定积分、广义积分

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1、一、基本概念及结论一、基本概念及结论1.定义：定义：表示一个数的取法无关，分法和极限存在应与bainiiibadxxfbaxfdxxf)(,)(lim)(102.可积可积(充分充分)条件：条件：存在；上单调有界，则在若可积；有限区间上的连续函数 badxxfbaxf)(,)()2()1(第五章第五章:定积分与广义积分定积分与广义积分存在。则一类间断点个第上分段连续但只有有限在若 badxxfbaxf)(,)()3(上有界；在存在若注：可积的必要条件：,)()(baxfdxxfba(4)定积分的几何意义定积分的几何意义:.;.)(的面积取负号轴下方在轴上方面积取正号在面积的代数和轴上各曲边梯形表

2、示底边在定积分xxxdxxfba baSdxxf)(曲边梯形的面积曲边梯形的面积 baSdxxf)(曲边梯形的面积曲边梯形的面积的负值的负值,0)(xf,0)(xfabxyooyabxabab0 1s2s3s321)(SSSdxxfba 3.3.定积分的性质定积分的性质:bababababaabbababadxxfkdxxkfdxxgdxxfdxxgxfdxxfdxxfdttfdxxf)()(,)()()()()(3(;)()().2(,)()()1(线性性质)(0)(;0)()4(连续xfdxxfdxddxxfbaaa );,()()()()5(述积分存在的位置不一定，只要上cbadxxfd

3、xxfdxxfbccaba babababadxxfdxxfdxxgdxxfbaxxgxf)()(,)()(,),()()6(比较性质：反之不然反之不然)0(0)(,)(xfbaxf上上连连续续，在在特特别别地地，若若,0)(0)(xfdxxfba)()()(,)()7(abMdxxfabmbaxMxfmba 有有估估值值定定理理：4121 dx)x(例例1.估计积分值估计积分值:,x)x(f12 解解在在1,4上的最小值、最大值分别为：上的最小值、最大值分别为：2,m .M1714 2 )(142 4121 dx)x()(1417 651 4121 dx)x(所以所以如果函数如果函数f(x)

4、在区间在区间a,b上连续，则在上连续，则在a,b上至上至少存在一点少存在一点使,)()(abfdxxfba(8)积分中值定理：积分中值定理：)()(1)()2(,)1(平均值内取得；可在定理中的 badxxfabfba 注注)()()(,)()(,)(:.9xfdttfdxdxxdxxfxbaxbaxfxaxa 并且有可导对则变上限积分上连续在设函数变上限积分求导)()()()()()3()()()()2()()()()1()()()()(xaxafxbxbfdttfdxdxaxafdttfdxdxbxbfdttfdxdxbxabxaxba 4.4.定积分的计算方法定积分的计算方法（1）New

5、tonLeibniz公式：公式：)()()()(aFbFxFdxxfbaba上的任一原函数在为其中,)()(baxfxF注注1：badxxfafbf)()()()()()()()()()()()()4()()()(xbxbfxgdttfxgdttfxgdtxgtfdxdxbaxbaxba 注注2 NewtonLeibniz公式表明：公式表明：(1)一一个个连连续续函函数数在在区区间间,ba上上的的定定积积分分等等于于它它的的任任意意一一个个原原函函数数在在区区间间,ba上上的的增增量量.(3)当当ba 时时，)()()(aFbFdxxfba 仍仍成成立立.(2)求定积分问题转化为求原函数不定积

6、分求定积分问题转化为求原函数不定积分的问题的问题.(2)(2)定积分的换元积分定积分的换元积分00 x(t)ba(t)()f(x)dxf (t)(t)dt 注：变量不必回代；用凑微分法求定积分时若用同注：变量不必回代；用凑微分法求定积分时若用同除法（同除一因子），此因子在积分范围内不能为除法（同除一因子），此因子在积分范围内不能为0.0.（3 3）定积分的分部积法）定积分的分部积法 bababavduuvudv注：注：u,dv 的选取与不定积分相同；的选取与不定积分相同；若被积函数中含有变上限积分或被积函数的若被积函数中含有变上限积分或被积函数的导数时一般用分部积分。导数时一般用分部积分。12

