第9讲 回归旋转设计

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1、第九讲 回归旋转设计分析方法REGRESSION ROTATABLE DESIGN回归旋转设计是在回归正交设计的基础上发展而来的。但后者的预测值 Y 的方差很大程度上依赖于 试验点在因子空间的位置。由于误差的干扰，试验不能根据预测值直接寻找最优区域。若使用二次设计 具有旋转性，便能使与试验中心点距离相等的试验点上的预测值方差相等。将有助于克服回归正交设计 的不足。故此，本讲着重讨论二次回归旋转设计及分析。第一节 二次通用旋转设计的方法一、试验点的确定二次旋转设计也是一种组合设计（为克服试验规模过于庞大，在因素空间中选择 n 类具有不同特点 的点，把它们适当组合起来而形成试验计划）。它的试验处理

2、数目 N 由三部分组成，即：N=m +2 +m（91）c P 0其中：m为所选用正交表中的全试验数；p为试验因素的个数；叫为各因素零水平组成的中心试验c0点的重复数。N个试验点是分布在三个半径不相等的球面上。其中mc个点分布在半径pc=； p的球面上；2p个点 分布在半径pY=Y的球面上；m0个点集中在半径p0=O的球面上。因此，它满足了旋转性和非退化性。有关m0的重复次数，二次旋转组合设计对m0的选择是自由的，即使中心点的试验一次也不做，也 不会影响旋转性，但中心点附近区域往往是我们所关心的区域，而且中心点重复试验能给出回归方程在 中心点的拟合情况。所以，中心点m0的重复试验是很有必要的。叫

3、因p不同而不同。现将通用旋转设 计的一些有关参数列于表 91，供设计时查用。表 9 1 二次通用旋转设计的参数表因素个数（p）Nm2p叫Y2134451.443208661.68243116872.0005（1/2实施）32161062.0006（1/2实施）53321292.3787（1/2实施）926414142.8288（1/2实施）16512816213.3648（1/4实施）936416132.828表 91 中 Y 值可按下式计算y = 2（ 4 ）（92）式中：p为因素个数；i为实施情况，当试验全实施时i=0, 1/2实施时i=l； 1/4实施时i=2。、二次旋转计划的安排设为研

4、究的因素有p个，分别以zz2、Zp表示，每因素的上水平为zi2，下水平为zii,零水 平为Z,0，变动区间（Ai）为：11i0Zi0Z + Z ili-2-2(9 - 3)A Z Z(9 - 4)二一v2HiY其中r值可按p的个数及实施情况查表91或按92式计算，然后编制因素水平的编码表9一2。表 9 2 因素水平的编码表xiaY1Z1Z12Z +10 1Z10Z 10 1Z-4Z22Z +20 2Z20Z 20 2Z21ZZP2Z +P0 PZP0Z P0 pZ-1(95)9一6)第二节 二次通用旋转设计的结果分析、回归系数的计算在二次通用旋转设计中，回归系数按下列各式计算pb 二 K 工

5、y + E 工(工 x2 y )(a 二 1,2, N)0aia a1b = e 1 工 x yi ia ab = m -1 工(x.x .) yi j ci j a apb. = (F G)工 x2 y + G 工(工 x2 y ) + E 工 yi iia aia aa1式中各常数e，k，E，F，G等按下式计算：e = m + 2 r 2cf = m + 2 r 4cH = 2 r 4 Nf + (p 一 1) Nm 一 pe 2 cK = 2 r 4 H 1 f + (p 1) m cF = H -1Nf + (p 2)Nm (p 1)e 2 cE = 2 H 1 er 4G = H 1

6、 (e 2 Nm )c式中的N , mc，p，r值均按p的个数查表9一1所得，如p=2时，查表9一1，得N=13, mc=4, r=1.414, 代入（ 9一6）式得：e = 4+2(1.414)2 = 8f = 4+2(1.414)4=11.995H = 2(1.414)413X 11.995+ (2-1) 13 X 4 - 2 X 82=639.094为方便见，一些常用的数据列于表93中，以供查用。表 9 3 二次通用旋转组合设计的一些常数因素个数PKEFGe20.20000-0.10000.14370.01878.00030.1663-0.05680.06940.006913.65640

