函数的周期性

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1、09 函数的周期性知识梳理1.周期函数的定义对于函数，如果存在一个常数，能使得当取定义域内的一切值时，都有，则函数叫做以为周期的周期函数。2.与周期相关的结论(1)周期函数具有无数多个周期，如果它的周期存在着最小正值，就叫做它的最小正周期.并不是任何周期函数都有最小正周期，如常量函数；(2)周期函数的定义域是无界的；(3)若为的周期，则也是的周期(4)若函数恒满足，则是周期函数，是它的一个周期； (5)若函数恒满足，则是周期函数，是它的一个周期；推论：若函数恒满足，则是周期函数，是它的一个周期；（4）（5）以及周期性定义可概括为：“和或差为0型”即型(6)若函数恒满足，则是周期函数，是它的一个

2、周期； 推论：若函数恒满足，则是周期函数，是它的一个周期；(7)若函数恒满足，则是周期函数，是它的一个周期；推论：若函数恒满足，则是周期函数，是它的一个周期；（6）（7）可概括为：“乘积为型”即型(8)若函数是偶函数，且关于直线对称，则是周期函数，是它的一个周期； 推论：若函数关于直线对称，则是周期函数，是它的一个周期；(9)若函数是奇函数，且关于直线对称，则是周期函数，是它的一个周期；推论：若函数关于点、直线对称，则是周期函数，是它的一个周期；(10)若函数是奇函数，且关于点对称，则是周期函数，是它的一个周期；推论：若函数关于点、对称，则是周期函数，是它的一个周期。（8）（9）（10）可概括

3、为：“满足两个对称型”即“两条对称轴或两个对称中心或一个对称中心，一条对称轴”型（11）分式递推型：即函数满足由得，进而得，由前面的结论得的周期是经典习题 （提示：本知识点常考小题，因此练习为主）一. 选择题1.设是上的奇函数，当时，则（ ）A.0.5 B.0.5 C.1.5 D.1.52.是定义在上的以3为周期的偶函数，且，则方程=0在区间内解的个数的最小值是（ ） A5B4C3D23. 已知定义在上的奇函数满足，则的值为（ ）A. B. C. D.4. 设函数为奇函数，且，则等于（ ）A. 0 B. 1 C. D. 55. 设是定义在上以为周期的函数，在内单调递减，且 的图像关于直线对称，

4、则下面正确的结论是（ ） 6.定义在上的函数满足，则的值为( ) A. -1 B. 0 C. 1 D. 27.已知定义在上的函数满足且,则（ ）A. B. C. D.8.定义在上的函数是奇函数，又是以为周期的周期函数,则 ( )A.-1 B.0 C.1 D.49定义在上的偶函数满足，且在上单调递增，设， ，则大小关系是( )A B C D10. 设函数（）是以为周期的奇函数，且，则( ) 11. 函数既是定义域为的偶函数，又是以为周期的周期函数，若在 上是减函数，那么在上是( )增函数 减函数 先增后减函数 先减后增函数12. 设偶函数对任意，都有，且当时，则( ) 13. 定义在上的函数既是

5、奇函数，又是周期函数，是它的一个正周期若将方程 在闭区间上的根的个数记为，则可能为( ) 14. 定义在上的函数既是偶函数又是周期函数，若的最小正周期是，且当 时，则的值为( ) 15.已知是定义在上的函数，且满足，则“为偶函数”是“2为函数的一个周期”的 ( )A充分不必要条件； B必要不充分条件； C充要条件； D既不充分也不必要条件16.设是定义在上的正值函数,且满足.若是周期函数,则它的一个周期是（ ） . . . .17.在上定义的函数是奇函数，且，若在区间是减函数，则函数（ ）A.在区间上是增函数，区间上是增函数B.在区间上是增函数，区间上是减函数C.在区间上是减函数，区间上是增函

6、数D.在区间上是减函数，区间上是减函数二. 填空题18.已知定义在上的偶函数满足对于恒成立，且，则 19. 函数对于任意实数满足条件若，则 _20.设是定义在上的奇函数，且的图象关于直线对称，则 21. 若存在常数，使得函数满足，的一个正周期为 22. 设，记，则 23已知函数满足，则 三. 解答题24. 设函数是定义域上的奇函数，对任意实数有成立（1）证明：是周期函数，并指出周期；（2）若，求的值25. 已知函数的图象关于点对称，且满足，又，求的值.26.已知函数是定义为上的奇函数，且它的图像关于直线对称（1）求证：是周期为4的周期函数；（2）若，求时，函数的解析式。27. 已知函数的定义域

7、为，且满足（1）求证：是周期函数；（2）若为奇函数，且当时，求使在上的所有 的个数。28. 设函数在上满足，且在闭区间 上，只有(1)试判断函数的奇偶性；(2)试求方程在闭区间上的根的个数，并证明你的结论.29.定义在上的奇函数有最小正周期4，且时，。求在上的解析式参考答案（一）选择题15 BBBCB 610 CABDD 1115 ADDDC 1617 CC4、特取 13、特取 16、由是定义在上的正值函数及得，所以，即的一个周期是6（二）填空题18、 1 19、 20、0 21、 22、，可见， 23、令得同理两式相加得，由此可得（三）解答题24、解：（1）； （2）因为函数是定义域上的奇函数，且，所以在中，令得25、解：由在中，令得在中，令得所以，而，所以又，所以，26、解：（1）（2）时，时，从而又当时，从而（）又因为也满足上式，（）27、解：（1）（2）时，时，从而故又当时，从而由图象可知在上使的所有的个数为502。28、解:（1）由,从而知函数的周期为又 而，故函数是非奇非偶函数；(2) 又故在和上均有两个解,从而可知函数在上有403个解,在上有402个解,所以函数在上有805个解.29.解：当时，又为奇函数，当时，由 是最小正周期4的奇函数，综上，