7、5.5.广义积分广义积分(1)无穷区间上的广义积分无穷区间上的广义积分(2)无界函数的广义积分无界函数的广义积分(瑕积分瑕积分)注：注：广义积分的计算转化为计算一个定积分的广义积分的计算转化为计算一个定积分的极限，极限存在时收敛，极限不存在时发散；极限，极限存在时收敛，极限不存在时发散；（3 3）性质：）性质：),()()()(为任意常数cadxxfdxxfdxxfcaca1aaadxxgdxxfdxxgxf)()()()(aadxxfkdxxkf)()(23分部积分公式分部积分公式aaavduuvudv45也有相应的换元法；也有相应的换元法；6)()()()(aFFxFdxxfaa7)()(

8、)()(FbFxFdxxfbb8)()()()(FFxFdxxf9)()()()(aFbFxFbdxxfbaba为瑕点记住以下几个广义积分的敛散性：记住以下几个广义积分的敛散性：时发散时收敛时发散时收敛时发散时收敛11)()3(11)(ln)2(11)1(121kkaxdxkkxxdxkkxdxakkk利用以上结论可直接判定一些广义积分的敛散性利用以上结论可直接判定一些广义积分的敛散性:2121310)(ln)(;)(;1)(;)()(.1xxdxDxdxCxdxBxdxA下列广义积分发散的是例.)(),(正确利用上述结论不难判定DC6.6.微积分的常用公式微积分的常用公式 aaaaxfxfd

9、xxfxfxfdxxfxfdxxfaaxf00)()(,)(2)()(,0)()()(,)()1(上连续，则上连续，则在在若若奇函数奇函数偶函数偶函数(2)若若,则则)()(xfTxf 220)()()(TTTTaadxxfdxxfdxxf )1(753)1(642,2642)1(531cossin)3(2020nn，nnnnnxdxxdxnn为正奇数为正奇数若若为正偶数为正偶数若若 dxxxfdxxxf 2020)sin,(cos)cos,(sin)4(dxxfdxxfdxxxf 2000)(sin)(sin2)(sin)5()2(tx 令令)(tx 令令二、基本问题及解法二、基本问题及解法

10、问题问题(一一)有关变上限积分的运算有关变上限积分的运算。、xdttfxbaxfxa求极值等导求求极限如可进行函数的各种运算的连续函数是则变上限积分上连续在如果,.)()(,)(xaxxtxxdttxfxfdtexfdttfxfdttxf)()()4(;)()3()()()2(;1)()1(.12320212求下列函数导数例)(22)()()2(;1)()1(:442xxfxxfxfxxf 解)32(32)()3(2322xxxxxexexexexf )()()()()4(xxfdttfdttfxxfxaxa 200arctanlim.2xtdtxx 求例21arctanlim212arcta

11、nlim)00(:00 xxxxxx型原式解dyxytdtdtexyt求函数的为确定设方程例,cos.42200 dxxxedyxdxxdyeyy22cos2,2cos)(:22 于是两端微分微分这是求变上限隐函数的解2121lim2limlimlim.322202022222222 xxxxeeexxedtetdtetxexxxxxxxtxxtxx例51)2(,1.1)32()(,1)1()1(,:23222 fxxxxxfxxxxfx得令即得求导方程两边对解)2()(),0)(.5)1(02fxdttfxfxx求上连续且满足在设例 问题问题(二二)：定积分的计算定积分的计算直接积分法01.

12、,莱莱布布尼尼兹兹公公式式计计算算顿顿找找到到一一个个原原函函数数代代入入牛牛凑凑微微分分的的方方法法基基本本积积公公式式直直接接利利用用积积分分性性质质.;,同的表达式同的表达式间所取的正负号或不间所取的正负号或不被积函数在不同积分区被积函数在不同积分区必须注意必须注意数形式时数形式时段函数以及要开方的函段函数以及要开方的函分分对值对值当被除数积函数出现绝当被除数积函数出现绝公式积分公式积分莱莱可直接或分段利用牛可直接或分段利用牛第一类间断点时第一类间断点时或出现有限个或出现有限个连续连续当被积函数在积分间上当被积函数在积分间上，、dxxx210212例例1.dxxx2102112dxx21

13、02112102)12(x210arcsinx632 102)21(xx212)21(xx 10)1(dxx21)1(dxx1)12122(211 例例3.求求dxxx 03sinsin解：由于被积函数解：由于被积函数|cos|sin)sin1(sinsinsin23xxxxxx 20|1|dxx例例2.cossin,02cossin,2xxxxxx32023322202sinsincossincossin224(sin)(sin)333xxdxxxdxxxdxxx0所以 16094xxdx求例dxxexx 11|.5求例1432932919991602323160160 xxdxxxxxdx