7、.1428-0.003570.03500.003724.0005（1/2实施）0.1591-0.03410.03410.002824.00050.0988-0.01910.01800.001543.3146（1/2实施）0.01108-0.01870.01680.001243.3147（1/2实施）0.0703-0.00980.00830.000580.000回归方程的显著性检验设二次通用旋转设计 N 个组合的试验结果为 Y1，Y2，Y , n则它们的总平方和与自由度为SST y 2 - (S y )2 / Ndf = N - 1T(9-7)剩余平方和与自由度为SS = S y 2 - b S

8、 y - S(b S x.y) - Sb . S(x.x .)y - S(b . S x2y) Q 0 i i i j i ji iidf = N - C 2J QP + 2回归平方和与自由度为：SSUdf=SSy - SS Q =C2-1 IP+299)误差平方和与自由度为：910)911)SS =S(y - y )2 = S y2e000 1df m 一 1e0 失拟平方和与自由度为：SS SS - SS失 Q e fdf N - c 2- m + 1失 p+ 20 IS2e检验时先对失拟均方进行显著性检验，即912)若不显著，可对回归方程进行显著性检验；若 F 值显著或极显著，则要进一步

9、考察原因，改变二次 回归模型，说明存在着不可忽略因素的影响。对回归方程进行显著性检验，即：S 2F = fS2Q913)三、回归系数的显著性检验可采用 t 测验，即：bt二匚0-cKS 2ebt.二 i=1 e 1S 2etijtiibIFS 2e914)若S失不显著(9-12)可用 s2 代s2 (9-14)Qe第三节 二次通用旋转设计的实例分析一、编制编码表安排试验有一个二因素的试验，各个因素的水平编码如表9一4,由表91查得Y =1.628，于是，表9一4 中的变动区间 i为：Z - Z二一2101Y80 551.682=14.86 152= Z 22 - Z 20 =型二70 = 29

10、 .73 心 30 2Y1.682300 1501 .682=89.1 89Z1Z1Z2Z2Z3Z3于是可得表9-5(+1) =Z + =55+15=7010 1-1) =Z - =55-15=4010 1(+1) =Z + =70+305=10020 2-1) =Z - =70-305=4020 2(+1) =Z + =150+89=239303-1) =Z - =150-89=61303表94二个因素水平编码表因素ZZZX.、123+Y80120300+17010023905570150-1404061-Y30200i1153089按通用旋转设计，查表91,三个因素的处理组合N=20，其中

11、m=8, 2p=6,叫=6, c0的 20 个处理组合，其中：处理 1 为：x1=70，x2=100，x3=239处理 2 为：x1=70，x2=100，x3=61IIIIIIIIIIII处理 9 为：x1=80，x2=70，x3=150处理 10 为：x1=30，x2=70，x3=150IIIIIIIIIIII处理 15-20 为：X=55 , x2=70, x3=150经试验后，把试验结果列于表9-5中的最后一列（y）。表 9-5 三因素二次通用旋转设计结果处理号xxxxx xx xx xx 2x 2x 2yOc 7co231 2132 3231111111111148.52111-11-

12、1-111124.2311-11-11-111172.0411-1-1-1-1111143 .551-111-1-1111132.261-11-1-11-111115.971-1-111-1-111145.381-1-1-111111130.4911.682000002.8280053.6101-1.682000002.8280028.411101.682000002.828029.11210-1.682000002.828056.8131001.682000002.82852.114100-1.682000002.82814.315100000000043.316100000000042.2

13、17100000000043 .518100000000043.619100000000042.320100000000044.0工 x.y 805.2106.78-116 .99147.58-15.221.6- 2.8543.9554.93499.78、试验结果分析一) 由表( 9-3)中查得有关常数代入( 9-5)式计算各回归系数pb 二 K 工 y + E 工(工 x2 y )二 0.1663 x 805 .2 - 0.0568 (543 .9 + 554 .93 + 499 .78)二 43 .104 0 a ia a1b = Z x y / e = 106 .78 /13 .656

14、= 7.81911 a ab = Z x y / e = -116 .99 /13.656 = -8.5672 2 a ab = Z x y / e = 147 .58 /13 .656 = 10.8073 3 a ab= Z (xx)y/ m= -15.2/8 = -1.901 212aacb= Z(xx)y/m= 21 .6 /8 = 2.701 313aacb= Z(xx)y/m= -2.8 /8 = -0.352323aacbii = (F - G)工 x2 y + G 工(工 x2 y ) + E 工 y11 1a a ia a a=(0.0694 - 0.0069 )543 .9

