能被能被 3 3 整除的数不一定能被整除的数不一定能被 9 9 整除，但是能被整除，但是能被 9 9 整除的数一定能被整除的数一定能被 3 3 整除。整除。例 1：一年级 72 名学生课间加餐共交52.7元，处的数字识别不清，问每个学生交了多少钱？解：由于 7289，因此，527要都能被 8、9 整除

15、，527被 8 整除，即 27被 8 整除，从而得出个位数字是 2。527被 9 整除，即：527279被 9 整除，从而可得首位是2。所以每人交了：252.72723.51(元)。答：每人交了 3.51 元。例 2：要使六位数 15ABC6 能被 36 整除，而且所得的商最小，求A、B、C。解：因为 3649，所以 C 只可能是 1，3，5，7，9。要使商最小，首先 A 应尽可能小，于是取 A0，又156ABC93BC-.word.zl-能被 9 整除，即 BC3 是 9 的倍数，C 只能是 1，3，5，7，9，而 B 应尽可能小，因此 B 取 1，C 取 5。答：A、B、C 分别是 0、1

16、、5。练习练习 1.11.11、有 15 位同学参加学校组织的夏令营活动，教师准备把他们平均分成假设干小组，有几种分法？有可能把他们平均分成 4 个小组吗？为什么？2、一班同学分成四个小组糊纸盒，每组糊的个数同样多，小马虎统计时说：全班共糊纸盒342 个。小马虎统计错了吗？为什么？3、不超过 100 的正整数中，能被 25 整除的数有哪些？不错过1000 的正整数中，能被 125 整除的数有哪些？1.41.4 奇数与偶数奇数与偶数-.word.zl-奇数与偶数：能被奇数与偶数：能被 2 2 整除的数叫做偶数整除的数叫做偶数(even number)(even number)；不能被；不能被 2

17、 2 整除的数叫做奇数整除的数叫做奇数(odd number)(odd number)。0 0 是偶数。是偶数。自然数按能否被自然数按能否被 2 2 整除的特征可分为奇数和偶数。整除的特征可分为奇数和偶数。设设 n n 是整数，那么：是整数，那么：2n2n 是偶数，是偶数，2n-12n-1 或或 2n+12n+1 是奇数；设是奇数；设n n 是正整数，那么：是正整数，那么：2n2n 是正偶数，是正偶数，2n-12n-1 是正奇数。是正奇数。奇数偶数的运算性质：奇数偶数的运算性质：奇数奇数偶数，奇数偶数奇数，奇数奇数偶数，奇数偶数奇数，偶数偶数偶数；偶数偶数偶数；奇数奇数奇数，奇数偶数偶数，奇数

18、奇数奇数，奇数偶数偶数，偶数偶数偶数。偶数偶数偶数。奇数的正整数次幂是奇数，奇数的正整数次幂是奇数，偶数的正整数次幂是偶数。偶数的正整数次幂是偶数。两个连续整数的和是奇数，积是偶数。两个连续整数的和是奇数，积是偶数。推广结论：推广结论：奇数个奇数之和是奇数，偶数个奇数之和是偶数，任意有限个偶数之和是偶数。奇数个奇数之和是奇数，偶数个奇数之和是偶数，任意有限个偶数之和是偶数。假设干个奇数的乘积是奇数，偶数与整数的乘积是偶数。假设干个奇数的乘积是奇数，偶数与整数的乘积是偶数。如果假设干个整数的乘积是奇数，那么其中每一个整数都是奇数；如果假设干个整数的乘积是偶数，那么如果假设干个整数的乘积是奇数，那

19、么其中每一个整数都是奇数；如果假设干个整数的乘积是偶数，那么其中至少有一个整数是偶数。其中至少有一个整数是偶数。如果两个整数的和或差是偶数，那么这两个整数的奇偶性一样；如果两个整数的和或差是奇数，如果两个整数的和或差是偶数，那么这两个整数的奇偶性一样；如果两个整数的和或差是奇数，那么这两个整数一定是一奇一偶。那么这两个整数一定是一奇一偶。两个整数的和与差的奇偶性一样。两个整数的和与差的奇偶性一样。例 1：在 1，2，2008 中每个数前面任意添加“、“号，最终的运算结果是奇数还是偶数？请说明理由。()解：因为 ab 与 ab 的奇偶性一样，所以将算式中每一个数前的“号逐一改成“号，其结果的奇偶

