折纸中的垂线

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1、拓展练习1：如图，将一个长方形纸片沿着直线EF折叠，点C落在点H处；再将D沿着GE折叠，使DE落在直线EH上：问题1：线段EF和EG有何关系？为什么？问题2：你还能提出什么问题？请解决你提出的问题。ABGDEFCDHABCD3如图，请利用三角板、直尺、铅笔、剪刀等工具将四边形纸板ABCD剪成一个长方形纸板。4课外理解一下，建筑工人在砌墙时是怎样判断砌的墙是否为铅直？（2001嘉兴）如图，一辆汽车在直线形的公路AB上由A向B行驶，M，N分别是位于公路AB两侧的村庄（1）设汽车行驶到公路AB上点P位置时，距离村庄M最近；行驶到点Q位置时，距离村庄N最近请在图中的公路AB上分别画出点P，Q的位置（保

2、留画图痕迹）（2）当汽车从A出发向B行驶时，在公路AB的哪一段路上距离M，N两村庄都越来越近？在哪一段路上距离村庄N越来越近，而离村庄M却越来越远？（分别用文字表述你的结论，不必证明）（3）到在公路AB上是否存有这样一点H，使汽车行驶到该点时，与村庄M，N的距离相等？假如存有，请在图中的AB上画出这个点（保留画图痕迹，不必证明）；假如不存有，请简要说明理由（1）根据垂线段最短，分别作垂线即可；（2）由（1）图可得：在公路AB的AP上距离M，N两村庄都越来越近，在PQ路上距离村庄N越来越近，而离村庄M却越来越远；（3）作MN的中垂线，与公路的交点H即是与村庄M，N的距离相等的点解：（1）（3）如

3、图（2）在公路AB的AP上距离M，N两村庄都越来越近，在PQ路上距离村庄N越来越近，而离村庄M却越来越远如图，一辆汽车在直线形的公路AB上由A向B行驶，M，N分别是位于公路AB两侧的村庄（1）设汽车行驶到公路AB上点P位置时，距离村庄M最近；行驶到点Q位置时，距离村庄N最近请在图中的公路AB上分别画出点P，Q的位置（保留画图痕迹）（2）当汽车从A出发向B行驶时，在公路AB的哪一段路上距离M，N两村庄都越来越近？在哪一段路上距离村庄N越来越近，而离村庄M却越来越远？（分别用文字表述你的结论，不必证明）（3）到在公路AB上是否存有这样一点H，使汽车行驶到该点时，与村庄M，N的距离相等？假如存有，请

4、在图中的AB上画出这个点（保留画图痕迹，不必证明）；假如不存有，请简要说明理由非欧几里得几何百科名片 非欧几里得几何Non-Euclidean geometry 非欧几里得几何是一门大的数学分支，一般来讲 ，它有广义、狭义、通常意义这三个方面的不同含义。所谓广义式泛指一切和欧几里得几何不同的几何学，狭义的非欧几何仅仅指罗氏几何来说的，至于通常意义的非欧几何，就是指罗氏几何和黎曼几何这两种几何。目录诞生 罗氏几何 黎曼几何 其他人的贡献 公设的不同 三种几何的关系 分析 编辑本段诞生欧几里得的几何原本提出了五条公设，头四条公设分别为： 1.由任意一点到任意一点可作直线。 2.一条有限直线能够继续

5、延长。 3.以任意点为心及任意的距离能够画圆。 4.凡直角都相等。 第五条公设说：同一平面内一条直线和另外两条直线相交，若在某一侧的两个内角的和小于两直角，则这两直线经无限延长后在这个侧相交。 长期以来，数学家们发现第五公设和前四个公设比较起来，显得文字表达冗长，而且也不那么显而易见。有些数学家还注意到欧几里得在几何原本一书中直到第二十九个命题中才用到，而且以后再也没有使用。也就是说，在几何原本中能够不依靠第五公设而推出前二十八个命题。所以，一些数学家提出，第五公设能不能不作为公设，而作为定理？能不能依靠前四个公设来证明第五公设？这就是几何发展史上最著名的，争论了长达两千多年的关于“平行线理论

