对数函数及其性质运算

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1、高一数学多媒体课堂高一数学多媒体课堂xyo对数函数的图象和性质对数函数的图象和性质比较两个对数值的大小比较两个对数值的大小对数函数的定义对数函数的定义学学 习习 要要 求求一、一、复习：复习：1.对数的概念：对数的概念：2.指数函数的定义指数函数的定义:如果如果a ax x=N,=N,那么数那么数x x叫做以叫做以a a为底为底N N的对数的对数,记记作作logloga aN Nx x（a0,a1a0,a1）.函数函数 y=ax(a0,且且a1)叫做叫做指数函数指数函数,其中其中x是自变量是自变量,函数的定义域是函数的定义域是 R.某种细胞分裂时某种细胞分裂时,由一个分裂成由一个分裂成2个个,

2、由由2个分成个分成4个个.一个这样的细胞分裂一个这样的细胞分裂x次以后次以后.得到的细胞个得到的细胞个数数y与分裂次数与分裂次数x的函数关系式可表示为的函数关系式可表示为()如果把这个函数表示成对数的形式应为如果把这个函数表示成对数的形式应为 （）如果用如果用x表示自变量表示自变量,y表示函数表示函数,那么这个那么这个函数应为（函数应为（）.y=2xy=log2xx=log2y回忆学习指数函数时用的实例回忆学习指数函数时用的实例 即细胞分裂的次数即细胞分裂的次数x也是细胞个数也是细胞个数y的函数的函数一般地一般地 函数函数 y=logy=loga ax x(a(a0,0,且且a 1)a 1)叫

3、做对数函数叫做对数函数.其中其中x x是自变量是自变量,函数函数的定义域是（的定义域是（0,+0,+）.对数函数的定义：对数函数的定义：作对数图像的三个步骤：作对数图像的三个步骤：一、列表（根据给定的自变量分别计算一、列表（根据给定的自变量分别计算出应变量的值）出应变量的值）二、描点（根据列表中的坐标分别在坐二、描点（根据列表中的坐标分别在坐标系中标出其对应点）标系中标出其对应点）三、连线（将所描的点用平滑的曲线连三、连线（将所描的点用平滑的曲线连接起来）接起来）对数函数图像的作法：对数函数图像的作法：点击进入几何画板点击进入几何画板x1/41/2124y=log2x-2-1012列表列表描点

4、描点连线连线xyoy=log a x 与与 y=的图象关于的图象关于 _ 对称对称.xa1logx 轴轴1y=log a x xya1log=log a x函数函数y=f(x)与函数与函数y=-f(x)的图象关于的图象关于x轴对称轴对称函数函数y=log a x (a0 且且 a1)底数底数a 10 a 1图象图象定义域定义域值域值域定点定点值分布值分布单调性单调性趋势趋势对数函数的图象与性质：对数函数的图象与性质：1xyo1xyo(0,+)RR(0,+)(1,0)(1,0)当当 x1 时，时，y0当当 0 x 1 时，时，y0当当 x1 时，时，y0当当 0 x1 时，时，y0在在(0,+)

5、上是增函数上是增函数在在(0,+)上是减函数上是减函数底数越大底数越大,图象越靠近图象越靠近x轴轴底数越小，图象越靠近底数越小，图象越靠近x 轴轴例例1.求下列函数的定义域：求下列函数的定义域：y=log a x 2 (2)y=log a(4x)(3)y=log a(9x 2)(4)y=log x(4x)定义域定义域:(,4)定义域定义域:(3,3)定义域定义域:(0,1)(1,4)1004xxx由由 104xxx.0 x0 x2，得得解解：由由的的定定义义域域是是所所以以函函数数2axlogy.0 x|x.4x1,1x0或或讲解范例讲解范例(5)(5)求函数求函数 的定义域的定义域.)3x4

6、(logy5.0解：要使函数有意义解：要使函数有意义,必有必有4x-30,log0.5(4x-3)0.即即4x3,4x-31.1x43解解得得所以所求函数的定义域为所以所求函数的定义域为x|.1x43分析：由对数函数的定义域得：分析：由对数函数的定义域得：031 x例例 2：选择题：选择题.(1)函数函数 y=的定义域是的定义域是()31)31(log31x（2）函数）函数 y=的定义域是（的定义域是（）)31(log31xD分析：由函数的定义域得：分析：由函数的定义域得：0)31(log03131xxA)31,0)(A),31)(B0,)(C)31,)(D13 x31 x)31,0)(A),

7、31)(B0,)(C)31,)(D131031xx031xx310 x2、下列不等式中正确的是（、下列不等式中正确的是（）52sin5sin)(A52cos5cos)(B5log3log)(2121C5log3log)(22D练习练习A、6 B、8 C、9 D、111、已知函数、已知函数 ，则，则 f(10）=（）Bxxxf2)9(log)(3分析分析：102)910(log)10(3f0+8=8已知已知f(x),求求f(a)，直接代入法。，直接代入法。C4、函数、函数 的图象与的图象与 x轴的交点是（轴的交点是（）3、函数、函数 的定义域是（的定义域是（）A（，2 ）B（1，2 ）C（1，2

