工程力学计算

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1、第四章 荷载效应构件或结构上的作用使构件或结构产生的内力（如轴力、剪力、扭矩、弯矩等）、变形、裂缝等统称作用效应或荷载效应。荷载与荷载效应之间通常按某种关系相联系。本章重点学习构件和结构在荷载作用下产生的各种内力和变形，进行单种材料杆件的承载能力分析。第一节 构件内力分析一、概述1.1变形固体及其基本假设1.1.1变形固体工程中构件和零件都是由固体材料制成，如铸铁、钢、木材、混凝土等。这些固体材料在外力作用下都会或多或少的产生变形，我们将这些固体材料称为变形固体。变形固体在外力作用上会产生两种不同性质的变形：一种是当外力消除时，变形也随着消失，这种变形称为弹性变形；另一种是外力消除后，变形不能

2、全部消失而留有残余，这种不能消失的残余变形称为塑性变形。一般情况下，物体受力后，既有弹性变形，又有塑性变形。但工程中常用的材料，在所受外力不超过一定范围时，塑性变形很小，可忽略不计，认为材料只产生弹性变形而不产生塑性变形。这种只有弹性变形的物体称为理想弹性体。只产生弹性变形的外力范围称为弹性范围。本书将只限于给出材料在弹性范围内的变形、内力及应力等计算方法和计算公式。工程中大多数构件在外力作用下产生变形后，其几何尺寸的改变量与构件原始尺寸相比，常是极其微小的，我们称这类变形为小变形。材料力学研究的内容将限于小变形范围。由于变形很微小，我们在研究构件的平衡问题时，就可采用构件变形前的原始尺寸进行

3、计算。1.1.2变形固体的基本假设为了使计算简便，在材料力学的研究中，对变形固体作了如下的基本假设：(1)均匀连续假设假设变形固体在其整个体积内豪无空隙地充满了物质。而且各点处材料的力学性能完全相同。(2)各向同性假设假设材料在各个方向具有相同的力学性能。常用的工程材料如钢材、玻璃等都可认为是各向同性材料。如果材料沿各个方向具有不同的力学性能，则称为各向异性材料。综上所述，建筑力学中所研究的构件，是由均匀连续、各向同性的变形固体材料制成的构件，且限于小变形范围。1.2杆件变形的基本形式1.2.1杆件图4-1建筑力学中主要研究的构件是杆件。所谓杆件，是指长度远大于其他两个方向尺寸的构件。杆件的几

4、何特点可由横截面和轴线来描述。横截面是与杆长方向垂直的截面，而轴线是各截面形心的连线(图4-1)。杆各截面相同、且轴线为直线的杆，称为等截面直杆。1.2.2杆件变形的基本形式杆件在不同形式的外力作用下，将发生不同形式的变形。但杆件变形的基本形式有以下四种：(1)轴向拉伸和压缩(图4-2a、图4-2b)在一对大小相等、方向相反、作用线与杆轴线相重合的外力作用下，杆件将发生长度的改变(伸长或缩短)。(2)剪切(图4-2c)在一对相距很近、大小相等、方向相反的横向外力作用下，杆件的横截面将沿外力方向发生错动。(3)扭转(图4-2d)在一对大小相等、方向相反、位于垂直于杆轴线的两平面内的力偶作用下，杆

5、的任意两横截面将绕轴线发生相对转动。(4)弯曲(图4-2e) 在一对大小相等、方向相反、位于杆的纵向平面内的力偶作用下，杆件的轴线由直线弯成曲线。 图4-2工程实际中的杆件，可能同时承受不同形式的外力而发生复杂的变形，但都可以看作是上述基本变形的组合。由两种或两种以上基本变形组成的复杂变形称为组合变形。在以下几节中，将分别讨论上述各种基本变形和组合变形。1.3内力和内力分析方法截面法1.3.1内力的概念在第一章对某一物体进行受力分析时，常将该物体作为研究对象单独分离，画出该物体的受力图。物体所受到的力全部是研究对象(该物体)以外的其他物体对它的作用力，称为外力。而在本章讨论杆件的强度、刚度、稳

6、定性问题时，需要通过作用在杆件上的外力进一步分析杆件内部的破坏及变形规律。因此，只研究作用在杆件上的外力就不够了，还需讨论另一种力，即杆件的内力。当杆件受到外力作用后，杆件内部相邻各质点间的相对位置就要发生变化，这种相对位置的变化使整个杆件产生变形，并使杆件内各质点之间原来的(受外力作用之前的)相互作用力发生改变，各质点之间相互作用力的变化使杆件相连两部分之间原有的相互作用力也发生了改变。在研究建筑力学问题时，习惯上将这种由于外力的作用而使杆件相连两部分之间相互作用力产生的改变量称为附加内力，简称为内力。内力是由于外力而引起的，杆件所受的外力越大，内力也就越大，同时变形也越大。如我们用双手拉一

7、根橡胶绳，首先会发现橡胶绳也在拉我们的手，这是因为当我们用手拉橡胶绳时，对橡胶绳施加了一对大小相等、方向相反的拉力，这一对拉力对橡胶绳而言是作用在它上面的外力，由于这种外力的作用，使橡胶绳内任意相邻的两部分之间会产生内力，即橡胶绳拉手的力；其次还会发现手拉橡胶绳的力越大，橡胶绳对手的拉力也越大，绳子的变形也越大。但是内力的增大不是无限度的，内力达到某一限度(这一限度与杆件的材料、几何尺寸等因素有关)时，杆件就会破坏。由此可知：内力与杆件的强度、刚度等有着密切的关系。讨论杆件强度、刚度和稳定性问题，必须先求出杆件的内力。1.3.2求内力的基本方法截面法为了计算杆件的内力，需要先用一个假想的平面将

8、杆件“截开”，使杆件在被切开位置处的内力显示出来，然后取杆件的任一部分作为研究对象，利用这部分的平衡条件求出杆件在被切开处的内力，这种求内力的方法称为截面法。截面法是求杆件内力的基本方法。不管杆件产生何种变形，都可以用截面法求出内力。下面以轴向拉伸杆件为例，介绍截面法求内力的基本方法和步骤。图4-3a所示为杆件受到一对轴向拉力作用产生轴向拉伸的情况。现在我们来计算杆上任一截面(如距左端为l3处横截面)上的内力。计算内力的步骤如下：(1)截开用假想的截面，在要求内力的位置处将杆件截开，把杆件分为两部分。(2)代替取截开后的任一部分为研究对象，画受力图。画受力图时，在截开的截面处用该截面上的内力代

