第一章信号和频谱

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1、 第1章 信号与频谱n1.1 数字通信信号处理n1.2 信号分类n1.3 频谱密度n1.4 自相关函数n1.5 随机信号n1.6 线性系统的信号传输n1.7 数字数据的带宽n1.8 小结 1.1 数字通信信号处理n1.1.1 为什么要进行数字化n1.1.2 典型通信系统的方框图n1.1.3 基本的数字通信术语n1.1.4 数字通信与模拟通信的性能比较 1.1.1 为什么要进行数字通信 优点：1 数字信号易于再生 2 数字电路有更好的抗失真和抗干扰 能力 3 数字电路更可靠且生产成本低缺点：1 同步 2 门限效应 1.1.2 典型通信系统的方框图n数字通信系统(DCS)中必不可少的信号处理方框有

2、：格式化、调制、解调/检测和同步n格式化：把源信息转化成比特，从而保证信息与DCS信号处理的一致性n调制：将信息码元或信道码元(采用信道编码)转化成与传输信道特性匹配的波形 (脉冲调制和带通调制)n解调：对每个带通波形进行下变频，恢复成最佳基带脉冲波形，与其相连的还有滤波器，滤除不需要的高频成分，改善脉冲波形n均衡：当信道冲击响应使接收信号严重失真时，它不可或缺。作用是对抗由信道引起的任何不良影响，补充(消除或削弱)由非理想的信道冲击响应导致的任何形式的信号失真。它可以包含在解调器中，也可以在其后n检测：经过采样过程把成形的脉冲变换成采样信号后，检测器将其变成信道码元或信息码元的估值可以看成对

3、信号的变换，分为9大类：1.格式化和信源编码2.基带信号处理3.带通信号处理4.均衡5.信道编码6.复用和多址接入7.扩展8.加密9.同步 基本的数字信号变换框图 1.1.3 基本的数字通信术语n信源：指DCS中产生需要传输的信息的装置，信源的输出可以是模拟的或是离散的n文本信息：指字符序列n字符：指某个字母表或符号集中的一个n二进制数字：所有数字系统的基本信息单元n比特流：指二进制数据(0和1)流n码元：一个码元由k个比特组成，该k个比特就是一个单元n数字波形：指用于表示数字符号的电压或电流波形(基带传输的脉冲或带通传输的正波)n数据速度：此数值的单位是比特每秒(bit per second

4、，b/s)1.1.4 数字通信与模拟通信的性能比较n数字通信与模拟通信的一个主要区别是性能评估的方法不同模拟通信：信噪比、百分比失真、发端波形和收端波形之间的期望均方误差数字通信：错误判决的概率或者差错概率 1.2 信号分类n1.2.1 确定信号和随机信号n1.2.2 周期信号和非周期信号n1.2.3 连续信号和离散信号n1.2.4 能量信号和功率信号n1.2.5 单位冲击函数 1.2.1 确定信号和随机信号n确定信号：信号在任何时间的值都是确定已知的n随机信号：信号在实际发生之前具有一定的不确定性，可用随机过程的概率模型来描述（2维描述，固定时间点随机性，不同时间点关系）1.2.2 周期信号

5、和非周期信号n周期信号：满足条件的 的最小值称为 的周期n非周期信号：不满足0()()x tx tTt 0T()x t0()()x tx tTt 1.2.3 连续信号和离散信号n连续信号：信号 在所有时间t上取值，是时间t的连续函数n离散信号：信号 只在离散时间点上存在，其值是在每个时间点上kT上的数字序列(k为整数，T为固定的时间间隔)()x t()x kT 1.2.4 能量信号和功率信号n电信号的瞬时功率可定义为：或 n若将电阻R归一化为1，得到归一化的瞬时功率表达式：其中，是电压或电流信号2()()/p tv tR2()()p ti t R2()()p tx t()x t n在时间(-T

6、/2，T/2)内的能量：n该间隔内的平均功率为：/22/2()TTxTEx t dt/22/211()TTTxxTPEx t dtTTn能量信号：定义为在所有时间上的能量不为0且有限 的信号 ，其中n功率信号：当且仅当信号的功率不为0且有限 的信号 ，其中 /222/2lim()()TxTTEx t dtx t dt()x t(0)xE(0)xP()x t/22/21lim()TxTTPx t dtT 1.2.5 单位冲击函数n单位冲击(Unit Impulse)函数或 函数：脉冲幅值无限大、宽度为0、能量为1，即n单位冲击函数得性质：，当 时 ，当 时 ()t()1t dt()0t0t()t

7、 0t 00()()()x ttt dtx t 1.3 频谱密度 n频谱密度(Spectral Density)：定义为信号的能量或功率在频谱上的分布特性nESD-Energy Spectral Density：能量谱密度n利用Parseval(帕斯瓦尔)定理，实值能量信号的能量可以在时域或频域上表示：n其中，是非周期信号 的傅立叶变换22()|()|xEx t dtX fdf()X f()x t 1.3.1 能量谱密度n令 ，则 是信号 的能量谱密度(ESD)n从而，信号的能量可改写为：n上式表明信号能量相当于 关于频率的曲线下的面积 2()|()|xfX f()xf()x t()xxEf

