拉普拉斯变换与传递函数

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1、拉普拉斯变换与传递函数拉普拉斯变换与传递函数拉普拉斯变换拉普拉斯变换定义定义典型函数的拉氏变换典型函数的拉氏变换)()(sFtf22cossst21st 1)(tst1)(132121st aseat122sinst基本性质基本性质1、线性性质、线性性质2、微分性质、微分性质4 4、终值定理、终值定理5 5、初值定理、初值定理3、积分性质、积分性质7、卷积定理、卷积定理6 6、位移定理、位移定理传递函数传递函数rucuRCirccuudtduRC ，设，设 0)0(cu则有则有)()()()()()(sUsURCssUsUsRCsUrcrcc 1即)()(sURCssUrc11 )(sUr)(

2、tur。其中其中随随形式而变，形式而变，而而 完全由网络的结构及参数确定。完全由网络的结构及参数确定。11 RCs11 RCssUsUsGrc)()()().()()(sUsGsUrc 令,则有 网络为例。网络为例。RC以1 1、定义：对于线性定常系统来说，当初始条件为零、定义：对于线性定常系统来说，当初始条件为零 时，输入量拉氏变换与输出量拉氏变换之时，输入量拉氏变换与输出量拉氏变换之 比叫做系统的传递函数。比叫做系统的传递函数。.)()()(sRsCsG G(s)R(s)C(s)反映了系统自身的动态本质，表达了传递信反映了系统自身的动态本质，表达了传递信号的性质和能力，故称它为号的性质和能

3、力，故称它为RCRC网络的传递函数。网络的传递函数。数值来决定，且数值来决定，且)(sUr)(sUc)(sG)(sG)(sUr)(sG若若不变，则不变，则的特性完全由的特性完全由将将 传到了传到了的形式与的形式与).(sUc设线性定常系统的微方一般形式为：设线性定常系统的微方一般形式为：)()()()(11110tcadttdcadttcdadttcdannnnnn )()()()(11110trbdttdrbdttrdbdttrdbmmmmmm 当初始条件为零时，根据拉氏当初始条件为零时，根据拉氏 变换有：变换有：)()(sRbsbsbsbsCasasasammmmnnnn 11101110

4、 是复变量是复变量s 的函数，的函数，故称为复放大系数。故称为复放大系数。为复数，为复数，js )(sG nnnnmmmmasasasabsbsbsbsRsCsG11101110)()()(则可见：有了微分方程，可以直接写出其传递函数，与可见：有了微分方程，可以直接写出其传递函数，与 c(t)有关的项为分母，与有关的项为分母，与 有关的项为分子。有关的项为分子。)(trrcccuudtduRCdtudLC 22例例2.RLC2.RLC网络：微分方程网络：微分方程 11)(2 RCsLCssG则传递函数则传递函数 2性质与说明：性质与说明：（1）传递函数是复变量）传递函数是复变量s的有理真分式，

5、具有复变的有理真分式，具有复变 函数的所有性质，且所有系数均为实数。函数的所有性质，且所有系数均为实数。rccuudtduT 例例1.RC网络：微分方程网络：微分方程则传递函数则传递函数11)(TssG（2 2）传函是一种用系统参数表示输出量与输入量之）传函是一种用系统参数表示输出量与输入量之 间关系的表达式，它只取决于系统或元件的结间关系的表达式，它只取决于系统或元件的结 构和参数，而与构和参数，而与 r(t)的形式无关，也不反映系的形式无关，也不反映系 统内部的任何信息。统内部的任何信息。（3 3）传函是描述线性系统动态特性的一种数学模型，）传函是描述线性系统动态特性的一种数学模型，而形式

6、上和系统的动态微方一一对应。但只适而形式上和系统的动态微方一一对应。但只适 用于线性系统且初始条件为零的情况下，原则用于线性系统且初始条件为零的情况下，原则 上不能反映系统在非零初始条件下的全部运动上不能反映系统在非零初始条件下的全部运动 规律。规律。（4 4）传函是系统的数学描述，物理性质完全不同的系）传函是系统的数学描述，物理性质完全不同的系 统可以具有相同的传函。在同一系统中，当取不统可以具有相同的传函。在同一系统中，当取不 同的物理量作输入或输出时，其同的物理量作输入或输出时，其G(s)一般也不相一般也不相 同，但却具有相同的分母。该分母多项式称为特同，但却具有相同的分母。该分母多项式

7、称为特 征多项式。征多项式。(形成的方程叫特征方程）形成的方程叫特征方程）（5 5）传函是在零初始条件下定义的，控制系统的零初）传函是在零初始条件下定义的，控制系统的零初 始条件有两方面的含义：始条件有两方面的含义：指指r(t)是在是在 时才作用于系统，在时才作用于系统，在t =0-时，时，r(t)及其各阶导数均为零。及其各阶导数均为零。0 t指指r(t)加于系统之前，系统处于稳定的工作状态，加于系统之前，系统处于稳定的工作状态，即即c(t)及其各阶导数在及其各阶导数在 时的值也为零。时的值也为零。0 t 例例5无源无源RC网络求网络求 。复阻抗法复阻抗法)(sGrucuC 1R2R解：解：C

