定积分的几何应用(体积))

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1、 旋转体旋转体就是由一个平面图形饶这平面内就是由一个平面图形饶这平面内一条直线旋转一周而成的立体这直线叫做一条直线旋转一周而成的立体这直线叫做旋转轴旋转轴圆柱圆柱圆锥圆锥圆台圆台,bax 在在,ba上上任任取取小小区区间间,dxxx，dxxfdV2)(xdxx xyo旋转体的体积为旋转体的体积为dxxfVba2)()(xfy a aoyx,323232xay 332322 xay,aax 332222333302aaaVaxdxaxdx.105323a 33cossinxatyat 星形线是内摆线的一种星形线是内摆线的一种.点击图片任意处点击图片任意处播放开始或暂停播放开始或暂停大圆半径大圆半

2、径 Ra小圆半径小圆半径4ar 参数的几何意义参数的几何意义(当小圆在圆内沿圆周滚动当小圆在圆内沿圆周滚动时时,小圆上的定点的轨迹为内摆线小圆上的定点的轨迹为内摆线)aOyxt222333(0)xyaa或或xyo)(yx cddyy2)(dcVa2xyO例例2.计算摆线计算摆线)cos1()sin(tayttax)0(a的一拱与的一拱与 y0所围成的图形分别绕所围成的图形分别绕 x 轴轴,y 轴旋转而成的立体体积轴旋转而成的立体体积.绕绕 x 轴旋转而成的体积为轴旋转而成的体积为xyVaxd202022)cos1(2tattad)cos1(ttad)cos1(2033ttad2sin16063

3、uuadsin322063332 a6543212325aay)2(tu 令xyad202xyOa2a绕绕 y 轴旋转而成的体积为轴旋转而成的体积为)cos1()sin(tayttax)0(aa2yyxVayd)(202222)sin(ttattadsin2yyxad)(202122)sin(ttattadsin0注意上下限注意上下限!2023dsin)sin(tttta336a)(1yxx)(2yxx 分部积分分部积分202dsin)sin(tttt20322d)sinsin2sin(tttttt)(tu令uuusin)2(22uu2sin)(2uu dsin3(利用利用“偶倍奇零偶倍奇零”

4、)0dsin4uuu02dsin4uu24uudsin8202221842262202sin udu利用这个公式，可知上例中利用这个公式，可知上例中dxxfxVay|)(|220 20)sin()cos1()sin(2ttadtatta 2023)cos1)(sin(2dtttta.633a dxxfxVbay|)(|2 (0)ab如果旋转体是由连续曲线如果旋转体是由连续曲线)(xfy 、直、直线线ax 、bx 及及x轴所围成的曲边梯轴所围成的曲边梯形绕形绕y轴旋转一周而成的立体，体积为轴旋转一周而成的立体，体积为)cos1()sin(tayttax偶函数偶函数yV2043d2sin)sin(

5、8tttta2tu 令043dsin)2sin2(16uuuua2 uv令vvvvadcos)2sin2(164322奇函数奇函数336a 2023)cos1)(sin(2dtttta取取积积分分变变量量为为y,4,0 y体积元素为体积元素为dyQMPMdV22 dyyy)43()43(22 ,412dyy dyyV 40412.64 3dyPQM利用坐标平移：利用坐标平移：3xuyv24(3)=0uovvuvv在坐标系下旋转体即为即抛物线与所围成的图形绕 轴旋转所得。12524(3)Vuudu2222(3)(4)xxdx3ux令2222(3)(4)xxdx（）3Puv2()|()|baVmx

6、f xdx(0)ab如果旋转体是由连续曲线如果旋转体是由连续曲线)(xfy 、直、直线线ax 、bx 及及x轴所围成的曲边梯轴所围成的曲边梯形绕形绕 x=m(b)旋转一周而成的立体，体积为旋转一周而成的立体，体积为 xoabxdxx 如果一个立体不是旋转体，但却知道该立体上垂直如果一个立体不是旋转体，但却知道该立体上垂直于一定轴的各个截面面积，那么，这个立体的体积也可于一定轴的各个截面面积，那么，这个立体的体积也可用定积分来计算用定积分来计算.)(xA表表示示过过点点x且且垂垂直直于于x轴轴的的截截面面面面积积，)(xA为为x的已知连续函数的已知连续函数,)(dxxAdV .)(badxxAV

