平方根和立方根

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1、课程信息【本讲教育信息】一教学内容：平方根和立方根1. 平方根、立方根的概念和性质；2. 算术平方根，算术平方根的非负性的应用.二. 知识要点：1. 平方根的概念（1）如果一个数的平方等于a,那么这个数就叫做a的平方根.即：r=a, x叫a的 平方根.（2）数a （a$0）的平方根记作土羽，读作“正负根号下a”，其中羽表示a的正的平2方根，一念表示a的负的平方根：“”实际上省略了訴中的2, 2叫做根指数，a叫做被 开方数.2. 平方根的性质（1）正数有两个平方根，它们互为相反数.（2）0的平方根只有一个，还是0.（3）负数没有平方根.3. 算术平方根一个正数a的正的平方根叫做a的算术平方根，0

2、的算术平方根还是0.（1）算术平方根的定义表明，只要是非负数就一定有算术平方根.（2）算术平方根是平方根的一种.（3）非负数的算术平方根还是非负数.念（a$0）,4. 立方根的概念如果一个数的立方等于a,那么这个数叫做a的立方根，即：E=a,则x叫做a的立方 根，表示为話.5. 立方根的性质（1）一个正数有一个正的立方根.（2）一个负数有一个负的立方根.（3）0的立方根是0.6互为相反数的立方根之间的关系：互为相反数.例如8的立方根为2,而一8的立方根 为一2。33尸=也，也就是说一个负数的立方根，可以先求它的相反数的立方根,再取相反数.7. 开方：（1）求一个数的平方根的运算叫开平方（2）求

3、一个数的立方根的运算叫开立方.8. 常见的非负数的类型：|a|, a2, 0）9. 注意事项（1）要加强对平方根和算术平方根概念的理解，进一步明确非负数a的算术平方根是S， 而平方根是土5.（2）计算化简时要谨慎细心，如求帧的平方根，需先算出逅=9,求回的平方根 就是求9的平方根，而不是求81的平方根.（3）真正领会负数没有平方根.三. 重点难点：1. 重点：平方根、立方根的概念和性质：算术平方根.2. 难点：平方根、立方根的概念和性质：算术平方根.【考点分析】平方根和立方根是实数知识的基础，中考中多在填空题和选择题中出现，用来考查它们 的概念、性质、简单的运算.所以我们要准确掌握平方根、立方

4、根的概念和性质，以及算术 平方根（a$0）的非负性.【典型例题】例1. （1） （2007年宜昌）25的算术平方根是 （）A. 5B. y5C. -5D 5（2）（2008年哈尔滨）9的平方根是（）A. 3B. 3C. -3D 81（3）（2008年北京）若I x+2 I +*/严 =0,则xy的值为（）A. -8B. -6C. 5D 6（4）（2007年安顺）丽的平方根是.分析：（1）由平方根、算术平方根概念可知25的算术平方根表示为戸，化简得5,故 选A （2） 9的平方根表示为土书，得3.对于（3）中利用非负数的性质得x+2=0, y 3 = 0, x=2, y=3,可求得xy=6,故选

5、B. （4） 一定注意不是求16的平方根，而 是求伍的平方根，应首先对伍进行化简.解：（1） A （2） B （3） B （4） 2评析：根据平方根的意义得出：正数有两个平方根，它们互为相反数，而且其中正的平 方根也是这个数的算术平方根，而且由算术平方根的意义可知，表示非负数，在初中阶 段常见非负数的类型有：a I a |、羽（a0）.例2求下列各式中的x的值.（1）r-676=0； （2） 9 （3x4-1） 2=64.分析：这是一道求平方根的题目.（1）V676=0可化为r = 676, x的值就是676的 r 6464平方根.（2）可将3x+l看作一个整体来解，即（3x+l）2=g,所以

6、3x+l是的平方根， 从而可求出X.解：(1) X2676=0, Ax2=676. .x=y/676=26 cn 64(2) V9 (3x+l) 2=64, :. (3x+l) -=y,.e. 3x4-1 =85当 3x+l =亍时,x=-：o当3x+l = _亍时,x=评析：解带有平方的方程时，首先应将方程化为一边是完全平方，另一边是一个非负数 的形式，然后两边同时开平方，开方时一定要注意不要漏掉负的平方根，同时根据题目的特 点，本题利用了一个重要的数学思想一一整体思想.例3.如果一个正数的平方根是a + 3和彷一15,求a的值和这个正数.分析：由平方根的意义可知a + 3和彷一15互为相反