6、”的讨论。 因为证明第五公设的问题始终得不到解决，人们逐渐怀疑证明的路子走的对不对？第五公设到底能不能证明？ 到了十九世纪二十年代，俄国喀山大学教授罗巴切夫斯基在证明第五公设的过程中，他走了另一条路子。他提出了一个和欧式平行公理相矛盾的命题,用它来代替第五公设，然 罗巴切夫斯基后与欧式几何的前四个公设结合成一个公理系统，展开一系列的推理。他认为假如这个系统为基础的推理中出现矛盾，就等于证明了第五公设。我们知道，这其实就是数学中的反证法。 但是，在他极为细致深入的推理过程中，得出了一个又一个在直觉上匪夷所思，但在逻辑上毫无矛盾的命题。最后，罗巴切夫斯基得出两个重要的结论： 第一，第五公设不能被证

7、明。 第二，在新的公理体系中展开的一连串推理，得到了一系列在逻辑上无矛盾的新的定理，并形成了新的理论。这个理论像欧式几何一样是完善的、严密的几何学。 这种几何学被称为罗巴切夫斯基几何，简称罗氏几何。这是第一个被提出的非欧几何学。 从罗巴切夫斯基创立的非欧几何学中，能够得出一个极为重要的、具有普遍意义的结论：逻辑上互不矛盾的一组假设都有可能提供一种几何学。 编辑本段罗氏几何罗巴切夫斯基几何的公理系统和欧几里得几何不同的地方仅仅是把欧式几何平行公理用“在平面内，从直线外一点，至少能够做两条直线和这条直线平行”来代替，其他公理基本相同。因为平行公理不同，经过演绎推理却引出了一连串和欧式几何内容不同的

8、新的几何命题。 我们知道，罗氏几何除了一个平行公理之外采用了欧式几何的一切公理。所以，凡是不涉及到平行公理的几何命题，在欧式几何中假如是准确的，在罗氏几何中也同样是准确的。在欧式几何中，凡涉及到平行公理的命题，在罗氏几何中都不成立，他们都相对应地含有新的意义。下面举几个例子加以说明： 欧式几何： 同一直线的垂线和斜线相交。 垂直于同一直线的两条直线互相平行。 存有相似的多边形。 过不在同一直线上的三点能够做且仅能做一个圆。 罗氏几何： 同一直线的垂线和斜线不一定相交。 垂直于同一直线的两条直线，当两端延长的时候，离散到无穷。 不存有相似的多边形。 过不在同一直线上的三点，不一定能做一个圆。 从

9、上面所列举得罗氏几何的一些命题能够看到，这些命题和我们所习惯的直观形象有矛盾。所以罗氏几何中的一些几何事实没有像欧式几何那样容易被接受。但是，数学家们经过研究，提出能够用我们习惯的欧式几何中的事实作一个直观“模型”来解释罗氏几何是准确的。 1868年，意大利数学家贝特拉米发表了一篇著名论文非欧几何解释的尝试，证明非欧几何能够在欧几里得空间的曲面（例如拟球曲面）上实现。这就是说，非欧几何命题能够“翻译”成相对应的欧几里得几何命题，假如欧几里得几何没有矛盾，非欧几何也就自然没有矛盾。 直到这时，长期无人问津的非欧几何才开始获得学术界的普遍注意和深入研究，罗巴切夫斯基的独创性研究也就由此得到学术界的

10、高度评价和一致赞美，他本人则被人们赞誉为“几何学中的哥白尼”。 编辑本段黎曼几何欧氏几何与罗氏几何中关于结合公理、顺序公理、连续公理及合同公理都是相同的，仅仅平行公理不一样。欧式几何讲“过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行”。罗氏几何 黎曼讲“ 过直线外一点至少存有两条直线和已知直线平行”。那么是否存有这样的几何“过直线外一点，不能做直线和已知直线平行”？黎曼几何就回答了这个问题。 黎曼几何是德国数学家黎曼创立的。他在1851年所作的一篇论文论几何学作为基础的假设中明确的提出另一种几何学的存有，开创了几何学的一片新的广阔领域。 黎曼几何中的一条基本规定是：在同一平面内任何两条直线都有公共