9、替另一部分对研究部分的作用。如对于左段而言，截开处原右段对它作用的内力此时已变成左段上的外力而暴露了出来。由于固体是连续的，所以截面上的内力是连续分布的，我们称这种内力为分布内力(图4-3b)。本课程所讲的内力是这些分布内力的合力。因此，画受力图时在被截开的截面处，只画分布内力的合力即可，(图4-3c)。图4-3(3)平衡由于整体杆件原本处于平衡状态(图4-3a)，因此被截开后的任一部分也应处于平衡状态。对于研究部分(图4-3c)根据作用在该部分上的力系情况，建立平衡方程，从而可求出截面上的内力。如对图4-3c中的杆段，列平衡方程Fx=0，得Fp=FN；这说明该横截面上的内力大小等于FN，方向

10、如图4-3c所示。若取截面的右段同样可求得Fp=FN，如图4-3d所示。1.4平面图形的几何性质在建筑力学以及建筑结构的计算中，经常要用到与截面有关的一些几何量。例如轴向拉压的横截面面积A、圆轴扭转时的抗扭截面系数w，和极惯性矩，等都与构件的强度和刚度有关。以后在弯曲等其他问题的计算中，还将遇到平面图形的另外一些如形心、静矩、惯性矩、抗弯截面系数等几何量。这些与平面图形形状及尺寸有关的几何量统称为平面图形的几何性质。1.4.1重心和形心1.4.1.1重心的概念地球上的任何物体都受到地球引力的作用，这个力称为物体的重力。可将物体看作是由许多微小部分组成，每一微小部分都受到地球引力的作用，这些引力

11、汇交于地球中心。但是，由于一般物体的尺寸远比地球的半径小得多，因此，这些引力近似地看成是空间平行力系。这些平行力系的合力就是物体的重力。由实验可知，不论物体在空间的方位如何，物体重力的作用线始终是通过一个确定的点，这个点就是物体重力的作用点，称为物体的重心。1.4.1.2一般物体重心的坐标公式1.4.1.2.1一般物体重心的坐标公式如图4-4所示，为确定物体重心的位置，将它分割成以个微小块，各微小块重力分别为G1、G2、Gn，其作用点的坐标分别为(x1、y1、z1，)、(x2、y2、z2)(xn、yn、zn)，各微小块所受重力的合力W即为整个物体所受的重力G=Gi：，其作用点的坐标为C(xc、

12、yc、zc)。对Y轴应用合力矩定理，有：得 同理，对x轴取矩可得：将物体连同坐标转90。而使坐标面oxz成为水平面，再对z轴应用合力矩定理，可得：(41)因此，一般物体的重心坐标的公式为：图4-41.4.1.2.2均质物体重心的坐标公式对均质物体用r表示单位体积的重力，体积为V，则物体的重力G=Vr，微小体积为，微小体积重力Gi=Viy，代入式(41)，得均质物体的重心坐标公式为：(42)由上式可知，均质物体的重心与重力无关。所以，均质物体的重心就是其几何中心，称为形心。对均质物体来说重心和形心是重合的。1.4.1.2.3均质薄板的重心(形心)坐标公式对于均质等厚的薄平板，如图4-5所示取对称

13、面为坐标面oyz，用表示其厚度，Ai表示微体积的面积，将微体积Vi=Ai及V=A代人式(42)，得重心(形心)坐标公式为：(43)因每一微小部分的xi为零，所以xi=0。1.4.1.2.4平面图形的形心计算图4-5形心就是物体的几何中心。因此，当平面图形具有对称轴或对称中心时，则形心一定在对称轴或对称中心上。如图4-6所示。若平面图形是一个组合平面图形，则可先将其分割为若干个简单图形，然后可按式(43)求得其形心的坐标，这时公式中的Ai为所分割的简单图形的面积，而yi、zic为其相应的形心坐标，这种方法称为分割法。另外，有些组合图形，可以看成是从某个简单图形中挖去一个或几个简单图形而成，如果将

14、挖去的面积用负面积表示，则仍可应用分割法求其形心坐标，这种方法又称为负面积法。图4-6【例4-l】试求图4-7所示T形截面的形心坐标。【解】将平面图形分割为两个矩形，如图4-7所示，每个矩形的面积及形心坐标为：由式(83)可求得T形截面的形心坐标为：【例4-2】试求图4-8所示阴影部分平面图形的形心坐标。【解】将平面图形分割为两个圆，如图8-5所示，每个圆的面积及形心坐标为由式(4-3)可求得阴影部分平面图形的形心坐标为：图4-7 图4-81.4.2静 矩1.4.2.1定义图4-9所示，任意平面图形上所有微面积dA与其坐标y(或z)乘积的总和，称为该平面图形对z轴(或Y轴)的静矩，用Sz(或S

15、y)表示，即：(44)由上式可知，静矩为代数量，它可为正，可为负，也可为零。常用单位为 m3或mm3。图4-9 图4-101.4.2.2简单图形的静矩图4-10所示简单平面图形的面积A与其形心坐标Yc(或zc)的乘积，称为简单图形对z轴或Y轴的静矩，即：(45)当坐标轴通过截面图形的形心时，其静矩为零；反之，截面图形对某轴的静矩为零，则该轴一定通过截面图形的形心。1.4.2.3组合平面图形静矩的计算(46)式中A各简单图形的面积； Yci、zci各简单图形的形心坐标。式(4-6)表明：组合图形对某轴的静矩等于各简单图形对同一轴静矩的代数和。【例4-3】计算图4-11所示T形截面对z轴的静矩。【

16、解】将T形截面分为两个矩形，其面积分别为：截面对z轴的静矩图4-111.4.3惯性矩、惯性积、惯性半径1.4.3.1惯性矩、惯性积、惯性半径的定义1.4.3.1.1惯性矩图4-12图4-12所示，任意平面图形上所有微面积dA与其坐标Y(或z)平方乘积的总和称为该平面图形对z轴(或Y轴)的惯性矩，用Iz(或Iy)表示，即：(47)式(4-7)表明，惯性矩恒为正值。常用单位为m4或mm4。1.4.3.1.2惯性积 图4-12所示，任意平面图形上所有微面积dA与其坐标z、Y乘积的总和，称为该平面图形对z、Y两轴的惯性积，用Izy表示，即：(48)惯性积可为正，可为负，也可为零。常用单位为m4或mm4

