平面问题的基本理论及其应用

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1、平面问题的基本理论及其应用摘要：弹性体力学，通称弹性力学，又称弹性理论。主要研究弹性体由于受外力作用，边界 约束或温度改变等原因而发生的应力，形变和位移。弹性力学的任务是分析各种结构物或其 构件在弹性阶段的应力和位移，校核它们是非具有所需的强度和刚度。本学期所学的内容包 括弹性力学的几个基本概念，弹性力学的基本假设，平面问题的基本理论，平面问题的直角 坐标解答。其中平面问题的基本理论中包括平衡微分方程，平面问题中一点的应力状态，几 何方程，物理方程，位移边界条件应力边界条件，圣维南原理等。平面问题的直角坐标解答 主要是半逆解法的应用。同时将所学的知识应用到实际生活中，结合理论联系实际。培养自

2、己分析问题，解决问题的能力。关键字：平面应力，平面应变，圣维南原理，相容方程，应力函数引言：弹性力学是固体力学的一个分支，弹性力学所依据的基本规律有三个：变形连续规律， 应力应变关系和运动（或平衡）规律。求解一个弹性力学问题，就是设法确定弹性体中各点 的位移，应变和应力共15个函数。其中平面问题中主要是用平衡微分方程（2个），几何方 程（3个），物理方程（3个）这三套8个方程，来求得3个应力分量ox,oy,Txy = tyx ， 3个形 变分量sx, sy,yxy，2个位移分量u，V。此外还必须考虑弹性体边界条件，次要边界上还要 应用圣维南原理，才有可能求出这些未知函数。1：弹性力学的几个基本

3、概念体力：作用于物体体积内的力，例如重力。用符号f表示。面力：分布于物体表面的力，例如流体压力和接触力。用符号f表示。内力：物体本身不同部分之间相互作用的力。平均A F.应力：内力的平均集度为 父。应力：受力杆件在某一截面上分布内力在某一点处的分布A AA F dF集度，p = lim =。正应力o，切应力T。形变：物理形状的改变，包括长度的 A A dAA A t 0改变即线应变s和角度的改变即切应变y。位移：物理位置的移动。物理任一点的的位移用 它在x,y,z三轴上的投影u,v,w表示。2：弹性力学的基本假设 连续性假设完全弹性假设均匀性假设各向同性假设小变形假设。3：平面问题的基本理论平

4、面应力问题是很薄的等厚度薄板，只有板边受到平行于板面并且不沿厚度变化的面力或 约束同时体力也平行于板面并且不沿厚度变化。平面应变问题是很长的柱状体它的横截面不沿长度变化，在柱面上受有平行于横截面而且不沿长度变化的面力或约束，体力也是平行于 横截面不沿长度变化。 弹性体平面问题的基本方程及应用：平衡微分方程：竺+沁+f = 0旦+沁+f = 0Q xd yxd yd xy平衡微分方程是考虑平面问题的静力学方面时根据平衡条件来导出应力分量和体力分量的 关系式。观察方程可知2个微分方程3个未知函数，因此决定应力分量的问题是超静定的, 还必须考虑几何学和物理学的条件才能解决问题。平衡微分方程表示的是区

5、域内任一点的微 分体的平衡条件，从而必须保证任意有限大部分和整个区域是满足平衡条件的，因此，这样 考虑的静力学条件是严格精确的。几何方程:d vd uY x y = + 几何方程是在考虑平面问题的几何学方面时导出的形变分量和位移分量的关系式。由方程可 知当物理的位移分量完全确定时，形变分量即完全确定，反之，当形变分量完全确定时，位 移分量却不能完全确定。例如当物理形变为零时可以有刚体位移，由于约束的不同它可能有 不同的刚体位移，因此它的位移并不完全确定。为了完全确定位移，就必须有适当的刚体约 束条件来确定。平面应力问题中的物理方程：ex = 1 (gx -凹y) ey = 1 (Qy -凹x)

6、EEYxy = 2(1 *卩)txy (对于平面应变问题的物理方程就要把E换成 E ，将卩换成一 )E1 -卩21 -卩物理方程是考虑平面方程的物理学方面，导出的形变分量和应力分量之间的关系式。 边界条件及圣维南原理：位移边界条件：(u) = u(s)( V ) = v(s)ss应力边界条件：1g x + m t yx = fx (s)m g y + l t xy = fy (s)Jh/2(G 丿 dy =Jh/2 f (y)dyx一 h / 2x = /一 h / 2 x圣维南原理：Jh/2(G x)ydy = Jh/2 f (y)ydy一 h / 2x = /一 h / 2 xJh/2(T