11、点(交点)。在黎曼几何学中不承认平行线的存有，它的另一条公设讲：直线能够无限延长，但总的长度是有限的。黎曼几何的模型是一个经过适当“改进”的球面。 近代黎曼几何在广义相对论里得到了重要的应用。在物理学家爱因斯坦的广义相对论中的空间几何就是黎曼几何。在广义相对论里，爱因斯坦放弃了关于时空均匀性的观点，他认为时空仅仅在充分小的空间里以一种近似性而均匀的，但是整个时空却是不均匀的。在物理学中的这种解释，恰恰与黎曼几何的观点是相似的。 此外，黎曼几何在数学中也是一个重要的工具。它不但是微分几何的基础，也应用在微分方程、变分法和复变函数论等方面。 编辑本段其他人的贡献几乎在罗巴切夫斯基创立非欧几何学的同

12、时，匈牙利数学家鲍耶雅诺什也发现了第五公设不可证明和非欧几何学的存有。鲍耶在研究非欧几何学的过程中也遭到了家庭、社会的冷漠对待。他的父亲数学家鲍耶法尔卡什认为研究第五公设是耗费精力劳而无功的蠢事，劝他放弃这种研究。但鲍耶雅诺什坚持为发展新的几何学而辛勤工作。终于在1832年，在他的父亲的一本著作里，以附录的形式发表了研究结果。高斯也发现第五公设不能证明，并且研究了非欧几何。但是高斯害怕这种理论会遭到当时教会力量的打击和迫害，不敢公开发表自己的研究成果，仅仅在书信中向自己的朋友表示了自己的看法，也不敢站出来公开支持罗巴切夫斯基、鲍耶他们的新理论。 编辑本段公设的不同同一直线的垂线和斜线相交。 垂

13、直于同一直线的两条直线互相平行。 存有相似的多边形。 过不在同一直线上的三点能够做且仅能做一个圆。 罗氏几何 同一直线的垂线和斜线不一定相交。 垂直于同一直线的两条直线，当两端延长的时候，离散到无穷。 不存有相似的多边形。 过不在同一直线上的三点，不一定能做一个圆。 从上面所列举得罗氏几何的一些命题能够看到，这些命题和我们所习惯的直观形象有矛盾。所以罗氏几何中的一些几何事实没有象欧式几何那样容易被接受。 1868年，意大利数学家贝特拉米发表了一篇著名论文非欧几何解释的尝试，证明非欧几何能够在欧几里得空间的曲面（例如拟球曲面）上实现。 编辑本段三种几何的关系欧氏几何、罗氏几何、黎曼几何是三种各有

14、区别的几何。这三种几何各自所有的命题都构成了一个严密的公理体系，各公理之间满足和谐性、完备性和独立性。所以这三种几何都是准确的。 在我们这个不大不小、不远不近的空间里，也就是在我们的日常生活中，欧式几何是适用的；在宇宙空间中或原子核世界，罗氏几何更符合客观实际；在地球表面研究航海、航空等实际问题中，黎曼几何更准确一些。 编辑本段分析根据欧氏几何的5条公理，能够看出，这里所说的“欧氏几何”实际上是平面几何。除平面几何外，还有立体几何。我们通常所学的立体几何，基本也就是空间中点、线、平面的关系，没有涉及到曲面。 罗氏几何： 根据罗氏几何的定义：从直线外一点，至少能够做两条直线和这条直线平行。我们仅

15、需将空间中的平行线，定义为：不相交的两条直线叫罗氏平行线。就能够得到，过直线外一点，能够做任意多条直线和这条直线罗氏平行。同一直线的垂线和斜线不一定相交(可能是罗氏平行线)。垂直于同一直线的两条直线，当两端延长的时候，可能离散到无穷(不在同一平面的两条垂线，线距趋于无限远)。过不在同一直线上的三点，不一定能做一个圆。这个命题在一个特殊模型下成立：“过一个曲面上的不在同一条直线上的三个点，不一定能在曲面上做一个“公认”的圆”。但能够在这个曲面上做过这三点的一个平面的投影圆。 黎曼几何： 黎曼几何的这个假设我们没有模型：在同一平面内任何两条直线都有公共点(交点)。直线能够无限延长，但总的长度是有限

16、的。这个在球面上是能够应用的。 此外： 曲面上，两点间最短的线称为这两点在该曲面上的直线，则曲面上两点间的直线，能够有多条。假如一个曲面上的线，在一个平面上的投影为一条直线，则称此直线为此曲面关于这个平面的直线，则过曲面上任意两点，能且仅能做关于此平面的一条直线。曲面上三点，不在关于某平面的直线上，则能且仅能做一个关于此平面的圆拓扑学求助编辑百科名片拓扑学是近代发展起来的一个研究连续性现象的数学分支。中文名称起源于希腊语?的音译。Topology原意为地貌，于19世纪中期由科学家引入，当时主要研究的是出于数学分析的需要而产生的一些几何问题。发展至今，拓扑学主要研究拓扑空间在拓扑变换下的不变性质