17、。可以证明，在两正交坐标轴中，只要z、Y轴之一为平面图形的对称轴，则平面图形对z、Y轴的惯性积就一定等于零。1.4.3.1.3惯性半径在工程中为了计算方便，将图形的惯性矩表示为图形面积A与某一长度平方的乘积，即：(49)式中iz、iy平面图形对z、Y轴的惯性半径，常用单位为m或mm。1.4.3.1.4简单图形(图4-13)的惯性矩及惯性半径(1)简单图形对形心轴的惯性矩(由式47积分可得)矩形 圆形环形型钢的惯性矩可直接由型钢表查得，见附录二。图4-13(2)简单图形的惯性半径矩形圆形1.4.3.2平行移轴公式1.4.3.2.1惯性矩的平行移轴公式同一平面图形对不同坐标轴的惯性矩是不相同的，但

18、它们之间存在着一定的关系。现给出图4-14所示平面图形对两个相平行的坐标轴的惯性矩之间的关系。(410)式(4-10)称为惯性矩的平行移轴公式。它表明平面图形对任一轴的惯性矩，等于平面图形对与该轴平行的形心轴的惯性矩再加上其面积与两轴间距离平方的乘积。在所有平行轴中，平面图形对形心轴的惯性矩为最小。1.4.3.2.2组合截面惯性矩的计算组合图形对某轴的惯性矩，等于组成组合图形的各简单图形对同一轴的惯性矩之和。【例4-4】计算图4-15所示T形截面对形心z轴的惯性矩Izc。【解】(1)求截面相对底边的形心坐标(2)求截面对形心轴的惯性矩图4-14 图4-15【例4-5】试计算图4-16所示由两根

19、N020槽钢组成的截面对形心轴z、Y的惯性矩。【解】组合截面有两根对称轴，形心C就在这两对称轴的交点。由型钢表查得每根槽钢的形心C1或C2到腹板边缘的距离为19.5mm，每根槽钢截面积为：每根槽钢对本身形心轴的惯性矩为：整个截面对形心轴的惯性矩应等于两根槽钢对形心轴的惯性轴之和，故得：图4-161.4.4形心主惯性轴和形心主惯性矩的概念若截面对某坐标轴的惯性积Izoyo=0，则这对坐标轴z、yo称为截面的主惯性轴，简称主轴。截面对主轴的惯性矩称为主惯性矩，简称主惯矩。通过形心的主惯性轴称为形心主惯性轴，简称形心主轴。截面对形心主轴的惯性矩称为形心主惯性矩，简称为形心主惯矩。 凡通过截面形心，且

20、包含有一定对称轴的一对相互垂直的坐标轴一定是型心主轴。二、构件内力计算2.1轴向拉伸和压缩时的内力2.1.1轴向拉伸和压缩的概念沿杆件轴线作用一对大小相等、方向相反的外力，杆件将发生轴向伸长(或缩短)变形，这种变形称为轴向拉伸(或压缩)(图4-17 a、b)。产生轴向拉伸或压缩的杠件称为拉杆或压杆。（a） (b)图4-16工程结构中，拉杆和压杆是常见的。如图4-17所示的三角支架中，杆AB是拉杆，杆BC是压杆。又如图4-18所示的屋架，上弦杆是压杆，下弦杆是拉杆。图4-18图4-172.1.2轴向拉压杆的内力轴力2.1.2.1轴向拉伸和压缩时杆件的内力轴力图4-19如图4-19(a)所示为一等

21、截面直杆受轴向外力作用，产生轴向拉伸变形。现用截面法分析m-m截面上的内力。用假想的横截面将杆在mm截面处截开分为左、右两部分，取左部分为研究对象如图4-19(b)所示，左右两段杆在横截面上相互作用的内力是一个分布力系，其合力为N。由于整个杆件是处于平衡状态，所以左段杆也应保持平衡，由平衡条件X=0可知，mm横截面上分布内力的合力N必然是一个与杆轴相重合的内力，且N=F，其指向背离截面。同理，若取右段为研究对象如图4-19(c)所示，可得出相同的结果。对于压杆，也可通过上述方法求得其任一横截面上的内力N，但其指向为指向截面。我们将作用线与杆件轴线相重合的内力，称为轴力，用符号N表示。背离截面的

22、轴力，称为拉力；而指向截面的轴力，称为压力。2.1.2.2轴力的正负号规定轴向拉力为正号，轴向压力为负号。在求轴力时，通常将轴力假设为拉力方向，这样由平衡条件求出结果的正负号，就可直接代表轴力本身的正负号。轴力的单位为N或kN。2.1.2.3轴力图当杆件受到多于两个轴向外力的作用时，在杆件的不同横截面上轴力不尽相同。我们将表明沿杆长各个横截面上轴力变化规律的图形，称为轴力图。以平行于杆轴线的横坐标轴z表示各横截面位置，以垂直于杆轴线的纵坐标N表示各横截面上轴力的大小，将各截面上的轴力按一定比例画在坐标系中并连线，就得到轴力图。画轴力图时，将正的轴力画在轴线上方，负的轴力画在轴线下方。【例4-6

23、】一直杆受轴向外力作用如图4-20(a)所示，试用截面法求各段杆的轴力。【解】(1)用截面法求各段杆横截面上的轴力 AB段取11截面左部分杆件为研究对象，其受力如图4-20(a)所示，由平衡条件得BC段取22截面左部分杆件为研究对象，其受力如图4-20 (c)所示，由平衡条件图4-20,得CD段取33截面右部分杆为研究对象，其受力如图4-20(d)所示，由平衡条件,得(2)画轴力图根据上面求出各段杆轴力的大小及其正负号画出轴力图，如图4-20(e)所示：【例4-7】试画出图4-21(a)所示阶梯柱的轴力图，已知F=40kN。【解】(1)求各段柱的轴力(2)画轴力图根据上面求出各段柱的轴力画出阶