14、）（：解解1110011001)(212121:2222 eeeedxxedxxexxxx原式解24|2cos|22cos2cos1:cos1:202022020 dxxdxxdxxdxx 提示求练习换元积分法02.,)(,一样下需要换元与不定积分在什么情况换元的同时必须换限的导数上单值有连续在所作换元积分区间上连续应用中要求被积函数在 tx 例例1 计算计算 42022 dxxx解解:设,sin2tx 2 ttdtdxcos2 当当0 x时,0 t;当2 x时,于是于是,42022 dxxxtdtttcos2sin44)sin2(2202 dtt 202)2(sin4 dtt 20)4cos

15、1(2 20)4sin41(2 tt 例例2 计算计算.12240dxxx .3,4 txtdttt 312221 312)3(21dtt322 解解 设设,12tx ,212 tx,tdtdx ;1,0 txdxxx 40122313)331(21tt bababavduuvudv定积分的分部积分公式定积分的分部积分公式定积分的分部积分公式的适用范围及使用方法定积分的分部积分公式的适用范围及使用方法与不定积分类同与不定积分类同 分部积分法03例例1 计算计算 10arctan xx 1021dxxx.2ln214 4 102)1ln(21x .arctan10 xdx 10arctan xd

16、xudv例例2 计算.ln1 exdxx解解 exdxx1ln exdx12ln21 exx12ln21 edxxx1212122e ex1241412 e解解 令,tx 102dttet 102ttde 101022dtetett .22210 tee.1,1;0,0 txtx,2tx,2tdtdx 10dxex例例3.计算.10dxex)124(52520|:|.4212521231121 xdxxdxxxdxxx原式解求例 011022112)13()1()1|2(.5dxxdxxdxxx例例)12(2)cos(sin)sin(cos|cossin|)cos(sincossin212si

17、n1.62440202022020 dxxxdxxxdxxxdxxxdxxxdxx例广义积分的计算及判定04.,;,积分发散广义极限不存在时广义积分收敛极限存在时计算一个定积分的极限广义积分的计算转化为在区间上连续设无穷区间上的广义积分)(:.1xf)()()()(lim)(lim)()()()()3()(lim)()2(;)(lim)()1(FFxFdxxfdxxfcdxxfdxxfdxxfdxxfdxxfdxxfdxxfbcbcaaccbaabbaba为取定的常数注注:仅当右端两个极限都存在时仅当右端两个极限都存在时,左端的积分才收敛左端的积分才收敛.例例1.计算计算dxex 0解解dxe

18、x 0dxebxb 0limbxbe0lim 1 limbbe .1 xeyxyo1A另解另解dxex 0 0 xe1)(lim xxe.1 例例2.计算计算dxx 211另解另解dxx 211dxx 0211dxx 02110arctan x 0arctan x)2(2 )(.2瑕积分无界函数的广义积分.)(,)(,00的瑕点为函数点则称时如果当上在积分区间xfxxfxxba babababadxxfdxxfadxxfdxxfb )(lim)(:).2()(lim)(:).1(00则是瑕点若下限则是瑕点若上限注注1;右端的极限存在时右端的极限存在时,左端的广义积分收敛左端的广义积分收敛,否则

19、发散否则发散.bccabccabadxxfdxxfdxxfdxxfdxxfbac2211)(lim)(lim)()()(,),().3(00 则是瑕点若内点注注2：当且仅当上述两个极限同时存在时：当且仅当上述两个极限同时存在时,广义积分收敛广义积分收敛例例3:计算广义积分计算广义积分)0(022 axadxa解解:因因221limxaax 所以所以 022 axadx lim0220 axadx aax00arcsinlim.2 另解另解 022 axadxuauax0arcsinlim .2 问题问题(三三)定积分的应用定积分的应用旋转体体积求平面图形面积几何应用、.101.面积的基本公式面

20、积的基本公式)(xy xoyab)(xy)(yxxycd)(yxodxxxSba)()(dyyySdc)()(dcdcbabadyyydxSbycyyxyxdxxxdxSbxaxxyxy)()(,)(),()2()()(,)(),()1(左右则围成及直线平面图形由曲线下上则围成及直线平面图形由曲线梯形面积公式底边在坐标轴上的曲边特例:)3(y0)(xfySabxoSoyxab0)(xfy2S3Sxyab)(xfy 1Scd badxxfS)(badxxfS)(cadcbdSy0)(yx Acdxo dcdyyS)(acdyyS)(y0)(yx cdxo dcdyyS)(xac)y(x byd