17、和不变量。目录拓扑定义 学科方向 拓扑学的由来 拓扑性质 拓扑发展 发展简史 形势分析学 一般拓扑学 代数拓扑学 同伦论研究 从微分到几何拓扑学 学科关系 学科作用 初等实例 柯尼斯堡的七桥问题 公式与分类 四色问题 纽结问题 维数问题 向量场问题 不动点问题 简易的四色定理证明 一维研究 二维组合 三维扩展 展开 拓扑定义 学科方向 拓扑学的由来 拓扑性质 拓扑发展 发展简史 形势分析学 一般拓扑学 代数拓扑学 同伦论研究 从微分到几何拓扑学 学科关系 学科作用 初等实例 柯尼斯堡的七桥问题 公式与分类 四色问题 纽结问题 维数问题 向量场问题 不动点问题 简易的四色定理证明 一维研究 二维

18、组合 三维扩展 展开 编辑本段拓扑定义 拓扑学拓扑学，是近代发展起来的一个研究连续性现象的数学分支。中文名称起源于希腊语的音译。Topology原意为地貌，于19世纪中期由科学家引入，当时主要研究的是出于数学分析的需要而产生的一些几何问题。发展至今，拓扑学主要研究拓扑空间在拓扑变换下的不变性质和不变量。 拓扑学是数学中一个重要的、基础的分支。起初它是几何学的一支，研究几何图形在连续变形下保持不变的性质(所谓连续变形，形象地说就是允许伸缩和扭曲等变形，但不许割断和粘合)；现在已发展成为研究连续性现象的数学分支。 编辑本段学科方向因为连续性在数学中的表现方式与研究方法的多样性，拓扑学又分成研究对象

19、与方法各异的若干分支。19世纪末，在拓扑学的孕育阶段，就已出现点集拓扑学与组合拓扑学两个方向。现在，前者演化为一般拓扑学，后者则成为代数拓扑学。后来，又相继出现了微分拓扑学、几何拓扑学等分支。 拓扑学也是数学的一个分支，研究几何图形在连续改变形状时还能保持不变的一些特性，它只考虑物体间的位置关系而不考虑它们的距离和大小。 举例来说，在通常的平面几何里，把平面上的一个图形搬到另一个图形上，假如完全重合，那么这两个图形叫做全等形。但是，在拓扑学里所研究的图形，在运动中无论它的大小或者形状都发生变化。在拓扑学里没有不能弯曲的元素，每一个图形的大小、形状都能够改变。例如，下面将要讲的欧拉在解决哥尼斯堡

20、七桥问题的时候，他画的图形就不考虑它的大小、形状，仅考虑点和线的个数。这些就是拓扑学思考问题的出发点。 简单地说，拓扑就是研究有形的物体在连续变换下，怎样还能保持性质不变。 编辑本段拓扑学的由来几何拓扑学是十九世纪形成的一门数学分支，它属于几何学的范畴。相关拓扑学的一些内容早在十八世纪就出现了。那时候发现一些孤立的问题，后来在拓扑学的形成中占着重要的地位。 在数学上，关于哥尼斯堡七桥问题、多面体的欧拉定理、四色问题等都是拓扑学发展史的重要问题。 哥尼斯堡七桥问题哥尼斯堡（今俄罗斯加里宁格勒）是东普鲁士的首都，普莱格尔河横贯其中。十八世纪在这条河上建有七座桥，将河中间的两个岛和河岸联结起来。人们

21、闲暇时经常在这上边散步，一天有人提出：能不能每座桥都只走一遍，最后又回到原来的位置。这个看起来很简单又很有趣的问题吸引了大家，很多人在尝试各种各样的走法，但谁也没有做到。看来要得到一个明确、理想的答案还不那么容易。 1736年，有人带着这个问题找到了当时的大数学家欧拉，欧拉经过一番思考，很快就用一种独特的方法给出理解答。欧拉把这个问题首先简化，他把两座小岛和河的两岸分别看作四个点，而把七座桥看作这四个点之间的连线。那么这个问题就简化成，能不能用一笔就把这个图形画出来。经过进一步的分析，欧拉得出结论不可能每座桥都走一遍，最后回到原来的位置。并且给出了所有能够一笔画出来的图形所应具有的条件。这是拓