24、梯柱的轴力图，如图4-21(b)所示。图4-21值得注意的是：在采用截面法之前，外力不能沿其作用线移动。因为将外力移动后就改变了杆件的变形性质，内力也就随之改变。轴力图、受力图应与原图各截面对齐。当杆水平放置时，正值应画在与杆件轴线平行的横坐标轴的上方，而负值则画在下方，并必须标出正号或负号，如图4-20所示；当杆件竖直放置时正、负值可分别画在杆轴线两侧并标出正号或负号。轴力图上必须标明横截面的轴力值、图名及其单位，还应适当地画一些与杆件轴线垂直的直线。当熟练时，可以不画各段杆的受力图，直接画出轴力图，横坐标轴z和纵坐标轴N也可以省略不画，如图4-21(b)所示。从前面的几个例题的计算中我们会

25、发现：截面上的轴力与所研究的杆段上的外力之间存在一种关系，即轴力等于所取杆段（左段或右段）上外力的代数和。在计算轴力时，外力的方向背离截面（引起拉力）取正号，外力的方向指向截面（引起压力）取负号。用这种规律求轴力可以省去列平衡方程，使计算简化。2.2扭转内力2.2.1扭转的概念图4-22扭转变形是杆件基本变形之一。在垂直杆件轴线的两平面内，作用一对大小相等、转向相反的力偶时，杆件就产生扭转变形。大多数受扭的杆件其横截面为圆形，受扭的圆截面杆称为圆轴。圆轴扭转的变形特点是杆件的各横截面绕杆轴线发生相对转动。其中杆件任意两截面间相对转动的角度称为扭转角，用表示。如图4-22中的角就是曰截面相对A截

26、面的扭转角。图4-23图4-24在工程中，以扭转变形为主的杆件是很多的。如汽车转向盘的操纵杆(图4-23)、搅拌器的主轴(图4-24)、钻探机的钻杆和机械的传动轴等。 2.2.2圆轴扭转时横截面上的内力2.2.2.1外力偶矩的计算作用于轴上的外力偶，有时在工程中并不是已知的，常常是已知轴所传递的功率和轴的转速，再由下式求出外力偶矩，即(411)式中，P为轴传递的功率(kW)；n为轴的转速(rmin)；M。为轴上的外力偶矩(Nm)。若功率的单位为马力，则外力矩的计算公式为(412)2.2.2.2扭矩图4-25圆轴横截面上的内力仍通过截面法来进行分析。下面以图4-25（a）所示两端承受外力偶矩Me

27、作用的圆轴为例，来说明求任意横截面mm上内力的方法。用假想截面沿截面m-m将轴截开，任取一段(如左段)，如图4-25（b）所示。由于圆轴AB是平衡的，因此截取部分也处于平衡状态，根据力偶的性质，横截面m-m上必有一个内力偶矩与外力偶矩肘。平衡，我们把这个内力偶矩称为扭矩，用T表示，单位为Nm或kNm。由平衡条件得若取右段为研究对象，如图4-25（c）所示，由平衡条件得与取左段为研究对象结果相同。以上结果说明，计算某截面上的扭矩，无论取该截面左侧还是右侧为研究对象，求出的扭矩大小都相等且转向相反，它们是作用与反作用的关系。为了使从截面左、右两侧求得同一截面的扭矩不但数值相等，而且有同样的正负号，

28、用右手螺旋法则规定扭矩的正负号。即以右手四指表示扭矩的转向，若大拇指的指向与横截面的外法线n指向一致时，扭矩为正(图95a)；反之，扭矩为负(图95b)。当横截面上扭矩的实际转向未知时，一般先假设扭矩为正。若求得结果为正，表示扭矩实际转向与假设相同；若求得结果为负，则表示扭矩实际转向与假设相反。图4-26例4-8 如图4-27（a）所示，一传动系统的主轴，其转速n=960rmin，输入功率PA=275kW，输出功率P。：20kW，PB=75kW。试求指定截面1-1、2-2上的扭矩。解 (1)计算外力偶矩。由式(4-11)得同理可得(2)计算扭矩。用截面法分别计算截面1-l、2-2上的扭矩。截面

29、l-1：图4-27假想地沿截面1-1处将轴截开，取左段为研究对象，并假设截面l-1上的扭矩为T1，且为正方向(图4-27b)，由平衡条件得负号表示该截面上的扭矩实际转向与假设转向相反，即为负方向。截面2-2：假想沿截面2-2将轴截开，取左段为研究对象，并假设截面2-2上的扭矩为疋，且为正方向(图4-27c)，由平衡条件得负号表示该截面上的扭矩实际转向与假设转向相反，即为负方向。若以截面2-2右段为研究对象(图4-27d)，同理，由平衡条件得所得结果与取左段为研究对象的结果相同，计算却比较简单。所以计算某截面上的扭矩时。应取受力比较简单的一段为研究对象。由上面的计算结果不难看出：受扭杆件任一横截

30、面上扭矩的大小。等于此截面一侧(左或右)所有外力偶矩的代数和。2.2.2.3扭矩图当轴上同时作用两个以上的外力偶时，横截面上的扭矩随截面位置的不同而变化。反映轴各横截面上扭矩随截面位置不同而变化的图形称为扭矩图。根据扭矩图可以确定最大扭矩值及其所在截面的位置。扭矩图的绘制方法与轴力图相似。需先以轴线为横轴z、以扭矩r为纵轴，建立卜z坐标系，然后将各截面上的扭矩标在卜z坐标系中，正扭矩在x轴上方，负扭矩在x轴下方。下面通过例题说明扭矩图绘制的方法和步骤。例4-9 传动轴如图4-28a所示，主动轮A输入功率PA=120kW，从动轮B、 C、D输出功率分别为PB=30kW，PC=40kW，PD=50

31、kW，轴的转速n=300 rmin。试作出该轴的扭矩图。解 (1)计算外力偶矩。由式(4-11)得同理可得(2)计算扭矩。根据作用在轴上的外力偶，将轴分成鲋、AC和CD三段用截面法分别计算各段轴的扭矩，如图4-28b、c、d所示。(3)作扭矩图。建立T-x坐标系x轴沿轴线方向，T向上为正。将轴各横截面上的扭矩标在T-x坐标中。由于BA段各横截面上扭矩均为-0.95 kNm，故扭矩图为平行于x轴的直线，且位于z轴下方；而AC段、CB段各横截面上扭矩分别为2.87kNm和1.59kNm，故扭矩图均为平行于x轴的直线，且位于x轴上方，于是得到如图4-28e所示的扭矩图。从扭矩图可以看出，在集中力偶作