21、badyy)(dbdyy)(2.2.求面积的步骤求面积的步骤:.,;,.;:)2(;,)1(以便确定相应的积分限轴作垂线各交点向积分时对轴作垂线各交点向积分时对其它则需分块积分积分左右围成对积分上下围成对的公式根据图形形状选用适当求交点坐标画草图yyxxyx画草图画草图.例例22,xy xy所围成图形的面积所围成图形的面积.计算由计算由解解22xyxy得交点得交点(0,0)和和(1,1)解方程组解方程组xoyxy 22xy)1,1(131dxxxS)(21010332323xx 另解另解.31dy)yy(S210 10332323yy 画草图画草图.得交点得交点)4,8(),2,2(422)2

22、14(dyyyS计算抛物线计算抛物线xy22与直线与直线4 xy所围成图形的面积所围成图形的面积.例例解解.1824)642(32yyy)4,8()2,2(xoyxy224xy422xyxy由由所求面积为所求面积为:-242022dxxS82)4(2dxxx或或 旋转体就是由一个平面图形绕这平面内一条直线旋转一周而成的立体这直线叫做旋转轴圆柱圆柱圆锥圆锥圆台圆台2.2.旋转体体积的基本公式旋转体体积的基本公式 baxdxxfV)()1(2)(xy xoyab)(xyy0)(xfySabxo baxdxxxV)()(22 (底在坐标轴的曲边梯形底在坐标轴的曲边梯形)(化为底在坐标轴的曲边化为底在

23、坐标轴的曲边梯形旋转梯形旋转)y0)(yx Acdxo)(yxxycd)(yxo dcydyyV)(2 dyyyVdcy )()(22 例例1.求圆形求圆形4)3(22yx绕绕 y 轴旋转而成的旋转体的体积轴旋转而成的旋转体的体积.yxo312-2解解.所求体积为所求体积为:2222)(dyyxVy2221)(dyyx222122)()(dyyxyx202122)()(2dyyxyx202222)43()43(2dyyy202424dyy2022arcsin244224yyy2242243yx2143yx.,)2,2()0(2.22轴的旋转的旋转体体积区域绕该平面求该平面图形的面积及轴所围成线

24、与该曲线及处的切在点已知平面图形由曲线例xxxxy 2)2,2(xy0122),2(22,2)2()2(:02 xyxyfkxxy即所求切线方程为切线斜率程先求切线斜率与切线方解面积面积313821)3224()2122023220 yyydyyyS 1543)1(42)22()2(2132052122022 xxdxxdxxVx积轴旋转所得旋转体的体面积及绕所围成的平面图形直线求由抛物线例xxyxy2,3.32 xyoxy32 xy2 43163332)23(),23,43(:430243023430 xxdxxxS交点坐标解 32943)2()3(430243022 dxxxdxxxVx经

25、济应用02.,.1是对边际函数求定积分就求原来函数的改变量凡是当自变量改变时改变量上的到原来函数在积分区间对边际函数求定积分得 badxxCaCbCbaxC)()()(,),(:变量为总成本的改时变到则产量由若已知边际成本为例如总利润之间的关系总收益总成本边际利润与变动成本边际收益边际成本、xC、)(.21 xxxxdxxLxLdxxRxRCdxxCxCdxxCxC000001)()()3(;)()()2()()(;)()()1(问题问题(四四)与定积分有关的证明题与定积分有关的证明题.,.),()()()()()(:0及两边积分两边求导对出现变限积分常想到的方法用构造辅助函数也是常采化为变量

26、代换令首先做时数当被积函数出现复合函的原函数为连续函数微分与积分中值定理定积分的性质分部积分换元积分证题依据与方法ufux，xf、dxxfxFxf、x 0)()()()(:),(:.0)(,),(,)(),(.1 adxxgfgfbabfbabaxgxf使使得得至至少少存存在在一一点点证证明明且且内内可可导导在在上上连连续续在在设设例例0)()()()()(,0)()()(;0)()()(,),(,)(,)()()(:abaaaxadxxgfgfFdxxgbfbFdttgafaFbabaxFdttgxfxF使得使得至少有一个至少有一个由罗尔定理知由罗尔定理知且且内可导内可导在在上连续上连续在在