7、 与)dy =Jh/2 厂(y) dyh/2x=/-h/2 y求解弹性力学问题时，应力分量，位移分量和形变分量等必须满足区域内的基本方程，还必 须满足边界上的边界条件。对于主要边界应严格按照应力边界条件，对于次要边界上应用圣 维南原理的三个积分的应力边界条件代替严格的边界条件，使问题得求解大大简化。而得到 的应力结果只对局部边界附近的区域有明显的影响。 按应力求解平面问题：用应力表示的相容方程：（+）（Qx + Qy） = -（1 +卩）（+）d x2 d y2d y Q x（对于平面应变的情况只要将卩换成丄即可）1 -卩按应力求解平面时，应力分量Qx,Qy,Txy必须满足下列条件：区域内的平

8、衡微分方程区 域内的相容方程边界上的应力边界条件。对于多连体还要满足位移单值条件。常体力情况下求解应力分量：在常体力的情况下，弹性力学平面问题中存在着一个应力函数。按应力求解平面问题， 可以归纳为求解一个应力函数。Q2 fQ x =- J xd2 fa 2 dy 2xQ y =- J y T =-a x2yxya x a y应力函数必须满足在区域内用应力函数表示的相容方程，即a4 a4a4V 4 O =+ 2+=0，在边界上的应力边界条件，对于多连体还需满足a x4a x 2 a y2 a y4位移单值条件。 应力函数的特征：当应力函数为一次式时即二ax + by + c时，对应无体力，无面力

9、， 无应力状态。即在平面问题的应力函数加一次函数并不影响应力。当应力函数为二次式时， 即二ax2，能解决矩形板在Y方向受均布拉力或压力的问题，二by 2，能解决矩形板 在x方向受均布拉力或压力的问题，即二cxy，能解决矩形板受均布剪力的问题。当应 力函数为三次式时，即二ax3能解决矩形梁发生纯弯曲时的问题。当应力函数为四次 或者四次以上多项式时其中的系数必须满足一定的条件，才能满足相容方程。 半逆解法求解平面问题的步骤假设应力分量的函数形式推求应力函数的形式由相容方程求解应力函数由应力函 数求解应力分量考虑边界条件。4.平面问题基本理论的应用 如图a,b,c几种受力体是否为平面问题？是平面应力

10、问题还是平面应变问题? 由图可知a为平面应力问题，b为平面应变问题，c为空间问题。试画出图d的应力状态 如图e,试用应力函数，=A X3 y3 + Bx y5 + C x3 y + Dx y3 + EX3 + Fxy，求解受三 角形分布荷载的简直矩形梁的应力分量，体力不计。d4 d4d4解：首先将应力函数代入相容方程得=0= 120 Bxy 2= 72 Axya x4 a y4a x 2 a y2得A = - B (1)。计算出相应的应力分量： b x = 一 10 B x3 y + 20 B y 3 x + 6 Dxy3by = 10 Bx y 3 + 6Cxy + 6Ex T = 15 B

11、 x2 y2 5B y4 3C x2 3D y2 Fxy代入应力边界条件得(Txy(b )y = h/2y = h/2(3 C 15 Bh2) x2 + ( 5 B h4 + 3 D h2 + F) = 0(2)41645 U31一 B h3 + 3Ch + 6E = (3)4l(T)= o ,(b )= 0xyyy = h/2y = h/2157 5匚 3K(3 C Bh2) x2 + ( B h4 + D h2 + F) = 0(4)41645B h3 3Ch + 6E = O(5)4由函数(1) (2)(3)(4) (5)得C = 5/4B h2E = 5/12B h2qB = 05 h

12、31Jh/2 (b ) dy = 0由圣维南原理得：-h/2x x =1Jh/2 (b ) ydy = 0h/2xD = L 一010 hl3 h3q iq hF =o o41801应力分量表达式为h2)10(4 y3 3 yh2 h3)xy(h2 4 y 2)(3 x2 y2 l2 +h 2)10这样就可以算出应力分量。结语：弹性力学的任务是分析各种结构物或其构件在弹性阶段的应力和位移，校核它们是非 具有所需的强度和刚度。求解一个弹性力学问题主要是用平衡微分方程（2个），几何方程（3 个），物理方程（3个）这三套8个方程，来求得3个应力分量g X, G y, T xy =t yx，3个形变分 量x,sy,yxy，2个位移分量u，V。此外还必须考虑弹性体边界条件，次要边界上还要应用 圣维南原理，才有可能求出这些未知函数。参考文献：1 徐芝纶主编弹性力学简明教程高等教育出版社.2002.2 杨骊先主编.弹性力学及有限单元法.浙江大学出版社.2004.3 王俊民主编弹性力学学习方法及解题指导.同济大学出版社.2002.4 杨德全赵忠生著.边界元理论及应用.北京理工大学出版社.2003.5 孙训方方孝淑 关来泰著材料力学高等教育出版社.2009.