20、性不变，故所求的结果与 12200810042009 的奇偶性一样，因此，所求算式的结果为偶数。例 2：将 1，2，99 重新排列成 a1，a2，a99，求证：乘积(a11)(a21)(a991)一定是偶数。()解：1，2，99 中有 50 个奇数，49 个偶数，-.word.zl-a1，a2，a99中也有 50 个奇数，49 个偶数，所以 a1，a3，a5，a99这 50 个数中必有一个是奇数，设其中ak是奇数，那么：akk 是两个奇数之差，因而是偶数，所以a11a21a991一定是偶数。练习练习 1.21.2()1、5 个连续偶数的和是 320，这五个连续偶数分别是几？2、用 15、16、

21、17、18、19 这五个数两两相乘，可以得到10 个不同的乘积，问乘积中有多少个偶数？3、一次舞会有七名男士和七名女士参加,一名男士和一名女士在一起跳为跳一次舞,会后统计出有 8 人各跳了 6次,有 5 人各跳了 3 次,问余下的一人至少跳了几次？4、13 个不同的自然数之和等于100,其中偶数最多有几个偶数最少有几个第二节分解素因数第二节分解素因数1.51.5 素数、合数与分解素因数素数、合数与分解素因数-.word.zl-素数：一个数，如果只有素数：一个数，如果只有 1 1 和它本身两个因数，这样的数叫做素数和它本身两个因数，这样的数叫做素数(prime number)(prime num

22、ber)或质数。或质数。100100 以的质数表：以的质数表：100100 以共有以共有 2626 个质数，具体为：个质数，具体为：2 2、3 3、5 5、7 7、1111、1313、1717、1919、2323、2929、3131、3737、4141、4343、4747、5353、5959、6161、6767、7171、7373、7979、8383、8989、9797。熟记。熟记 2020 以的全部素数。以的全部素数。合数：一个数，如果除了合数：一个数，如果除了 1 1 和它本身还有别的因数，这样的数叫做合数和它本身还有别的因数，这样的数叫做合数(posite number)(posite

23、number)。重点注意：重点注意：1 1 既不是质数也不是合数；既不是质数也不是合数；2 2 是最小的质数，也是唯一的偶质数；是最小的质数，也是唯一的偶质数；4 4 是最小的合数；是最小的合数；正整数可以分成质数、合数和正整数可以分成质数、合数和 1 1。因此，一个数是质数就一定不是合数，是合数就一定不是质数。因此，一个数是质数就一定不是合数，是合数就一定不是质数。素因数：每个合数都可以写成几个素数相乘的形式，其中每个素数都是这个合数的因数，叫做这个合数的素因数：每个合数都可以写成几个素数相乘的形式，其中每个素数都是这个合数的因数，叫做这个合数的素因数素因数(也叫质因数也叫质因数)。例如 1

24、5=35，3 和 5 叫做 15 的素因数。例 1：判断 11 是素数还是合数？()解：1100111111111111113000000111111111111113000000111111113000001所以，11 是合数。例 2：桌子上有一堆石子共 1001 粒，第一步从中扔去一粒石子，并将余下的石子分成两堆。以后的每一步，都从某个石子数目多于 1 的堆中扔去一粒，再把这堆分成两堆，试问：能否在假设干步以后，使桌上的每一堆中都刚好有 3 粒石子？()小明：我家的门牌号是最小的质数和最小的合数分别连续写两次。小丽：我家的门牌号是 10 以的奇数从大到小排列。你知道小明家和小丽家的门牌号分