8、df()xfn能量谱密度描述了单位带宽上的信号能量，单位为焦耳/赫兹n由于信号 是实值的，因此 是频率的偶函数，在正负能量上相等，从而有：()x t()X f02()xxEf df 1.3.2 功率谱密度n实值功率信号 的平均功率定义为：n如果 是周期为 的周期信号，则它就是功率信号，平均功率为：n其中，是周期信号傅立叶级数的复系数的幅值 ()x t/22/21lim()TxTTPx t dtT()x t0T00/222/201()|TxTnnPx t dtcT|ncn周期信号 的功率谱密度(PSD)是频域中的非负实偶函数，定义为：n可见，周期信号的PSD是频率的离散函数，利用上式可得到实值信

9、号的归一化平均功率：()x t()xGf20()|()xnGfcfnf0()2()xxxPGf dfGf dfn若是非周期信号(能量无限)，则不能进行傅立叶变换，但可以在极限意义下表示其功率谱密度n若在(-T/2,T/2)内对非周期功率信号 进行截断，则获得的函数 是能量有限的，从而具有傅立叶变换形式n非周期信号的功率谱密度函数极限表达式为：()x t()Tx t()TXf2()lim|()|xTTGfXf 1.4 自相关函数n1.4.1 能量信号的自相关函数n1.4.2 周期(功率)信号的自相关函数 1.4.1 能量信号的自相关函数n自相关(autocorrelation)是指延迟信号与其自

10、身的匹配过程，自相关函数是关联程度的测度n实值能量信号 的自相关函数定义为：n自相关函数 不是时间的函数，而是信号与其平移信号的时间间隔 的函数()x t()()(),xRx t x tdt ()xR 实值能量信号的自相关函数的性质n 函数关于零点对称n 对所有 成立 函数在原点获得最大值n 自相关函数与PSD是傅立叶变换对，用双向箭头表示n 函数在零点的值等于信号的能量()()xxRR()(0)xxRR()()xxRf2(0)()xRx t dt 1.4.2 周期(功率)信号的自相关函数n实值功率信号的自相关函数定义如下：n当功率信号是周期为 的周期信号时，可以用周期 内的平均值表示：/2/

11、21()lim()(),TxTRx t x tdtT 0T()xR t0T00/2/201()()(),TxTRx t x tdtT 实值功率信号的自相关函数的性质n 函数关于零点对称n 对所有 成立 函数在原点获得最大值n 自相关函数与PSD是傅立叶变换对，用双向箭头表示n 函数在零点的值等于信号的能量()()xxRR()(0)xxRR()()xxRf00/22/201(0)()TxTRx t dtT1.5 随机信号n通信系统中接收机不能预知传输的是哪一个信息波形随机性，电信号引起的噪声也是随机的。n1.5.1 随机变量分布函数 的性质()XFx概率密度函数pdf1.5.1.1 统计矩（统计

12、累量）二阶中心矩（方差）1.5.2 随机过程1.5.2.1 随机过程的统计平均n因为随机过程在任何将来时间的值是不可知的，所以分布函数连续的随机过程只能在统计意义上用概率密度函数（pdf）来表示。n随机过程 的均值定义为()X t()()()kkxxkE X txpx dxm t随机过程 的自相关函数()X t1.5.2.2平稳性续 1.5.2.3宽平稳随机过程的自相关函数实值WSS过程的自相关函数的性质1.5.3 时间平均和各态遍历n随机信号的遍历性问题：取随机信号的一个足够长的样本，用其时间意义上的数字特征来表征其总集意义上的数字特征。n当随机过程是各态遍历过程（ergodic proce

13、ss）时，时间平均等于集总平均，其统计特性可以通过对某个样本函数求时间平均（time averaging over a single sample function）而获得。1.5.3 时间平均和各态遍历通信信号的统计特性1.5.4随机过程的功率密度和自相关函数自相关函数与功率谱图 自相关函数与功率谱密度1.5.5 通信系统中的噪声标准高斯pdf图1.7 标准 高斯概率密度函数11.5.5.1 白噪声1.6 线性系统的信号传输n两种分析方法：时域分析和频域分析n时域：系统的特性或冲激响应impulse response为h(t)，系统的输出为y(t)。n频域：系统的传递函数为H(f),系统的输

14、出为Y(f)。如同所示。n假定系统是现形时不变的，且系统在输入时没有储存能量。n 图1.6.1 线性系统及其主要参数线性网络 x(t)X(f)输入输出 y(t)Y(f)h(t)H(f)1.6.1 冲激响应n若系统对单位冲激函数 的响应为 ，即：n则系统对任意输入信号x(t)的响应是x(t)与h(t)的卷积，表示为：n假定系统是因果的，在t=0时刻之前没有输出，则n或 ()t()h t()()()()|x tth ty t()()*()()()y tx th txhd()()()y txh td()()()y tx thd1.6.2 频域传递函数n由于y(t)=h(t)*x(t),因此Y(f)=

