抛物线焦点弦问题

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1、江夏一中 2013届文科数学一轮复习专题讲座 抛物线焦点弦问题 抛物线焦点弦问题较多，由焦点引出弦的几何性较集中，现总结如下： 一.弦长问题：例1斜率为1的直线经过抛物线y2二4x的焦点，与抛物线相交AB两点，求线段AB的长。二.通径最短问题：例2：已知抛物线的标准方程为y2二2px，直线1过焦点，和抛物线交与A.B两点，求AB的最小值并 求直线方程。三两个定值问题：例3：过抛物线y2二2px的焦点的一条直线和抛物线相交，两个焦点的横、纵坐标为x、x、y、y ,1212 p2求证：xy =-；-， y y 二一p2。1141 2四一个特殊直角问题：例4：过抛物线y2二2px(P 0)的焦点F的

2、直线与抛物线交与A、B两点，若点A、B在抛物线的准 线上的射影分别是A，B求证：/AFB = 90。1 1 1 1五线段AB为定长中点到y轴的最小距离问题例5：定长为3的线段AB的两端点在抛物线y2二x上移动，设点M为线段AB的中点，求点M到y轴 的最小距离。六一条特殊的平行线例6：过抛物线焦点的一条直线与它交与两点P、Q,经过点P和抛物线顶点的直线交准线于点M,求证: 直线MQ平行于抛物线的对称轴。七一个特殊圆例 7 ：求证：以通过抛物线焦点的弦为直径的圆必与抛物线的准线相切。八一个特殊值：112例8：已知抛物线y2二2px过焦点F弦AB被焦点分成m、n的两部分，则+ = m n p【练习】

3、1.已知抛物线x2二4y的焦点为F, A, B是抛物线上的两动点，且AF = X FB （九0）, 过A, B两点分别作抛物线的切线，设其交点为M,（1）证明：FM - AB的值；（2）设ABM的面积为S,写出S二f 6）的表达式，并求S的最 小值2.对每个正整数n, A（X , y）是抛物线x2二4y上的点，过焦点F的直线FA交抛物线于另一点Cn, t ）,n n n（1）试证：x s =一4 （n三 1） nn（2）取x二2n，并C为抛物线上分别以 A与B为切点的两条切线的交点，求证：nnnnI FC I + |FC I + I FC I = 2n 2-n+1 +1 （ n 三 1）12n

4、抛物线焦点弦问题抛物线焦点弦问题较多，由焦点引出弦的几何性较集中，现总结如下 一弦长问题：例 斜率为1的直线经过抛物线y2 = 4x的焦点，与抛物线相交A .B两点，求线段AB 的长。能解此题，但运算量较大也较复杂，如果能够运分析：利用弦长公式d =小+ R2用抛物线第二定义，把焦点的距离和转化到准线的距离较为简单。解：故 xi + x2 = 6根据抛物线的定义,IAF=xi十1同理x + x + 212BF = x +1于是得 I AB=IAF+1BF=y=x-1由题已知y2=4x消去y得x2-6x +1 = 0.|AB| = 6 + 2 = 8注：焦点弦在标准抛物线方程下的计算公式二.通径

5、最短问题：AB = x + x + p1 2|AB =例：已知抛物线的标准方程为y 2 = 2 px，直线1过焦点, AB 的最小值并求直线方程。和抛物线交与A.B两点，求x =匕解：如果直线1的斜率不存在，则直线1的方程为2AB = 2 py = k (x -)如果斜率存在，不妨设斜率为k，则直线的方程为2，与抛物线方程联立方 0x + x12AB = x + x + p = p + p + p = 2 p + p 则 12k 2k 2当k fg时IAB最小即IABImin= 2p此时1三两个定值问题：例:过抛物线y2 = 2px的焦点的一条直线和抛物线相交，两个焦点的横、纵坐标为x1、x2