25、别是多少吗？解：假设结果可能，并设最后剩下n 堆，每堆 3 粒，那么在此之前一共进展了n1次操作，而每次操作都扔去一粒，所以一共扔去n1粒，因此 3nn11001，即 4n1002因为 4n 是 4 的倍数，而 1002 不是 4 的倍数，这样就产生了矛盾，所以，假设不成立。所以，不可能在假设干步以后，使桌上的每一堆中都刚好有3 粒石子。-.word.zl-分解素因数：把一个合数分解成假设干个素因数相乘的形式，即求素因数的过程叫做分解素因数。把一个分解素因数：把一个合数分解成假设干个素因数相乘的形式，即求素因数的过程叫做分解素因数。把一个合数分解素因数，通常可用“短除法或“树枝分解法。合数分解

26、素因数，通常可用“短除法或“树枝分解法。用短除法分解素因数的步骤：用短除法分解素因数的步骤：先用一个能整除这个合数的素数通常先用一个能整除这个合数的素数通常 从最小的开场去除；从最小的开场去除；得出的商如果是合数，再按照上面的方法继续除下去，直到得出的商是素数为止；得出的商如果是合数，再按照上面的方法继续除下去，直到得出的商是素数为止；然后把各个除数和最后的商按从小到大的顺序写成连乘的形式。然后把各个除数和最后的商按从小到大的顺序写成连乘的形式。例 3：把 60 分解质因数：26 023 031 5560=2235。树枝分解法：树枝分解法：例 4：把 60 分解质因数：602302153560

27、=2235。一个数的因素个数的计算诀窍：用分解素因数的方法将这个数分解成素因数的乘积，并将一样的素因数用一个数的因素个数的计算诀窍：用分解素因数的方法将这个数分解成素因数的乘积，并将一样的素因数用幂次方的形式表示，幂次方的形式表示，那么因素个数各素因数的幂次方分别加那么因素个数各素因数的幂次方分别加1 1 后相乘，后相乘，如：如：42000420002 2 3 35 5 7 7，那么那么 4200042000的因素有的因素有(4(41)1)(1(11)1)(3(31)1)(1(11)1)8080 个。个。()素数与合数的性质：素数与合数的性质：素数有无数多个。素数有无数多个。2 2 是唯一的偶

28、素数。大于是唯一的偶素数。大于 2 2 的素数必为奇数。如果两个素数的和或差是奇数，那么其中必有一个是的素数必为奇数。如果两个素数的和或差是奇数，那么其中必有一个是2 2；如果；如果两个素数的积是偶数，那么其中也必有一个是两个素数的积是偶数，那么其中也必有一个是2 2。假设素数假设素数 p pabab，那么必有，那么必有 p pa a 或或 p pb b。()假设正整数假设正整数 a a、b b 的积是素数的积是素数 p p，那么必有，那么必有 a ap p 或或 b bp p。()-.word.zl-4 43 3-唯一分解定理：任何整数唯一分解定理：任何整数n nn n1 1可以唯一地分解为

29、：可以唯一地分解为：n np p1 1p p2 2p pk k，p p1 1p p2 2p pk k是素数；是素数；a a1 1，a a2 2，a ak k是正整数。是正整数。()例 5：四个质数满足 p1p2p3p4，且 p1p2p3p4511，试求这四个质数。()解：由于 511 是奇数，所以这四个质数不都是奇数，其中必有偶质数2，即 p12，代入得：p2p3p4507因为 50752923，所以 p419，22222222222a1a1a2a2akak假设 p419，那么 p2p3146,可知 73p3146，p311，p25；假设 p417，那么 p2p3218,可知 109p3218

30、，p311 或 13，p311 时，p297，p2无解；p313 时，p249，p27；所以，这四个质数为 2、5、11、19 或 2、7、13、17。例 6：当 x 取 1 到 10 之间的质数时，四个整式：x 2、x 4、x 6、x 8 的值中，共有质数多少个？()解：1 到 10 之间的质数有 2、3、5、7，由于 2 是偶数，所以可用质数为3、5、7。当 x3 时，x 211，x 413，x 615，x 817，有 11、13、17 三个质数；当 x5 时，x 227，x 429，x 631，x 833，有 29、31 两个质数；当 x7 时，x 251，x 453，x 655，x 8