8、sRZ111 22RZ CsRRRZZZsG1212212 )(11212212 sTTsTCsRRCsR)()(（1 1）零、极点表示法：）零、极点表示法：nnnnmmmmasasasbsbsbsabsG11111100)()()()()(2121nmgpspspszszszsK niimjjgpszsK11)()(jzs 当时，G(s)=0.jz为传函的零点。当 时，G(s)=ips ,ip为传函的极点。传函的其他表示法：传函的其他表示法：而而 传递系数。传递系数。(根轨迹中叫根轨迹增益根轨迹中叫根轨迹增益)00abKg (2(2）时间常数表示法：）时间常数表示法：11)(111111 s

9、cscscsdsdsdabsGnnnnmmmmnm)1()1)(1()1()1)(1(2121 sTsTsTsssKnm niimjjsTsK11)1()1(nmabK 其中其中放大系数。放大系数。iijjpTz11 ，niimjjgpzKK11)()(且有且有(3)二项式表示法：二项式表示法：222121)(1nnsspsps 如如21.pp为一对共轭复数，则有为一对共轭复数，则有121)1)(1(12221 TssTsTsT 或或 系统可能还会有零值极点，若为系统可能还会有零值极点，若为个，则有：个，则有：212112211221122nllllniimkkkkmjjsspssszssKs

10、G)()()()()(212112211221)12()1()12()1(nllllniimkkkkmjjsTsTsTssssK 在此：.2,22121nnnmmm （4）一般表示法：）一般表示法：二、典型环节及其传函：二、典型环节及其传函：从上述传函的一般表示中看出，任何系统均由从上述传函的一般表示中看出，任何系统均由、1111 TsssK 12122 TssT 等环节组成，等环节组成，此为典型环节。此为典型环节。（一）比例环节：（一）比例环节：1、微分方、微分方 程：程：c(t)=Kr(t)k1)(tc)(tc)(tr)(trt2、传函：、传函：G(s)=K.既无零点也无极点。既无零点也无

11、极点。3 3、响应：若、响应：若r(t)=1(t)，则，则c(t)=K 1(t)。输出与输入成比例，不失真也不延时，如无弹性输出与输入成比例，不失真也不延时，如无弹性 变形的杠杆、放大器、分压器、齿轮、减速器等。变形的杠杆、放大器、分压器、齿轮、减速器等。rucu1R2RT)(tc)(tc)(tr)(trt01.1.微分方程：微分方程：)()()()(trdttdcTdttrKtc 1KT 2.2.传递函数：传递函数：TssG1)(只有一个零值极点。只有一个零值极点。（二）积分环节：（二）积分环节：3.3.阶跃响应：阶跃响应：ssRttr1)().(1)(tTtcTssC112 )(,)(Ts

12、RCssG11)()()(sCsURsUcr 时所需的时间。时所需的时间。其中其中T=RC是是 增长到增长到 curu象积分器：象积分器：T2T3T4T)(tc)(tr)(tr)(tc0.632t)()()(trtcdttdcT 1 1微方：微方：有一个负极点有一个负极点 11)(TssGTp1 2 2传函：传函：TssTsssC111)1(1)(ssRttr1)(),(1)(3 3响应：响应：（三）惯性环节：（三）惯性环节：Ttetc 1)(如如RC网络、网络、LR回路。回路。LRrui为out（四）微分环节：（四）微分环节：dttdrtc)()(1 1微方：微方：2 2传函：传函：ssG

13、)(，只有一个零值零点。，只有一个零值零点。RrucuC)()(ttc t)(tc)(tr则则 )(tc阶跃函数阶跃函数)(1)(tttr 若若因此微分环节能预示因此微分环节能预示的变化趋势。的变化趋势。)(trfutctr )(,)(如测速机 sssc)(脉冲函数脉冲函数,ssRttr1)(),(1)(3 3响应：响应：，则，则,dtdKuff 因此因此运放组成的微分器：运放组成的微分器：.)()()(sRCssGsCsURsUrc 实际系统中，微分环节常带实际系统中，微分环节常带有惯性，如右图的有惯性，如右图的RCRC网络：网络：.)(111 ssRCsRCsCsRRsG CRrucu1

14、.)(ssG 当时，才有（五）一阶微分环节：（五）一阶微分环节：C1R2R1Z2Zrucu)()()(trddttdrtc 1 1微方：微方：1)(ssG 2 2传函：传函：1 z有一个负值零点有一个负值零点 同样实际中常带有惯同样实际中常带有惯性，如右图的性，如右图的RCRC网络：网络：2211111111RZCsRRCsRCsRZ 1212121122212)1(1)(RRCsRRCsRRCsRRRRZZZsG 1112121212 CsRRRRCsRRRR11)(TsTssG 则则RCTRRR ,212 令令只有当只有当1 T)1()(TssG 时，才有时，才有（六）振荡环节：（六）振荡