32、用处，其左右截面扭矩不同，此处发生突变，突变值等于集中力偶矩的大小：最大扭矩发生在AC段内，且Tmax=2.87kNm。讨论 对同一根轴来说，若把主动轮A与从动轮B对调，即把主动轮布置于轴的左端(图4-29a)，则得到该轴的扭矩图(图4-29b)。这时轴的最大扭矩发生在AB段内，且Tmax=3.82kNm。比较图4-28e和图4-29b可见，传动轴上主动轮和从动轮布置的位置不同，轴所承受的最大扭矩也随之改变。轴的强度和刚度都与最大扭矩值有关。因此在布置轮子位置时，要尽可能降低轴内的最大扭矩值。显然图4-28布局比较合理图4-28图4-292.3弯曲内力2.3.1平面弯曲的概念2.3.1.1弯曲

33、和平面弯曲2.3.1.1.1弯曲在工程中我们经常遇到这样一些情况：杆件所受的外力的作用线是垂直于杆轴线的平衡力系(或在纵向平面内作用外力偶)。在这些外力作用下，杆的轴线由直线变成曲线(图4-30)，图中虚线表示梁在外力作用下变形后的轴线)。这种变形称为弯曲。凡是以弯曲为主要变形的杆件通常称之为梁。图4-30梁是工程中一种常用的杆件，尤其是在建筑工程中，它占有特别重要的地位。如房屋建筑中常用于支承楼板的梁(图4-31)，阳台的挑梁(图4-32)，门窗过梁(图4-33)，厂房中的吊车梁(图4-34)，粱式桥的主梁(图4-35)等等。图4-32图4-31图4-34图4-33图4-36图4-352.3

34、.1.1.2平面弯曲工程中常见的梁，其横截面大多为矩形、工字形、T形、十字形、槽形等(图4-36)，它们都有对称轴，梁横截面的对称轴和梁的轴线所组成的平面通常称为纵向对称平面(图4-37)。当作用于梁上的力(包括主动力和约束反力)全部都在梁的同一纵向对称平面内时，梁变形后的轴线也在该平面内，我们把这种力的作用平面与梁的变形平面相重合的弯曲称为平面弯曲。图4-37中的梁就产生了平面弯曲。平面弯曲是弯曲问题中最常见，而且最简单的弯曲。本章只对平面弯曲变形进行分析和讨论。2.3.1.2梁的类型图4-37工程中通常根据梁的支座反力能否用静力平衡方程全部求出，将梁分为静定梁和超静定梁两类。凡是通过静力平

35、衡方程就能够求出全部约束反力和内力的梁，统称为静定梁。静定梁又根据其跨数分为单跨静定梁和多跨静定梁两类，单跨静定梁是本章的研究对象。通常根据支座情况将单跨静定梁分为三种基本形式。(1)悬臂梁一端为固定端支座，另一端为自由端的梁(图4-38a)(2)简支梁一端为固定铰支座，另一端为可动铰支座的梁(图4-38b) (3)外伸梁梁身的一端或两端伸出支座的简支梁(图4-38c、d)图4-38第二节 构件承载力分析2.3.2梁的内力在求出梁的支座反力后，为了计算梁的应力和位移，从而对梁进行强度和刚度计算，需要首先研究梁的内力。2.3.2.1梁的内力剪力和弯矩梁在产生平面弯曲时将会产生哪些内力呢?下面我们

36、仍用求内力的基本方法截面法来讨论梁的内力。现以图4-39a所示的简支梁为例来分析。设荷载FP和支座反力FAy 、FBy均作用在同一纵向对称平面内，组成的平面力系使梁处于平衡状态，欲计算截面1-1上的内力。图4-39用一个假想的平面将该梁从要求内力的位置11处切开，使梁分成左右两段，由于原来梁处于平衡状态，所以被切开后它的左段或右段也处于平衡状态，可以任取一段为隔离体。现取左段研究。在左段梁上向上的支座反力FAy有使梁段向上移动的可能，为了维持平衡，首先要保证该段在竖直方向不发生移动，于是左段在切开的截面上必定存在与FAy，大小相等、方向相反的内力FQ但是，内力FQ只能保证左段梁不移动，还不能保

37、证左段梁不转动，因为支座反力FAy，对1-1截面形心有一个顺时针方向的力矩FAyx，这个力矩使该段有顺时针方向转动的趋势。为了保证左段梁不发生转动，在切开的1-1截面上还必定存在一个与FAyx力矩大小相等、转向相反的内力偶M(图4-39b)。这样在1-1截面上同时有了FQ和M才使梁段处于平衡状态。可见，产生平面弯曲的梁在其横截面上有两个内力：其一是与横截面相切的内力FQ，称为剪力；其二是在纵向对称平面内的内力偶，其力偶矩为M，称为弯矩。截面1-1上的剪力和弯矩值可由左段梁的平衡条件求得。由得将力矩方程的矩心选在截面1-1的形心C点处，剪力FQ将通过矩心。由得以上左段梁在截面1-1上的剪力和弯矩

38、，实际上是右段梁对左段梁的作用。根据作用力与反作用力原理可知，右段梁在截面1-1上的FQ、M与左段梁在1-1截面上的FQ、M应大小相等、方向(或转向)相反(图4-39c)。若对右段梁列平衡方程进行求解，求出的FQ及M也必然如此，请读者自己验证。2.3.2.2剪力和弯矩的正负号规定由上述分析可知：分别取左、右梁段所求出的同一截面上的内力数值虽然相等，但方向(或转向)却正好相反，为了使根据两段梁的平衡条件求得的同一截面(如11截面)上的剪力和弯矩具有相同的正、负号，这里对剪力和弯矩的正负号作如下规定。2.3.2.2.1剪力的正负号规定当截面上的剪力FQ使所研究的梁段有顺时针方向转动趋时，剪力为正(

39、图4-40a)；有逆时针方向转动趋势时剪力为负(图4-40b)。2.3.2.2.2弯矩的正负号规定当截面上的弯矩肘使所研究的水平梁段产生向下凸的变形时(即该梁段的下部受拉，上部受压)弯矩为正(图ll一12a)；产生向上凸的变形时(即该梁段的上部受拉，下部受压)弯矩为负(图1112b)。图4-402.3.2.3用截面法求指定截面上的剪力和弯矩用截面法求梁指定截面上的剪力和弯矩时的步骤如下：1)求支座反力。2)用假想的截面将梁从要求剪力和弯矩的位置截开。3)取截面的任一侧为隔离体，作出其受力图，列平衡方程求出剪力和弯矩。图4-41 下面举例说明如何用截面法求梁指定截面上的内力剪力和弯矩。例4-10