27、然然显显构造辅助函数构造辅助函数证明证明0)(2)(),2,21(),21(4)(,2,21)(.3212 fffdxxxfxf使试证至少存在一点且满足上可微在设函数例)1(3)(:,1,)()(.23002 aadxxfadxxfxxfaa证明的常数是不等于且设例)1(3)()(31)(31)()(,)(:30030003000200aadxxfdxxfaadxdxxfxdxdxxfdxxdxxfdxxfaaaaaaaaaa 移项得得两边积分为常数这一条件利用证0)(2)(0)(2)(0)(0)(),2,21(),21(.2,21,21)()()21(4)21()21()21(2,21),2

28、1(4)()()12()(,),21(4)(.2,21)(2,21,)()(:32111212112112122 ffxxfxfxxxfFxFFffFfFfffdxxxfxfxxxfxFxx使得在一点于是至少存上满足罗尔定理条件在又左边积分中值定理知由由题设上可导在则构造辅助函数证明,)()()()(badxxgfdxxgxfbaba 又又0)(xg例例4.设设 在在 上连续，上连续，)(xf,ba0)(xg，求证：求证：证明：因为证明：因为 在在 上连续，所以上连续，所以)(xf,ba)(xf在在 上取得最小值上取得最小值 和最大值和最大值 ，即，即,bamMMxfm )()()()()(x

29、Mgxgxfxmg ()()()()()()()()()()()()()()()(),bbbaaabababababbaamg x dxf x g x dxMg x dxf x g x dxmMg x dxf x g x dxfg x dxf x g x dxfg x dxa b令值由积分中值定理知设证),()(:xxfxF)210()(21)021)()(11121011ffdxxxf21011)()(2)1(fdxxxff111()()(1)1(1)(1)FfffF 0)()(0)(,)1,(,1,)(ffFxF由罗尔定理内可导在上连续在又0)()(),1,0(,)(2)1(,),(,1,

30、0)(.6210 ffdxxxffbaxf使得试证存一点且满足内可导在区间上连续在区间设例定积分与广义积分定积分与广义积分课后练习课后练习 eeeexaxxxxxdxDxxdxCxxdxBdxxxACxtdttxfdxdbabadttatxbxxxxxfxxdttfln)(;)(ln)(;ln)(;ln)()().(.4),(_;)(.3)1,4,(_;_,1sin1lim.2)cos(sin_;)(,sin)(.1202200选下列积分收敛的是是常量移到积分号外积分变量是得用罗比塔法则求极限则若则设 1010311211ln)(;)(;1)(;sin)()()(.5xdxDxdxCxdxBx

31、dxAA应选下列广义积发散的是),14(;9)4()1,42(;1)3()ln1()ln1(;ln1)2()(11(;)1(.71602ln01110210210有理化再分项积分令求下列定积分 xxdxetdxexdxdxxxededxeeeedxxxeexxxxxx),0:(_;1sin.655423利用奇偶函数积分性质答 dxxxx)(;)5(213分母分解拆项 xxdxtxdxxfxxxexfx 1:)1(0,)31(0,)(.8202令提示求设.)3(;)2(;)1(,121)0(.92的体积轴旋转一周所成旋转体由上述所围图形绕的切线方程过切点坐标切点的试求轴所围成图形面积为曲线以及处

32、作一切线使之与上某点在曲线AxAxxy 30)3(;12)2()1,1(,1;121)2(),0,2().(2),(:20222222 xaaaVxyAAadxaaxxdxxaxaxaayAaa点切线方程为过积为于是所围面轴交点为切线与的切线方程为则过切点设切点坐标为提示.,)4(,1)0()3(?)2(;51)1(),/(8)(),/(44)(.10总收入利润最大时的总成本的函数关系式总利润与产量求出总成本万元已知不变成本产量多少时总利润最大量百台总成本总收入的增到百台增加产量由求百台万元边际收入为百台万元际成本为设某产品生产销售的边x、CxxRxxC 万元万元万元台时利润最大产量为由百台令总利润总收入增量为总成本增量为提示48.20)2.3(;08.15)2.3(;4.5)2.3()4(;1854)()()(,218)(;184)0()()()3.(3200)2.3().(2.30,)2(;20)8(;13)44()1(:22208151 RCLxxxCxRxLxxxRxxCdxxCxCLxCRLCRLdxxdxxx