15、环节：)()()(2)(222trtcdddttdcTdttcdT 1 1微方：微方：2221222121)(nnnTssTssTsGn 2 2传函：传函：122.1 nnp有两个极点：有两个极点：njp 2.1:01）（np 2.1:12）（为两个不为两个不2.1:13p ）（相等的负实根。相等的负实根。22.11:104 nnjp）（一对共轭复数根。一对共轭复数根。（输出延迟（输出延迟 后复现输入）后复现输入）（七）延迟环节：（七）延迟环节：Aot)(tr)(tr)(tc)(tc r(t)1234t10)(tc 如枢控电机、如枢控电机、R-L-C 网络、动力系等。网络、动力系等。)(1)(

16、ttr 2.2.响应：当响应：当时，时，图所示。图所示。四种不同四种不同的响应如的响应如sssseess 11!31!2111133223 3处理方法：处理方法：展开成泰勒级数：展开成泰勒级数：很小时，可将很小时，可将sesG )(se 为超越函数，当为超越函数，当 sesG )(2 2传函：传函：如皮带传输机、晶闸管整流装置等。如皮带传输机、晶闸管整流装置等。1 1微方：微方：).(1)()(ttrtc即将延迟环节近似为惯性环节。即将延迟环节近似为惯性环节。方框图的基本连接方式方框图的基本连接方式 方框图的基本连接方式有三种：串联、并联、方框图的基本连接方式有三种：串联、并联、反馈。反馈。复

17、杂系统的方框图都是由这三种基本的连接方式组复杂系统的方框图都是由这三种基本的连接方式组合而合而成的。成的。1.串联串联在串联连接方式中在串联连接方式中，n个环节首尾相连，个环节首尾相连，前一个环节的输出作为后一个环节的输入。前一个环节的输出作为后一个环节的输入。G1(s)RG2(s)Gn(s)C 结论结论：n个环节串联后的总传递函数等于各环节个环节串联后的总传递函数等于各环节的传递函数的传递函数 的乘积：的乘积：)()()()()(121sGsGsGsGsGinin方框图可化简为：方框图可化简为：2.并联并联在并联连接方式中，在并联连接方式中，n个环节的输入相同，个环节的输入相同，而总而总输出

18、为各环节输出的代数和。输出为各环节输出的代数和。G1(s)G2(s)CRGn(s)结论：n个环节并联后的总传递函数等于各环节的传递函 数之代数和：方框图可化简为：3.反馈反馈 反馈连接方式的一般形式是将系统的输出信号反馈连接方式的一般形式是将系统的输出信号C(s)在经过某个环节在经过某个环节H(s)后，反向送回到输入端。后，反向送回到输入端。G(s)ECH(s)BR 从从E(s)到到C(s)的通道称为前向通道，从的通道称为前向通道，从C(s)到到B(s)的通道称为的通道称为 反馈通道。前向通道和反馈通道在系统中形反馈通道。前向通道和反馈通道在系统中形成闭合回路。从成闭合回路。从 R(s)到到C

19、(s)的传递函数称为闭环传递函数，的传递函数称为闭环传递函数，一般用一般用(s)表示。表示。根据反馈信号根据反馈信号B(s)加在相加点的极性，反馈加在相加点的极性，反馈连接方式可以分为连接方式可以分为 负反馈和正反馈。负反馈和正反馈。在负反馈的情况下：在负反馈的情况下：C(s)=G(s)E(s)=G(s)R(s)-B(s)=G(s)R(s)-H(s)C(s)即即 1+G(s)H(s)C(s)=G(s)R(s)整理得整理得)()(1)()()(sHsGsGsRsC相应的，在正反馈的情况下：相应的，在正反馈的情况下：)()(1)()()(sHsGsGsRsC 方框图可化简为：方框图可化简为：反馈信号反馈信号B(s)与误差信号与误差信号E(s)的比值，的比值，称为系统的开环传递函称为系统的开环传递函数数 )()()()(sHsGsEsB)()()(sGsEsC输出信号输出信号C(s)与误差信号与误差信号E(s)的比值，的比值，称为系统的前向通道传称为系统的前向通道传递函数递函数对于反馈连接，闭环传递函数对于反馈连接，闭环传递函数开环传递函数前向通道传递函数1若反馈通道的传递函数若反馈通道的传递函数H(s)=1，则称闭环系统为单位反馈则称闭环系统为单位反馈系统。此时，系统。此时，系统的开环传递函数系统的开环传递函数 =系统的前向通道传系统的前向通道传递函数递函数