40、试用截面法求图4-42a所示悬臂梁1-l、2-2截面上的剪力和弯矩。已知：q=15kNm，F，=30kN。图中截面1-1无限接近于截面A，但在A的右侧，通常称为A偏右截面。解 图示梁为悬臂梁，由于悬臂梁具有一端为自由端的特征，所以在计算内力时可以不求其支座反力。但在不求支座反力的情况下，不能取有支座的梁段计算。图4-42(1)求1-1截面的剪力和弯矩。用假想的截面将梁从1-1位置截开，取1-1截面的右侧为隔离体，作该段的受力图(图4-42b)，图中1-1截面上的剪力和弯矩都按照正方向假定，由平衡方程Fy=0得计算结果为正，说明1-1截面上剪力的实际方向与图中假定的方向一致，即1-1截面上的剪力

41、为正值。由M1=0得计算结果为负，说明1-1截面上弯矩的实际方向与图中假定的方向相反，即1-1截面上的弯矩为负值。(2)求2-2截面上的剪力和弯矩。用假想的截面将梁从2-2位置截开，取2-2截面的右侧为隔离体，作该段的受力图，如图4-42e所示。由平衡方程Fy=0，得由M2=0得例4-11 用截面法求图4-43a所示外伸梁指定截面上的剪力和弯矩。已知： Fp=100kN，a=15m，M=75kNm，(图中截面1-l、2-2都无限接近于截面 A，但1-1在A左侧、2-2在A右侧，习惯称1-1为A偏左截面，2-2为A偏右截面；同样3-3、4-4分别称为D偏左及偏右截面)。解 (1)求支座反力。对简

42、支梁和外伸梁必须求支座反力。以B点为矩心，列力矩平衡方程。由MB=0得由Fy=0得(2)求1-1截面上的剪力和弯矩。取1-1截面的左侧梁段为隔离体，作该段的受力图(图4-43b)。由平衡方程图4-43(3)求2-2截面上的剪力和弯矩。取2-2截面的左侧梁段为隔离体，作该段的受力图(图4-43c)。由平衡方程(4)求3-3截面的剪力和弯矩。取3-3截面的右段为隔离体，作该段的受力图(图4-43d)。由平衡方程(5)求4-4截面的剪力和弯矩。取4-4截面的右段为隔离体，作该段的受力图(图4-43e)。由平衡方程对比1-1、2-2截面上的内力会发现：在A偏左及偏右截面上的剪力不同。而弯矩相同，左、右

43、两侧剪力相差的数值正好等于A截面处集中力的大小。我们称这种现象为剪力发生了突变；对比3-3、4-4截面上的内力会发现：在D偏左及偏右截面上的剪力相同，而弯矩不同，左、右两侧弯矩相差的数值正好等于D截面处集中力偶的大小，我们称这种现象为弯矩发生了突变。截面法是求内力的基本方法，利用截面法求内力时应注意以下几点：1)用截面法求梁的内力时，可取截面任一侧研究，但为了简化计算，通常取外力比较少的一侧来研究。2)作所取隔离体的受力图时，在切开的截面上，未知的剪力和弯矩通常均按正方向假定。这样能够把计算结果的正、负号和剪力、弯矩的正负号相统一，即计算结果的正负号就表示内力的正负号。3)在列梁段的静力平衡方

44、程时，要把剪力、弯矩当作隔离体上的外力来看待。因此，平衡方程中剪力、弯矩的正负号应按静力计算的习惯而定，不要与剪力、弯矩本身的正、负号相混淆。4)在集中力作用处，剪力发生突变，没有固定数值，应分别计算该处稍偏左及稍偏右截面上的剪力，而弯矩在该处有固定数值，稍偏左及稍偏右截面上的数值相同，只需要计算该截面处的一个弯矩即可；在集中力偶作用处，弯矩发生突变，没有固定数值，应分别计算该处稍偏左及稍偏右截面上的弯矩，而剪力在该处有固定数值，稍偏左及稍偏右截面上的数值相同，只需要计算该截面处的一个剪力即可。2.3.2.4直接用外力计算截面上的剪力和弯矩通过对用截面法计算梁的内力进行分析，我们可以发现：截面

45、上的内力和该截面一侧外力之间存在一种关系(规律)，因此，通常可以利用规律直接根据截面的任一侧梁上的外力来求出该截面上的剪力和弯矩，省去作梁段的受力图和列平衡方程，使计算内力的过程简单化，我们称这种方法为直接用外力计算截面上的剪力和弯矩，简称用规律求剪力和弯矩。2.3.2.4.1用外力直接求截面上剪力的规律梁内任一截面上的剪力FQ，在数值上等于该截面一侧(左侧或右侧)梁段上所有外力在平行于剪力方向投影的代数和(由Fy=0的平衡方程移项而来)。用式子可表示为根据对剪力正负号的规定可知：在左侧梁段上所有向上的外力会在截面上产生正剪力，而所有向下的外力会在截面上产生负剪力；在右侧梁段上所有向下的外力会

46、在截面上产生正剪力，而所有向上的外力会在截面上产生负剪力。即：左上右下正，反之负。由于力偶在任何坐标轴上的投影都等于零，因此作用在梁上的力偶对剪力没有影响。2.3.2.4.2用外力直接求截面上弯矩的规律梁内任一截面上的弯矩肘，等于该截面一侧(左侧或右侧)所有外力对该截面形心取力矩的代数和(由Mc=0的平衡方程移项而来)。用式子可表示为根据对弯矩正负号的规定可知：在左侧梁段上的外力(包括外力偶)对截面形心的力矩为顺时针时，在截面上产生正弯矩，为逆时针时在截面上产生负弯矩；在右侧梁段上的外力(包括外力偶)对截面形心的力矩为逆时针时，在截面上产生正弯矩，为顺时针时在截面上产生负弯矩，即：左顺右逆正，