15、H(f)X(f)。nH(f)=Y(f)/X(f)nH(f)称为频域传递函数frequency transfer function 或系统频域响应frequency response.nH(f)一般为复数，可表示为：()()|()|jfHfHfe1.6.2.1 随机过程和线性系统n当线性时不变系统的输入为随机过程时，输出也是随机过程。n输入与输出信号功率谱的关系为：n结论：对于线性时不变系统，若输入是高斯过程，则输出也是高斯的。2()()|()|YXGfGfHf1.6.3 无失真传输n理想传输线的输出：无失真，有延迟，有幅度变化。数学表达式为:，其中K和 为常数。n傅立叶变换得：n因此，无失真传

16、输系统的传递函数为：n可见，要获得理想的无失真传输（ideal distortionless transmission),要满足：幅频响应是常数，相频响应是频率的线性函数。但还不够，因为系统有许多频率分量。0()()y tKx tt0t02()()jftY fKX f e02()()/()jftH fY fX fKe1.6.3.1 理想滤波器n系统带宽定义：正频率所占据的频率宽度。n理想滤波器：可以无失真地传输下限频率 和上限频率 之间的所有频率分量，在此范围之外的频率全部截断（幅频响应为0）。通带的有效宽度为：n若 ，且 ，则此滤波器称为带通滤波器bandpass filter(BPF);n

17、若 ，且 为有限值，则成为低通滤波器lowpass filter(LPF)；n若 ，且 ，则称为高通滤波器highpass filter(HPF).lfuf()fulWff Hz0lf uf 0lf uf0lf uf 理想滤波器的传递函数n n a 理想带通滤波器n b理想低通滤波器 n n c理想高通滤波器 ufuflf1f01flflfufuflflf01f理想低通滤波器的冲激响应n对于理想低通滤波器，令K1，得到：n其中，n于是得到理想低通滤波器的冲激响应：1|()|0|uifffHfifff()()|()|jfHfHfe0()2fft理想低通滤波器的冲激响应01222000()()()

18、sin 2()22sin 2()2()uufjftjftjftfuuuuuh tFHfHf edfeedffttffcfttftt1.6.3.2可实现滤波器n最简单的可实现低通滤波器RC滤波器，如图所示nRC滤波器的传递函数为：n其中，输入输出 RC()21()1/(12)1(2)jfHfjfRCefRC1()tan 2ffRC可实现滤波器分贝的定义：dB(数值)通信系统中常常采用归一化功率，将电阻值设为1欧姆，则得：dB(数值)以dB表示的幅频响应：222102110211/10log(/)10log/VRPPVR221021102110log(/)10logVPPV102110|()|20

19、log(/)20log|()|dBH fVVH f补充：匹配滤波器n匹配滤波器的有关概念n匹配滤波器的传递函数及其性质n由上可知，匹配滤波器的冲激响应是输入信号s(t)的镜像和平移。n匹配滤波器输出的信号波形可计算如下：n 是S(t)的自相关函数，由此可见，匹配滤波器的输出信号波形与输入信号波形的自相关函数成比例。()()*()()()()ssytS th tS thdKRtTsR1.6.4 信号，电路和频谱n滤波器对输出带宽的影响：n频域分析n1 输入信号为窄带信号，滤波器传递函数为宽带函数n (a)输出带宽受输入信号带宽的限制频域分析n2 输入信号为宽带信号，滤波器传递函数为窄带函数n(b

20、)输出带宽受滤波器带宽的限制时域分析时域分析理想输入脉冲及其频谱对理想脉冲滤波的三个例子(a)高保真输出。应用于精密测距等场合。(b)可识别输出。应用于二进制数字通信系统中，因为只需要对每个接收脉冲准确地判决出两个状态之一即可，不需要高保真信号。(c)不能作为实际系统的设计标准。1.7数字信号的带宽n1.7.1基带与带通 把低通或基带信号x(t)的频谱搬移到高频的一种简单方法：基带信号与载波信号相乘，输出双边带（Double-Sideband,DSB）调制信号（modulated signal）如图所示：)(tx()cx t()cos()ccc t1.7.1基带与带通nDSB 信号 的频谱为：

21、n 的带宽为n 的带宽为n通常，载波频率远远大于基带信号的频率：()()()/2cccXfXffXff()cx t|()|X f2DSBmWfcmffDSBWmf|()|cXf基带与双边带频谱的比较(a)基带频谱(b)双边带频谱双边带频谱注记1.7.2 带宽问题n信号的带宽没有统一的定义，因为所有带宽有限的信号都是无法实现的，可实现的波形又有无限的绝对带宽。(a)带宽严格受限信号时域表示(d)时间严格受限信号频域表示(c)时间严格受限信号时域表示(b)带宽严格受限信号频域表示信号带宽的几种定义(a)半功率带宽(b)等效矩形或等效噪声带宽(c)零点到零点带宽(d)部分功率保留带宽(e)有界功率谱密度(f)绝对带宽1.8 小结n基本概念：分类，频谱密度，自相关等。n通信系统的主要噪声模型高斯白噪声。n理想滤波器与可实现滤波器。n信号带宽：根据具体应用选择合适的带宽定义。