31、57，有 53 一个质数；所以，共有 6 个质数。例 7：三个质数的积等于它们的和的11 倍，求这三个质数。()解：设这三个质数分别为P、Q、R，那么有：PQR11PQR可知，必有一质数为 11，设 R11，那么：PQPQ11，PQPQ11，PQ1Q112，P1Q112，设 PQ，-.word.zl-222222222222222222222-所以 P11，Q112，或 P12，Q16，或 P13，Q14，得：P2，Q13，或 P3，Q7，或 P4，Q5不符合质数的条件，舍去，故所求的三个质数为 2、11、13 或 3、7、11。练习练习 1.3(1)1.3(1)()1、在 1 到 100 这

32、 100 个自然数中任取其中的n 个，要使这 n 个数中至少有一个合数，那么n 至少是多少？2、有三卡片，在它们上面各写着一个数字 2、3、4，从中抽出一、二、三按任意顺序排列起来，可以得到不同的一位数、二位数、三位数，请你将其中的质数都写出来。3、P，P10，P14 都是质数，求所有这样的数P。练习练习 1.3(2)1.3(2)()1、分解素因数：45，88，126。2、农民用几只船分三次运送 315 袋化肥，每只船载的化肥袋数相等且至少载7 袋，问每次应有多少只船，每只船载多少袋化肥？每只船至多载50 袋化肥3、在乘积 1000999998321 中，末尾连续有多少个0？-.word.zl

33、-4、三个质数 a、b、c，它们的积等于 30，求适合条件的 a、b、c 的值。5、证明：存在 2006 个连续数，它们都是合数。1.51.5 公因数与最大公因数公因数与最大公因数 公因数：几个数公有的因数，叫做这几个数的公因数；其中最大的一个叫做这几个数的最大公因数。公因数：几个数公有的因数，叫做这几个数的公因数；其中最大的一个叫做这几个数的最大公因数。如果如果 a a1 1，a a2 2，a an n和和 d d 都是正整数，且都是正整数，且 d da a1 1,d,da a2 2,，d da an n，那么，那么 d d 叫做叫做 a a1 1，a a2 2，a an n的公因数，的公因

34、数，公因数中最大的叫做最大公因数，记作公因数中最大的叫做最大公因数，记作a a1 1，a a2 2，a an n。()-.word.zl-互质数：公因数只有互质数：公因数只有 1 1 的两个数，叫做互质数，也叫互素。的两个数，叫做互质数，也叫互素。成互质关系的两个数，有以下几种情况：成互质关系的两个数，有以下几种情况：1 1 和任何自然数互质；和任何自然数互质；相邻的两个自然数互质；相邻的两个自然数互质；两个不同的质数互质；两个不同的质数互质；相邻的两个奇数互质；相邻的两个奇数互质；当合数不是质数的倍数时，这个合数和这个质数互质；当合数不是质数的倍数时，这个合数和这个质数互质；两个合数的公因数

35、只有两个合数的公因数只有1 1 时，这两个合数互质；时，这两个合数互质；如果几个数中任意两个都互质，就说这几个数两两互质。如果几个数中任意两个都互质，就说这几个数两两互质。两个数的最大公因数的特殊情况：两个数的最大公因数的特殊情况：如果较小数是较大数的因数，那么较小数就是这两个数的最大公因数；如果较小数是较大数的因数，那么较小数就是这两个数的最大公因数；如果两个数是互质数，它们的最大公因数就是如果两个数是互质数，它们的最大公因数就是1 1。求几个数的最大公因数的方法：求几个数的最大公因数的方法：列举法：分别列举出每个数的所有因素，然后从公因数中找出最大的一个公因数，就是这几个数的最大公列举法：

36、分别列举出每个数的所有因素，然后从公因数中找出最大的一个公因数，就是这几个数的最大公因数。因数。分解素因数法：分别将每个数分解素因数，然后将所有公有的素因数连乘，所得的积就是它们的最大公因分解素因数法：分别将每个数分解素因数，然后将所有公有的素因数连乘，所得的积就是它们的最大公因数。数。短除法：用所求的几个数的公因数去除这几个数，除到所得的商没有公因数为止，然后将左边除数连乘，短除法：用所求的几个数的公因数去除这几个数，除到所得的商没有公因数为止，然后将左边除数连乘，所得的积就是它们的最大公因数。所得的积就是它们的最大公因数。例 1：用短除法求 12 和 42 的最大公因数。212423621