47、反之负。例4-12 求图4-44所示简支梁指定截面上的剪力和弯矩。已知：M=8kNm，q=2kNm。解 (1)求支座反力。取梁AB为隔离体，假设支座反力FAy向下、FBy向上。由平衡方程图4-44(2)求1-1截面上的剪力和弯矩。从1-1位置处将梁截开后，取该截面的左侧为隔离体。作用在左侧梁段上的外力有：力偶M，支座反力FAy，由FQ=FL。及左上剪力正，反之负的规律可知由M=Mc(FL)及左顺弯矩正的规律可知(3)求2-2截面上的剪力和弯矩。从2-2位置处将梁截开后，取该截面的右侧为隔离体。作用在右侧梁段上的外力有：均布荷载q，支座反力F毋，由FQ=FL及右下剪力正的规律可知由M=Mc(FL

48、)及右逆弯矩正，反之负的规律可知(4)求3-3截面上的剪力和弯矩。从3-3位置处将梁截开后，取该截面的右侧为隔离体。作用在右侧梁段上的外力有：均布荷载q，支座反力FBy，由FQ=FR及右下剪力正，反之负的规律可知由M=Mc(FR)及右逆弯矩正，反之负的规律可知当然在计算1-1截面的剪力和弯矩时也可以取该截面右侧计算，在求2-2、3-3截面的剪力和弯矩时也可以取该截面左侧计算，请读者自己练习。例4-13 求图4-45所示外伸梁指定截面上的剪力和弯矩。已知：M=6kNm，q=1kNm，FP=3kN。 图4-45 解 (1)求支座反力。由平衡方程检验：说明支座反力计算正确。(2)求1-1、2-2截面

49、上的剪力和弯矩。从要求剪力和弯矩的截面位置处将梁截开后，取该截面的左侧为隔离体。由FQ=FL及左上剪力正、M=Mc(FL)及左顺弯矩正的规律可知(3)求3-3、4-4截面上的剪力和弯矩。从要求剪力和弯矩的截面位置处将梁截开后，取该截面的右侧为隔离体。由FQ=FR及右下剪力正、M=Mc(FR)及右逆弯矩正的规律可知显然，用“规律”直接计算剪力和弯矩比较简捷，所以，实际计算时经常使用。2.3.3梁的内力图由上节各例题可知：通常情况下，梁上不同截面上的剪力和弯矩值是不同的，即梁的内力(剪力和弯矩)随梁横截面的位置而变化。对梁进行强度和刚度计算时，除了要计算指定截面上的内力外，还必须知道内力沿梁轴线的

50、变化规律，从而找到内力的最大值以及最大内力值所在的位置。所以，本节要讨论梁的内力图，以便形象地了解内力在全梁范围内的变化规律。为今后学习强度和刚度以及学习后续课程奠定基础。2.3.3.1剪力方程和弯矩方程梁横截面上的剪力和弯矩一般是随横截面的位置而变化的。若横截面沿梁轴线的位置用横坐标x表示，则梁内各横截面上的剪力和弯矩就都可以表示为坐标y的函数，即图4-46以上两函数分别称为梁的剪力方程和弯矩方程。通过梁的剪力方程和弯矩方程，可以找到剪力和弯矩沿梁轴线的变化规律。在建立剪力方程、弯矩方程时，剪力、弯矩仍然可使用截面法或用“规律”直接由外力计算。如图4-46a所示的悬臂梁，当将坐标原点假定在左

51、端点A上时(图4-46b)，在距离原点为x的位置处取一截面，并取该截面的左侧研究，直接用外力的规律可写出方程。剪力方程为弯矩方程为式中括号内表示z值的取值范围，即方程的适用范围。可见，当x=0时表示该悬臂梁A偏右截面上的剪力FQRB=一FP及A截面上的弯矩MA=0；当x=l时表示B偏左截面上的内力FQBR=一FP、MBL=FPl。2.3.3.2剪力图和弯矩图为了形象地表明沿梁轴线各横截面上剪力和弯矩的变化情况，通常将剪力和弯矩在全梁范围内变化的规律用图形来表示，这种图形称为剪力图和弯矩图。2.3.3.2.1作剪力图和弯矩图最基本的方法作剪力图和弯矩图最基本的方法是：根据剪力方程和弯矩方程分别绘

52、出剪力图和弯矩图。绘图时，以平行于梁轴线的坐标x表示梁横截面的位置，以垂直于x轴的纵坐标(按适当的比例) 表示相应横截面上的剪力或弯矩。在土建工程中，对于水平梁而言，习惯将正剪力作在x轴的上方，负剪力作在x轴的下方，并标明正、负号；正弯矩作在x轴的下方，负弯矩作在x轴的上方，即弯矩图总是作在梁受拉的一侧。对于非水平梁而言，剪力图可以作在梁轴线的任一侧，并标明正、负号；弯矩图作在梁受拉的一侧。例4-14 作图4-47a所示悬臂梁在集中力作用下的剪力图和弯矩图。解 因为图示梁为悬臂梁，所以可以不求支座反力。(1)列剪力方程和弯矩方程。将坐标原点假定在左端点A处，并取距A端为x的截面左侧研究。剪力方

53、程为弯矩方程为(2)作剪力图和弯矩图。剪力方程为x的常函数，所以不论x取何值剪力恒等于-FP，剪力图为一条与x轴平行的直线，而且在z轴的下方。剪力图如图4-47b所示。弯矩方程为z的一次函数，所以弯矩图为一条斜直线。由于不论z取何值弯矩均为负值，所以弯矩图应作在x轴的上方。图4-47作弯矩图如图4-47c所示。与作杆件的轴力图、扭矩图类似，在作出的剪力图上要标出控制截面的内力值、剪力的正负号，作出垂直于x轴的细直线；而弯矩图比较特殊，由于弯矩图总是作在梁受拉的一侧，因此可以不标正负号，其他要求同剪力图。例4-15 作图4-48a所示简支梁在集中力作用下的剪力图和弯矩图。解 (1)求支座反力。取

54、整体梁为隔离体，由平衡方程图4-48(2)列剪力方程和弯矩方程。经过观察注意到：该梁在C截面上作用一个集中力，使AC段和CB段的剪力方程和弯矩方程不同，因此列方程时要将梁从C截面处分成两段。Ac段：在AC段上距A端为z1的任意截面处将梁截开，取左段研究，根据左段上的外力直接列方程CB段：在CB段上距B端为x2的任意截面处将梁截开，取右段研究，根据右段上的外力直接列方程(3)作剪力图和弯矩图。根据剪力方程和弯矩方程判断剪力图和弯矩图的形状，确定控制截面的个数及内力值，作图。剪力图：AC段和CB段的剪力方程均是x的常函数，所以AC段、CB段的剪力图都是与z轴平行的直线，每段上只需要计算一个控制截面