8、 D（2，）A（11，0 ）B（10，0 ）C（2，0）D（1，0）BCxxy2)1(log2)1lg(xy分析：要使函数有意义，必须分析：要使函数有意义，必须 满足：满足：0201xx分析：由题意得：分析：由题意得：0)1lg(0 xy，即：11x2 x21xx练习练习例2 求下列函数的定义域分析：注意函数特点，应用对数函数单调性解决.320.5331331lo g2lo g433lo g344lo glo glo gyxyxyxyx 3110.21.3.4241,3 答 案：，例例2.2.比较下列各组数中两个值的大小比较下列各组数中两个值的大小：(1)(1)log log2 23.4,lo

9、g3.4,log2 28.5;8.5;log1.8,log2.7;log1.8,log2.7;log loga a5.1,log5.1,loga a5.9(a5.9(a0,a1).0,a1).解解考察对数函数考察对数函数y=logy=log2 2x,x,因为它的底数因为它的底数2 21,1,所以它在所以它在(0,+)(0,+)上是增函数上是增函数.因为因为3.48.5,3.48.5,于是于是loglog2 2loglog2 28.5;8.5;因为函数因为函数y=logxy=logx在在(0,+)(0,+)上是减函数上是减函数,且且1.82.7,1.82.7,所以所以log log log 2.

10、7.log 2.7.解解:当当a a1 1时时,函数函数y=log y=log a ax x在在(0,+)(0,+)上是增函上是增函数数,于是于是log log a alog log a a5.9;5.9;当当0 0a a1 1时时,函数函数y=log y=log a ax x在在(0,+)(0,+)上是上是减函数减函数,于是于是log log a alog log a a5.9.5.9.loga5.1,loga5.9 (a0,a1)注注:例例2是利用对数函数的增减性比较两个对数的大是利用对数函数的增减性比较两个对数的大小的小的,对底数与对底数与1的大小关系未明确指出时的大小关系未明确指出时,

11、要分情况要分情况对底数进行讨论来比较两个对数的大小对底数进行讨论来比较两个对数的大小.分析分析:对数函数的增减性决定于对数的底数是大对数函数的增减性决定于对数的底数是大于于1还是小于还是小于1.而已知条件中并未指出底数而已知条件中并未指出底数a与与1哪个大哪个大,因此需要对底数因此需要对底数a进行讨论进行讨论:练习练习2：已知下列不等式，比较正数已知下列不等式，比较正数m，n 的大小：的大小：(1)log 3 m log n (3)log a m loga n (0a log a n (a1)答案答案:(1)m n(2)m n(4)m n例例2.2.比较下列各组中两个值的大小比较下列各组中两个

12、值的大小:(4)(4)log log 6 67,log 7,log 7 7 6;6;(5)(5)log log 3 3,log,log 2 2 0.8.0.8.(1)解解:log67log661,log76log771,log67log76;(2)解解:log3log310,log2log210,log3log20.8.分析分析:（1）log aa1（2）log a10注注:比较两个对数的大小时比较两个对数的大小时,可可在两个对数中间插入一个已知在两个对数中间插入一个已知数数(如如1或或0等等),间接比较这两个间接比较这两个对数的大小对数的大小.(6)log750 log67 log54 lo

13、g4例例3.已知定义域为已知定义域为R的奇函数的奇函数f(x),当当x0 时时,f(x)=log3x,求求f(x).解：当解：当x=0时时,f(0)=0;当当 x0 时时,x 0,又又f(x)为奇函数为奇函数,f(x)=f(x)=log3(x).0 x),x(log,0 x,0,0 x,xlog)x(f33故故函函 数数y=log a x (a0 且且 a1)图图 像像定义域定义域R+R+值值 域域RR单调性单调性增函数增函数减函数减函数过定点过定点（1，0）（1，0）趋趋 势势底数越大，图象越靠近底数越大，图象越靠近 x 轴轴底数越小，图象越靠近底数越小，图象越靠近 x 轴轴取值范围取值范围

14、0 x1时，时，y1时，时，y00 x0 x1时，时，y01.对数函数定义对数函数定义:y=log a x (a0 且且 a 1).2.对数函数的图象与性质：对数函数的图象与性质：函数函数y=log a x (a0 且且 a1)底数底数a 10 a 1图象图象定义域定义域(0,+)值域值域R定点定点(1,0)即即 x=1 时，时，y=0值分布值分布当当 x1 时，时，y0当当 0 x 1 时，时，y0当当 x1 时，时，y0当当 0 x1 时，时，y0 趋趋 势势底数越大，图象越靠近底数越大，图象越靠近 x 轴轴底数越小，图象越靠近底数越小，图象越靠近 x 轴轴单调性单调性在在(0,+)上是增函数上是增函数在在(0,+)上是减函数上是减函数1xyo1xyo