37、2712 和 42 的最大公因数是 236。例 2：用短除法求 84、126 和 210 的最大公因数。284126210342631057142135235-.word.zl-84、126 和 210 的最大公因数是 23742。例 3：在 3 和 9、4 和 9、3 和 7、7 和 14、14 和 15 五对数中，哪几对数是互素的？解：根据互素的概念，如果两个整数只有公因数1，那么这两个数互素。所以，在这五对数中，4 和 9、3 和 7、14 和 15 这三对只有公因数 1，所以这三对数互素。例 4：植树节这天，教师带着24 名女生和 32 名男生到植物园种树。教师把这些学生分成人数相等的

38、假设干个小组，每个小组中男生人数相等。请问，这56 名同学最多能分成几组？解：分成的组数能整除 24 和 32，也就是 24 和 32 的因数，题目实际上是求24 和 32 的最大公因数。24，328答：这 56 名同学最多能分成 8 个组。练习练习 求 8，9 和 30 的最大公因数。求 18 和 30 的最大公因数。用短除法求 60 和 72 的最大公因数。用短除法求 48、72 和 120 的最大公因数。练习练习 1.41.4()-.word.zl-1、2520 的因数有多少个？2、求 24，44，60 的最大公因数。111113、分数是不是最简分数？150154、一块长方形木料，长72

39、cm，宽60cm，高36cm，请你把它锯成同样大的正方形木块，且木块的体积要最大，木料又不能剩，算一算可以锯成几块？5、有一级茶叶 165 克，二级茶叶 198 克，三级茶叶 242 克，三者价值相等，现将这三种茶叶分别装袋均为整克数，每袋价值相等，价格最低，怎样分装？1.61.6 公倍数与最小公倍数公倍数与最小公倍数 公倍数和最小公倍数：两个或多个数都有的倍数，叫做这几个数的公倍数；其中最小的一个，叫做这几个公倍数和最小公倍数：两个或多个数都有的倍数，叫做这几个数的公倍数；其中最小的一个，叫做这几个数的最小公倍数。数的最小公倍数。如果如果 a a1 1，a a2 2，a an n和和 m m

40、 都是正整数，且都是正整数，且a a1 1m,m,a a2 2m,，m,，a an nm，那么m，那么m m 叫做叫做 a a1 1，a a2 2，a an n的公倍的公倍数，公倍数中最小的叫做最小公倍数，记作数，公倍数中最小的叫做最小公倍数，记作a a1 1，a a2 2，a an n。几个数的公因数的个数是有限的，而几个数的公倍数的个数是无限的。几个数的公因数的个数是有限的，而几个数的公倍数的个数是无限的。-.word.zl-两个数的最小公倍数的特殊情况：两个数的最小公倍数的特殊情况：如果较大数是较小数的倍数，那么较大数就是这两个数的最小公倍数；如果较大数是较小数的倍数，那么较大数就是这两

41、个数的最小公倍数；如果两个数是互质数，那么这两个数的积就是它们的最小公倍数。如果两个数是互质数，那么这两个数的积就是它们的最小公倍数。求几个数的最小公倍数的方法：求几个数的最小公倍数的方法：枚举法：分别列出每个数的倍数，然后找出它们的公倍数，其中最小的一个就是它们的最小公倍数。枚举法：分别列出每个数的倍数，然后找出它们的公倍数，其中最小的一个就是它们的最小公倍数。分解素因数法：分别将每个数分解素因数，然后取它们所有公有的素因数，再取它们各自剩余的素因数，分解素因数法：分别将每个数分解素因数，然后取它们所有公有的素因数，再取它们各自剩余的素因数，将这些素因数连乘，所得的积就是这两个数的最小公倍数