55、的剪力值。AC段：剪力值为，图形在x轴的上方。CB段：剪力值为图形在z轴的下方。弯矩图：AC段和CB段的弯矩方程均是x的一次函数，所以AC段、CB段的弯矩图都是一条斜直线，每段上需要分别计算两个控制截面的弯矩值。AC段：将及两点连线即可以作出AC段的弯矩图。CB段：将及两点连线即可以作出CB段的弯矩图。作出的剪力图、弯矩图如图4-48b、C所示。注意：应将内力图与梁的计算简图对齐。在写出图名(FQ图、M图)、控制截面内力值、标明内力正、负号的情况下，可以不作出坐标轴。习惯上作图时常用这种方法。由弯矩图可知：简支梁上只有一个集中力作用时。在集中力作用处弯矩出现最大值，；若集中力正好作用在梁的跨中

56、，即时。弯矩的最大值为。这个结论在今后学习叠加法时经常用到，要特别注意。由例4-14和例4-15可以看出：在梁上无荷载作用的区段，其剪力图都是平行于x轴的直线。在集中力作用处，剪力图是不连续的，我们称之为剪力图突变，突变的绝对值等于集中力的数值；在梁上无荷载作用的区段，其弯矩图是斜直线，在集中力作用处，弯矩图发生转折，出现尖角现象。例4-16 作图4-49a所示外伸梁在集中力偶作用下的剪力图、弯矩图。已知：。解 (1)求支座反力。取梁AD为隔离体，由平衡方程(2)列剪力方程和弯矩方程。以梁的端截面、集中力、集中力偶的作用截面为分段的界限，将梁分成AB、BC、CD三段。AB段：在AB段的任意位置

57、x1，处取截面，并取截面左侧研究，由作用在左侧梁段上的外力可知：BC段：在BC段的任意位置x2处取截面，并取截面右侧研究，由作用在右侧梁段上的外力可知：(3)作剪力图和弯矩图。 剪力图：AB段的剪力方程为常函数，BC段、CD段的剪力方程也为常函数，所以每段只需要确定一个控制截面的剪力值即可。图4-49 AB段的剪力值为-FP，BC段的剪力值为0，CD段的剪力值为0，在A日段范围内平行于x轴作数值等于一F，的直线作出AB段的剪力图；在BC段范围内平行于x轴作数值等于0的直线作出BC段的剪力图，在CD段范围内平行于z轴作数值等于0的直线作出CD段的剪力图。作出的剪力图如图4-49b所示。我们发现在

58、B处由于有集中力的作用，剪力图在该处发生了突变现象；而在C处有集中力偶作用，剪力图在该处偏左、偏右的数值没发生变化，我们称之为剪力图在C处无变化。弯矩图：AB段的弯矩方程为一次函数，需要确定两个控制截面的弯矩值： BC段、CD段的弯矩方程为常函数，只需要分别确定一个控制截面的弯矩值即可。AB段：BC段：不论x2取何值，该段上的弯矩恒为-4FPa。 CD段：不论x3，取何值，该段上的弯矩恒为0。将MA=0与MB=-4FPa连线作出AB段的弯矩图；在BC段范围内平行于x轴按比例作数值等于-4FPa的直线作出BC段的弯矩图；在CD段范围内平行于 x轴作数值等于0的直线作出CD段的弯矩图。作出的弯矩图

59、如图4-49c所示。由例4-16可以看出：在集中力偶作用处，剪力图无变化，弯矩图不连续。发生突变。突变的绝对值等于集中力偶的力偶矩数值。而且在梁上无荷载作用的区段，当剪力图为与x轴重合的直线(即剪力图为平行于x轴的直线，且数值为零)时。弯矩图是一条平行于x轴的直线，特殊情况下与x轴重合(如例题4-16中的CD段)。 例4-17作图4-50a所示简支梁在满跨向下均布荷载作用下的剪力图和弯矩图。解 (1)求支座反力。由对称关系可知(2)列剪力方程和弯矩方程。在距左端点为x的位置取任意截面，并取截面左侧研究，由该段上的外力可得图4-50(3)作剪力图和弯矩图。由剪力方程可知：剪力为x的一次函数，所以

60、剪力图为一条斜直线，需要确定两个控制截面的数值。将与连线得梁的剪力图，如图4-50b所示。由弯矩方程可知：弯矩为x的二次函数，弯矩图为一条二次抛物线，至少需要确定三个控制截面的数值。将三点连线得梁的弯矩图，如图4-50c所示。对于简支梁在满跨向下均布荷载作用下的弯矩图，今后在学习中经常用到，希望将这个弯矩图非常牢固地记住。例4-18作图4-51a所示外伸梁在满跨向下均布荷载作用下的剪力图和弯矩图。解 (1)求支座反力。由平衡方程(2)列剪力方程和弯矩方程。根据梁的端截面及集中力的作用截面将梁分成AB、曰C两段。在AB段上距左端点为x，的位置取任意截面，并取截面左侧研究，由该段上的外力可得在BC

61、段上距右端点为x2的位置取任意截面，并取截面右侧研究，由该段上的外力可得图4-51(3)作剪力图和弯矩图。由剪力方程可知：剪力为x的一次函数，剪力图为斜直线，各段上分别需要确定两个控制截面的数值。将FQA=2.1qa与FQBL=-2.9qa连线，将FQBR=-2qa与FQC=0连线得梁的剪力图，如图4-51b所示。由弯矩方程可知：弯矩为x的二次函数，弯矩图为二次抛物线，各段上分别需要确定三个控制截面的数值。当x1=2.1a时，剪力等于零；弯矩取得该段上的极值Mmax=2.2qa2。将与和三点连线得AB段梁的弯矩图；将与和三点连线得BC段梁的弯矩图，如图4-51c所示。由例4-16及例4-17可以看出：在水平梁上有向下均布荷载作用的区段。剪力图为从左向右的下斜直线。弯矩图为开口向上(下凸)的二次抛物线；在剪力为零的截面处，弯矩存在极值。上述通过几个典型例题总结出的一些规律具有普遍意义，对于今后快速作图、检查剪力图和弯矩图的正确性都非常有用，应该重点掌握。2.3.3.2.2用简捷法绘制梁的剪力图和弯矩图