7、立体体积立体体积RR xyo解解:取坐标系如图取坐标系如图底圆方程为底圆方程为222Ryx 垂垂直直于于x轴轴的的截截面面为为直直角角三三角角形形x截面面积截面面积,tan)(21)(22 xRxA 立体体积立体体积dxxRVRR tan)(2122 .tan323 R ORx(,)x yyR思考思考:可否选择可否选择 y 作积分变量作积分变量?此时截面面积函数是什么此时截面面积函数是什么?如何用定积分表示体积如何用定积分表示体积?)(yA提示提示:tan2yx22tan2yRyVR0tan2yyRyd22设平面光滑曲线设平面光滑曲线(),yf xC a b求求上的圆台的侧面积位于d,xxxs

8、ySd2d积分后得旋转体的侧面积积分后得旋转体的侧面积xxfxfSbad)(1)(22,0)(xf且 它绕它绕 x 轴旋转一周所得到的旋转曲面的侧面积轴旋转一周所得到的旋转曲面的侧面积.取侧面积元素取侧面积元素:)(2xfxxfd)(12xxyO)(xfy ab222=+()()()()()()()()=2()1+()+()1+()=2()1+()Sf xf xx dsf xxf xdf xSf xf xdf x dsf xfx dxf x dxfx dxdSf xfx dx圆台测面积（上底半径 下底半径）斜高由微分近似公式有：扬弃高阶无穷小后，得：(0)dx xyO()yf xabsySd2

9、d侧面积元素侧面积元素xyd2dsdx若光滑曲线由参数方程若光滑曲线由参数方程)()()(ttytx给出给出,则它绕则它绕 x 轴旋转一周所得旋转体的轴旋转一周所得旋转体的)(2ttttd)()(22S注意注意:侧面积为侧面积为xyd2原因是的线性主部的线性主部.不是薄片侧面积不是薄片侧面积S xxfxfSbad)(1)(22R xyO例例5.计算圆计算圆上绕在,21222RRxxxRyxx 轴旋转一周所得的球台的侧面积轴旋转一周所得的球台的侧面积 S.解解:对曲线弧对曲线弧,2122xxxxRy应用公式得应用公式得212xxS22xR 21 22xRxxd21d2xxxR)(212xxR当球

10、台高当球台高 h 2 R 时时,得球的表面积公式得球的表面积公式24RS 1x2xOzyx旋转体的体积旋转体的体积平行截面面积为已知的立体的体积平行截面面积为已知的立体的体积 绕绕 轴旋转一周轴旋转一周x绕绕 轴旋转一周轴旋转一周y绕垂直于坐标轴的直线旋转一周绕垂直于坐标轴的直线旋转一周旋转体的侧面积旋转体的侧面积 (补充补充)解：解：xyo 14yxy交点交点),1,4(立体体积立体体积dyxVy 12dyy 1216 116y.16 1 y思考与练习思考与练习.轴所围图及表示xtxxfytV)0(,)()(2.设设)(xfy 在在 x 0 时为连续的非负函数时为连续的非负函数,且且,0)0

11、(f形绕直线形绕直线 xt 旋转一周所成旋转体体积旋转一周所成旋转体体积,证明证明:.)(2)(tftV 证证:xtxxd利用柱壳法利用柱壳法xxfxttVtd)()(2)(0 xxfttd)(20 xxfxtd)(20 xxftVtd)(2)(0)(2tft)(2tft)(2)(tftV 故故)(xfxOy3.设平面图形设平面图形 A 由由xyx222与与xy 所确定所确定,求求图形图形 A 绕直线绕直线 x 2 旋转一周所得旋转体的体积旋转一周所得旋转体的体积.提示：提示：选选 x 为积分变量为积分变量.由柱壳法旋转体的体积为由柱壳法旋转体的体积为V102d)2)(2(2xxxxx3221221Oyx1若选若选 y 为积分变量为积分变量,则则 V1022d)11(2yy102d)2(yyxyxy 4.求曲线求曲线132xy与与x 轴围成的封闭图形轴围成的封闭图形绕直线绕直线 y3 旋转得的旋转体体积旋转得的旋转体体积.(1994 考研考研)解解:利用对称性利用对称性,y10 x,22x21 x,42x故旋转体体积为故旋转体体积为V22 32 xxd)2(321022xxd)1(2361022xxd)1(22122xxd)1(2202215448在第一象限在第一象限 xxd)4(322122xyO3ABC21