7、数，故有a + 3+ (2a 15) =0, 从而可以解得a,进而求出这个正数.解：因为一个正数的两个平方根互为相反数，所以(a + 3) + (2a 15) =0,解得 a=4.当 a=4 时，a + 3=7, 2a 15 = 7.即这个正数的平方根分别是+7和一7,所以原数为49.评析:解决本题的关键是利用一个正数的平方根是互为相反数的关系得到a的一元一次 方程，解方程求出a的值，从而求出这个正数.例4比较人小：3 (1) (2008年桂林)3和帧 (2) 20和14(3) J&刁和分析：(1)由于书=3,而910,所以3侮=7,易得202X7；3(3) 中由(2a中2a$0得到a的取值范

8、I韦1是aW2,所以a4V0,那么pa4为3 负数，因而a解：(1) p=3，9V10, :.yl9yT09 即 37,即20 14(2)由算术平方根的性质得百焉$0, 2a$0,；aW2,当 aW2 时，a40,评析：本题中比较两个数的人小，往往先转化为带有根号的形式，来比较被开方数的人 小，当式子中含有字母时，不能直接比较它们的大小，可利用平方根和立方根的性质，分析 字母的取值范闱，从而解决问题.因此，挖掘题目中的隐含条件是解类似问题的关键.例5_对于题目：“化简并求值:右+寸匸，其中a=”,甲、乙两人的解答不同.1/11o 49甲的解答是：-+(-a)3=-+-a=-a=y 乙的解答是：

9、扌+寸g_a)2=+a_=a=* 阅读后你认为谁的解答是错误的？为什么？分析：将a=+代入便知谁的解答正确.解：乙的解答是错误的，因为当a=时，扌=5.a-=|-573（的立方根是亍C. 一2是一8的立方根D.-27没有立方根*6若鈕一4尸=4k,则k的取值范围为（）A. k4B kW4C. k=4D. k 为任何数*7（2007年浙江湖州）估算V19 + 2的值是在（）A. 5和6之间B 6和7之间C. 7和8之间D. 8和9之间*8.当x= 3时，土/女的值是 ()A. -3B 3C. 3 D. 9*9 一个数的算术平方根等于它本身，则这个数是 ()A. 1 和一 1 B 1 和 0 C.

10、 1 D 1, 0, -1*10.若0TT有意义，则a能取的最小整数是()A. 0B 1C. -1 D. -4*11.如果卫的平方根是2,那么a的值是 ()A. 4B 16C. 4 D. 16*11 一个自然数的算术平方根为a,则它的下一个自然数的算术平方根是()A. a + 1 B yfa +1 C.寸a +1D. +1二. 填空题1. 你的算术平方根是，3的算术平方根是.2. 如果 +1=6,且 x0,则 x=.3. 计算：(羽)2= P(_5)= (Va)2= (a$0).4. 正方体的表面积是150cn?,则正方体的棱长是.5. 一个数的算术平方根等于这个数的立方根，这个数是.6 (

11、2007年河北)比较大小：7y5Q.(填、或=)7. (2008年安徽)化简寸(_4)?=.8. (2008年长沙)已知a、b为两个连续整数，且aV羽Vb,贝ia+b=.9. (2008年连云港)如果2a-18=0,那么a的算术平方根是.*10. 一个正数的平方根是2a与a-1,则这个正数是.*11.若丨a丨=3,仔=2,且ab 因为时间是組成生容谕的材料-富兰克林【试题答案】一. 选择题1. D 2. A 3. B 4. D 5. C 6. C 7. B 8. B 9. B 10. A 11. B 12. D二. 填空题1. 2, y32. y53 4, 5, a 4 5cm 5一 0 或

12、16 7. 48. 59. 310.4 11. 5 或一5 12. -b 0, 113. W3, 0三. 解答题1. (l)平方根是：土学，算术平方根是：y(2)平方根是：0.09,算术平方根是：00944(2)平方根是：土刍 算术平方根是：(2)平方根是：0，算术平方根是：14332. (1) 0.1(2) -6 (3) - (4) 一书,、。256, 163. (1)久=丁(2)把2x1作为一个整体，则2x1 = 彳.当2x1=彳时，x=f；当2x1 =舟时，3X=_44. V (l-2a) 20,又(l-2a) 2+=0, :. (l-2a) 2=0, A/bzz2=0,12a=0, b2=0, a=, b=2, /.ab = 1.5. V3x+16 的立方根是 4,3x+16=43, Ax=16, A2x+4=36, Z. 2x+4 的算术平方根是压=6.四. 实际应用题1. 每块正方形地砖的面积是164-100=0.16 (nr), /.所需的正方形地砖的边长为何=0.4 (m)2. 第一个正方体的体积是63=216(an3),第二个正方体的体积是216+127 = 343 (cm3),第二个正方体的棱长是343=7 (cm).