42、。将这些素因数连乘，所得的积就是这两个数的最小公倍数。短除法：短除法：a.a.两个数的最小公倍数：用两个数的公因数去除这两个数，除到所有的商互素为止，然后将所有除数和最后两个数的最小公倍数：用两个数的公因数去除这两个数，除到所有的商互素为止，然后将所有除数和最后得到的商连乘，所得的积就是这两个数的最小公倍数。得到的商连乘，所得的积就是这两个数的最小公倍数。b.b.三个数的最小公倍数：首先，用三个数的公因数去除每个数，除到三个数的商互素为止；其次，再用每两三个数的最小公倍数：首先，用三个数的公因数去除每个数，除到三个数的商互素为止；其次，再用每两个数的公因数去除每个数，除到三个数的商成为两两互素

43、任意的两个商互素为止；第三，把这些除数个数的公因数去除每个数，除到三个数的商成为两两互素任意的两个商互素为止；第三，把这些除数和最后的商相乘，所得的积就是这三个数的最小公倍数。和最后的商相乘，所得的积就是这三个数的最小公倍数。例 1：用短除法求 12 和 42 的最小公倍数。2124236212712 和 42 的最小公倍数是 232784。例 2：用短除法求 84、126 和 210 的最大公因数。28412614434263727142124223243131211484、126 和 210 的最小公倍数是 237231141008。例 3：求 18 和 30 的最小公倍数。解：方法一：方

44、法一：18 的倍数有 18，36，54，72，9030 的倍数有 30，60，90，120，150所以 18 和 30 的最小公倍数为 90。-.word.zl-方法二：方法二：把 18 和 30 分解质因数：1823330235取出所有公有的素因数1 个 2 一个 3，再取各自剩余的素因数3 和 5，将这些连乘，即：233590，所得的积 90 即是它们的最小公倍数。方法三：方法三：2183039153518 和 30 的最小公倍数是 233590。例 4：一些小朋友分组做游戏，第一次分组每组4 人余下 2 人，第二次分组每组5 人也余下 5 人，第三次分组每组 6 人还是余下 2 人。问最

45、少有多少名小朋友做游戏？解：根据题意，要求最少有多少名小朋友做游戏，就是在求出4、5、6 这三个数的最小公倍数后，再加上2。24562534、5、6 的最小公倍数是 225360，60262名答：最少有 62 名小朋友在做游戏。例 5：三角形三边的长a、b、c 都是整数，且a，b，c60，a，b4，b，c3，求abc 的最小值。解：因为a，b4，b，c3，所以 b 必须是 43 的倍数，由于是求 abc 的最小值，可以设定b 为 12，根据a，b4，也可以设定 a 为 4，因为a，b，c60，b，c3，所以 c 至少必须有 3、5 两个因素，c 最小为 15，所以，abc 的最小值为 4121

46、531。答：abc 的最小值为 31。-.word.zl-练习练习 求最小公倍数。31 和 937 和 13 用短除法求最小公倍数：24,36 10,12,15某车站,每隔 8 分钟开出一辆电车,每隔 10 分钟开出一辆汽车。上午 9 时,有一辆电车与一辆汽车同时开出,求 9时以后再过多久电车与汽车第一次同时发车？重阳节,欣欣中学的师生到敬老院看望老人,他们共准备了 320 个苹果，240 个橘子，200 个梨，来慰问老人。问用这些果品,最多可以分成多少份同样的礼物(水果必须全局部完)？在每份礼物中,苹果、橘子、梨各多少个？-.word.zl-在火车站，地铁 1 号线每隔 3 分钟发车，轨道交通 3 号线每隔 4 分钟发车，轨道交通 4 号线每隔 5 分钟发车。如果 1 号线、3 号线、4 号线早上 6:00 同时发车，那么至少再过多少时间它们又同时发车？练习练习 1.51.5()1、求 2520 和 5940 的最大公因数和最小公倍数。2、用分解质因数的方法求 24 和 90 的最大公因数和最小公倍数。3、三、四、王五三位同学分别发出新年贺卡 x、y、z。如果 x、y、z 的最小公倍数为 60，x 和 y 额最大公因数为 4，y 和 z 的最大公因数为 3，那么三发出的新年贺卡共有多少？-.word.zl-