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1、12 12 秩亏自在网的平差原理与直接解法秩亏自在网的平差原理与直接解法 引例引例 如下图，等精度观如下图，等精度观测了测了3 3个高差，并设个高差，并设3 3个点的高程个点的高程均为未知数，那么组成的法方程有均为未知数，那么组成的法方程有多少个解？如何进展平差计算？多少个解？如何进展平差计算？该问题的法方程系数阵为不满秩阵，故参该问题的法方程系数阵为不满秩阵，故参数的解数的解有无穷个。有无穷个。21121121112103/23/203/23/211203/23/2000一、根本原理一、根本原理 设某平差问题选取了设某平差问题选取了 个未知参数，而必要未知个未知参数，而必要未知数的个数为数的
2、个数为 ，且，且 ,那么那么 和和中中 ，产生秩亏数，产生秩亏数 ,使使得得 ，的解不独一。在的解不独一。在 条件下条件下,可得可得 的独一解的独一解 ，因该解同时满足，因该解同时满足 和和 ，故称为最小二乘最小范数解。这，故称为最小二乘最小范数解。这就是秩亏自在网平差的根本原理。就是秩亏自在网平差的根本原理。VA XlN Xu0dtt 0()()R AR Ntt0N XminTXXXXminTV PV tt0t0tminTXX二、用直接解法求解秩亏自在网二、用直接解法求解秩亏自在网 1.原理原理 由由 1 在在 的约束下，可导出的约束下，可导出 个相关的法方程个相关的法方程 2将法方程写成将
3、法方程写成 111n tntnVAXlminTV PV t11t tttNXu0000001112111121222211tttdttd td dddNNXuNNuX即即 3其中，其中，为为 个线性无关的方程组，个线性无关的方程组，为为 的非的非奇特方阵，那么满足奇特方阵，那么满足 的解也一定满足的解也一定满足 。记记 11112212112222 ()()NXNXuNXNXu()0t11N00tt()()0112112nnn tn dXVAAlX那么那么 4为求即满足为求即满足 ，又使，又使 的的 ，构造函，构造函数数 5令令 1112221112111221222122 TTTTTTXuA
4、 PlXuuA PlXNNA PAA PANNNA PAA PA()minTXXX1111221111212()2TTTTXXKNXNXuXXKNNXu 1112220TTXKNNX得得 即即 6将将6代入代入 得得 令令 7那么有秩亏自在网的法方程那么有秩亏自在网的法方程 8故故 911111221TNXNNKKN111221XN KXN K()111112211()N NN NKu111111221()HN NN N11H Ku111KH u 10 即即可以证明，可以证明，。证明略。证明略。2.计算步骤计算步骤 1根据平差问题，选取根据平差问题，选取t个平差参数和近似值个平差参数和近似值
5、，列出误差方程，列出误差方程 1111111112212111XN KN H uXN KN H u11111112211200UHXuN HXHUuN HXHN0tt1122XVA XlAAlX 2 2计算计算3 3计算计算4 4计算未知参数计算未知参数11111212212122221122 TTTTTTNA PANA PANA PANA PAuA PluA Pl11H11111111221()HN NN N1111110122111XN H uXXXXN H u5精度评定精度评定 证明证明 因因 故根据协因数传播律有故根据协因数传播律有001111 1111111221/()TXXV PV
6、ntNHN HNNN XX1111111111121212TXNNXH uHA PlNNX XX 例：如下图，测得例：如下图，测得知各道路等长，试用直知各道路等长，试用直接解法接解法 求和求和 。解：设各点高程的平差值分别为解：设各点高程的平差值分别为其近似值其近似值 为为 ，那，那么么可根据可根据 以下步骤求解参数平差值及其协因数：以下步骤求解参数平差值及其协因数：12312.3453.47815.817hmhmhm，X XX123XXX，0001230,12.345,15.823XXX1误差方程误差方程2法方程法方程1122331100011010-16XvVvXvX123211612101126XXX3 及及 4未知数未知数1H11H111111221116336211129HN NN NH11112112130202020.00212.345012.34515.823215.825XNXXH uNXXXXmmmm5 作业：作业：1.完成引例中的有关计算。完成引例中的有关计算。2.证明证明 。XX 21111219112XX1111 1111111221XXNHN HNNN
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