6、p2x y yi、y2，求证:114 , yi y2 -P 2k2x2 一（k2p + 2p）x + 0（k 丰 0）xx 证明：联立y2-2px消去y得4124、y - k（ x - :）同理消去y可得yi y2一 p 2;斜率为0 时，直线与抛物线不能有两个交点；_ p2x y _斜率不存在时，114，yiy2 _-p2同样是定值；p2x y 从上所述：114，y1 y2 _-p2四一个特殊直角问题：过抛物线y2 _ 2px（P 0）的焦点F的直线与抛物线交与A、B两点，若点A、B在抛物线B 求证：ZA1FB1 _ 9。的准线上的射影分别是 A1设A坐标为(x1，y1)B坐标为(x2 a(

7、-p，y)b(-p，y )2 ， 2 2FB (-P,y ), FB (-P,y )2 1 2FA - FA P 2 + y y1 2 1 2又由上题可知 FA - FA 0 ， y y -P2。1 2 1 2五线段AB为定长中点到y轴的最小距离问题 例：定长为3的线段AB的两端点在抛物线y2 _ x上移动，设点M为线段AB的中点，求 点M到y轴的最小距离。F（；,0） l: x_-1A B解：抛物线焦点 4,准线4，设点a、B、M在准线1上的射影分别是A、B1、M，设点 M(xo, y)则MM |_x3又0AB 3x + 丄 n 30 42，所以IAAJ+1BBJ 2(1 AA+IBBJ)二

8、 2 AB5即xo的最小值是4B5点M到y轴的最小距离是4，当且仅当AB过点F 是取得最小距离。六一条特殊的平行线例：过抛物线焦点的一条直线与它交与两点P、Q,经过点P和抛物线顶点的直线交准线于 点M,求证：直线MQ平行于抛物线的对称轴。设抛物线的标准方程为y2二2px，(x1, y1)， (x2, y2)(-寻-丹则 PO 的直线坐标为 22x1Pyy = - 4 2 x1带入 M 的纵坐标设 P、 Q 的坐标为Py12 y2 F-2 P- P 2yi-P2y y p2 y又1 21 y2 M的坐标为y。二y2 故直线MQ平行于抛物线的对称轴。七一个特殊圆例：求证：以通过抛物线焦点的弦为直径

9、的圆必与抛物线的准线相切。2F (P ,0)设抛物线的方程为y2二2px，则焦点2,准线Px =2,设以过焦点F的弦AB为直径的圆的圆心M,AB1、 1、A、B、M在准线1上的射影分别是+ BB1又IAAJ + lBBJ = 2阿气|=AF + BF =ABJMMJ 尹|, 即 |mm J为以ar为直径的圆的半径，且准线1丄MM1命题成立。本篇总结了过焦点的弦与直线的七条性质,认识这几条性质可以更清楚地认识抛物线。八一个特殊值：112例：已知抛物线y2 _ 2px过焦点F弦AB被焦点分成m、n的两部分，则一+ - _ m n p11 m + n + _ _ m n mn12pp 2 px x

10、+(x + x )一12212 4【练习】（2006年重庆高考（文）22）对每个正整数n，A （x , y）是抛物线x2 - 4 y上的点, 焦点F的直线FA交抛物线于另一点B （s ,t ）,nn（1）试证：x s _ 一4 （n三 1）n n（2） 取x - 2n，并Cn为抛物线上分别以 An与n + FC I 2n 2-n+1 + 1 （ n 三 1 ）Bn 为切点的两条切线的交点，求证：n叫+Ifc2I2n(1) 证明：焦点(0， 1) 设直线An Bn方程为：y k x +1(y k x +1 1 x2 4 yx - s -4nn,1 ,(2) 由 y x 则 y x _消去 y 得 x2 - 4k x - 4 = 0”n故x2 =4y在a处切线方程为y-yxx 2即y = -2x - -4类似的，x2二4y在Bnnss 2即 y 2 x - n, s - x代入可得y _ F n _4则点Cn处切线方程为y -1 _ *（x - s）,n 2 nx + s 两式相减得x_ n（x + s2丿|FC I2nx 2 + s 2cx 24 c+ 4 = nn + 2 = n + 2 =44 x 2n21丫1+fcj+ifci=2衞+刚从而fc | =n+ 22 +F 2n 丿 + 2 + +F =2n 1 + 2 2-n+1222n=2 n 2n+1 + 1