15、+ 0.0069 (543 .9 + 554 .93 + 499 .78) - 0.0568 x 805 .2 = -0.711b= (F - G)工 x2 y + G 工(工 x2 y ) + E 工 y22 2 i+ 499 .78) - 0.0568 x 805 .2 = -0.022+ 499 .78) - 0.0568 x 805 .2 = -3.469=(0.0694 - 0.0069 )554 .39 + 0.0069 (543 .9 + 554 .93b33 = (F - G)工 x2 y + G 工(工 x2 y ) + E 工 y333i=(0.0694 - 0.0069

16、)449 .78 + 0.0069 (543 .9 + 554 .93于是得到回归方程为：y = 43-104 + 7-819 x 1 - 8-567 x2 + 10-807 x3 - 1-90 x 1 x2 + 2-70 x 1 x3 - 0-35 x2 x3 - 0-711 x 12 - 0.022 x2 - 3-469 x2二) 回归方程的显著性检验，依公式可得下列各平方和及自由度。SS T = Z y 2 (工 y)2 / N = 36108 .9 (805 .2)2 / 20 = 3707 .65SS = Z Y 2 - b0 Z y -Z(b. Z x.y) - Z(bij Z(x

17、.xj)y) - Z(bii Z x2 y)Q0iiii=36108 .9 - (43 .104 x 805 .2) - (7.819 x 106 .78) + (-8.567 x -116 .99) + (10.8 x 147 .58) - (-1.9 x -15.2) + (2.7x21.6)+(-0.35x-2.8)-(-0.711x543.9)+(-0.022 x554.93)+(-3.469 x499.78)=13 .974SS = SS - SS = 3707 .65 - 13 .974 = 3693 .676U T QSSe =Zy 0 - ( Z y 0)20=43 .34 2

18、 + 42.22 + + 4.42-(43.3 + + 4.4)2. 6 = 3.1081SS =SS SS =13.9743.108=10.866失 Q edf =N1=201=19TdfQ=NC52=2010=10df = C 2 1=9U C 5dfe=m 1=61=50df =20106+1=5失对失拟均方进行显著性检验依S 210.866.： 5F = 3.496S23.108 5Q查F值表，F005(5 5)=5.05, p0.05，说明不存在其它有影响的因素，故可作方差分析。表 9-6 回归结果的方差分析变异来源dfSSMS( S 2)FF回归93693 .676410 .408

19、0 .01293.69*4.94剩余1013 .9741.397总变异193707 .650F 检验结果表明：二次回归方程与实际情况拟合很好，可用来预测，试验误差方差的估计值为& = ms = 13.974 /10 = 1.397，相关指数 R2=3693.676/3707.65=0.9962。eQ三) 回归系数的显著性检验t = b KS 2 = 43.104 ； “0.1663 x 1.397 = 89 .43 * *00Qt3t1t2=7.8913 .656 -1 x 1.397 = 24.67 *=-8.56713.656 j x 1.397 =26.79 *=b :m 1S 2=1.

20、901.397 /8 = 1.90 /0.418 = 4.55 *12丿V cQ/ r=b /m -1S 2=2.70 /0.418 = 6.46 *12 cQ/ f=b :m -1S 2=0.35 /0.418 = 0.8423 -1 cQ=10 .807 J .656 j x 1.397 = 33 .79 * *t12t13t23t = b FS 2 = - 0.711.0.0694 /1.397 = -0.711 /0.3114 = -2.28 *1111Qt = b FS 2 = -0.022 /0.3114 = -0.072222Qt = b .FS 2 = -3.469 /0.31

21、14 = -11.14 *3333Q查 t 值表， t=2.228， t=3.169，故最优回归方程为：0.05(10)0.01(10)y = 43.104 + 7.819 x 8.567 x + 10.807 x 1.90x x + 2.7x x 0.711 x2 3.469 x21231 21 313由于在计算过程中对X、x2、x3的水平进行了标准化处理，故X、x2、x3应该分别用(X 55) /15、 (x270) /30、(x3 150) /89取代。整理后的最优回归方程为：y = 2.1355 + 0.8673 x 0.05461 x + 0.1314 x 0.0042 x x +

22、0.0020 x x 0.0032 x2 0.0004 x2 1231 21 313该最优回归方程的估测误差为：S 2.74554 /12 = 0.4783，相关指数R2=3704.9045/3707.65=0.9993。 y。说明用该回归方程估测 y 的准确性极高。习题9.1为研究不同营养成份对奶牛产奶量的影响，试验设饲料中3种营养成份（因素丿X、x2、x3的水 平变化范围：xt为300400、x2为100150、x3为1.21.8,试验米用二次旋转设计，各个因素的水平编码如表 9-7。试验结果（产奶量）列于表 9-8 中的最后一列（ y）。试作试验结果的分析。表9-7三个因素水平编码表因素

23、XX2X3xi ia+Y4001501.8+13801401.703501251.5-13201101.3-Y3001001.21i30150.2表 9 8 三因素二次通用旋转设计结果处理号xxxoxCx xx xx xccx 2x 2ox 2cyJ1 213JJJ1111111111148002111-11-111115050311-11-1111113900411-1-1-1-11111475051-111-1-11111360061-11-1-111111370071-1-111-11111370081-1-1-11111113850911.682000002.828005200101-

24、1.682000002.82800360011101.682000002.828044001210-1.682000002.82803950131001.682000002.828470014100-1.682000002.8284750151000000000485016100000000045501710000000004400181000000000430019100000000047502010000000004350工x.y871506341 .21706 .91434 .1145085065058236 .456963 .860074 .6i a（答案：y = 4475.8 - 4

25、64.3x + 124.98x + 181.25 x x x -173.25 x2，其中，xl=区-350）/50, X=（X2-125 ）1 2 1 2 2 1 2 2/25,整理后的最优回归方程为：y = 2613 .3 - 8.839 x + 23.55x + 0.145 x x x - 0.2772 x2，其中，b1，P0.01 ；1 2 1 2 2 1b4， P0.05； b2、b3， P0.1； R2=0.7885。）9.2有一再生稻的栽培试验，考察因素分别为播量（x1，kg）、秧龄（x2，天）、密度（x3，万株亩）、 N肥（x4, kg）、P肥（x5，kg）。试验采用5因素二次旋

26、转设计，1/2实施。各考察因素所设的上、下水 平及水平编码如表9-9。试验结果（产量，公斤7亩）列于表9-10中的最后一列（y）。试作试验结果的分 析。（答案：在 x1=（x1-20） /5， x2=（x2-30） /5， x3=x3-3， x4=（x4-10） /2.5， x5=（x5-5） /2.5 时，122334455y = 474 .351 + 3.0542 x + 5.5875 x + 3.7792 x + 9.2041 x + 3.8938 x x + 5.0188 x x13451 21 3， R2=0.8667）。+ 7.4312 x x + 4.3563 x x + 4.3

27、063 x x 12.1865 x2 2.7365 x2 3.624 x22 53 54 5145表 9 9 三个因素水平编码表因素xia、x1亏x3x4x5+Y3040515.010.0+12535412.57.502030310.05.0-1152527.52.5-Y102015.00.5512.52.5Nqx0x1X 2X 3X 4x5X1 X 2x x13x 1 x 4x x1 5x x23x 2 x 4x x25x x34x x35x x45x1111111111111111121111-1-111-1-11-1-1-1-113111-11-11-11-1-11-1-11-14111

28、-1-111-1-11-1-111-1-1511-111-1-111-1-1-111-1-1611-11-11-11-11-11-1-11-1711-1-111-1-1111-1-1-1-11811-1-1-1-1-1-1-1-111111191-1111-1-1-1-1111-11-1-1101-111-11-1-11-11-11-11-1111-11-111-11-1-1-111-1-11121-11-1-1-1-1111-1-1-1111131-1-11111-1-1-1-1-1-1111141-1-11-1-11-111-111-1-11151-1-1-11-111-111-11-11

29、-1161-1-1-1-11111-111-11-1-1171-201000000000000418120100000000000041910-2000000000000020102000000000000021100-2000000000000221002000000000000231000-2000000000002410002000000000002510000-20000000000261000020000000000271000000000000000281000000000000000291000000000000000301000000000000000311000000000000000321000000000000000331000000000000000341000000000000000351000000000000000361000000000000000