22、扑学的“先声”。 在拓扑学的发展历史中，还有一个著名而且重要的关于多面体的定理也和欧拉相关。这个定理内容是：假如一个凸多面体的顶点数是v、棱数是e、面数是f，那么它们总有这样的关系：f+v-e=2。 根据多面体的欧拉定理，能够得出这样一个有趣的事实：只存有五种正多面体。它们是正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体。 著名的“四色问题”也是与拓扑学发展相关的问题。四色问题又称四色猜测，是世界近代三大数学难题之一。中国曾邦哲于20世纪80-90年代（结构论）将其命题转换为“四色定理”等价于“互邻面最大的多面体是四面体”的问题。 拓扑学四色猜测的提出来自于英国。1852年，毕业于伦敦大

23、学的弗南西斯.格思里来到一家科研单位搞地图着色工作时，发现了一种有趣的现象：“看来，每幅地图都能够用四种颜色着色，使得有共同边界的国家都被着上不同的颜色。” 1872年，英国当时最著名的数学家凯利正式向伦敦数学学会提出了这个问题，于是四色猜测成了世界数学界注重的问题。世界上很多一流的数学家都纷纷参加了四色猜测的大会战。18781880年两年间，著名律师兼数学家肯普和泰勒两人分别提交了证明四色猜测的论文，宣布证明了四色定理。但后来数学家赫伍德以自己的精确计算指出肯普的证明是错误的。不久，泰勒的证明也被人们否认了。于是，人们开始理解到，这个貌似容易的题目，其实是一个可与费马猜测相媲美的难题。 进入

24、20世纪以来，科学家们对四色猜测的证明基本上是按照肯普的想法在实行。电子计算机问世以后，因为演算速度迅速提升，加之人机对话的出现，大大加快了对四色猜测证明的进程。1976年，美国数学家阿佩尔与哈肯在美国伊利诺斯大学的两台不同的电子计算机上，用了1200个小时，作了100亿判断，终于完成了四色定理的证明。不过很多数学家并不满足于计算机取得的成就，他们认为应该有一种简捷明快的书面证明方法。 上面的几个例子所讲的都是一些和几何图形相关的问题，但这些问题又与传统的几何学不同，而是一些新的几何概念。这些就是“拓扑学”的先声。拓扑学是数学中一个重要的、基础性的分支。它最初是几何学的一个分支，主要研究几何图

25、形在连续变形下保持不变的性质，现在已成为研究连续性现象的重要的数学分支。 拓扑学起初叫形势分析学，是莱布尼茨1679年提出的名词。十九世纪中期，黎曼在复函数的研究中强调研究函数和积分就必须研究形势分析学。从此开始了现代拓扑学的系统研究。 连续性和离散性是自然界与社会现象中普遍存有的。拓扑学对连续性数学是带有根本意义的，对于离散性数学也起着巨大的推动作用。拓扑学的基本内容已经成为现代数学的常识。拓扑学的概念和方法在物理学、生物学、化学等学科中都有直接、广泛的应用。 拓扑学是几何学的一个分支，它是从图论演变过来的。拓扑学将实体抽象成与其大小、形状无关的点，将连接实体的线路抽象成线，进而研究点、线、

26、面之间的关系。网络拓扑通过结点与通信线路之间的几何关系来表示网络结构，反映出网络中各个实体之间的结构关系。拓扑设计是建设计算机网络的第一步，也是实现各种网络协议的基础，它对网络性能、可靠性与通信代价有很大影响。网络拓扑主要是指通信子网的拓扑构型。 编辑本段拓扑性质拓扑性质有那些呢？首先我们介绍拓扑等价，这是比较容易理解的一个拓扑性质。 在拓扑学里不讨论两个图形全等的概念，但是讨论拓扑等价的概念。比方，即使圆和方形、三角形的形状、大小不同，在拓扑变换下，它们都是等价图形。换句话讲，就是从拓扑学的角度看，它们是完全一样的。 在一个球面上任选一些点用不相交的线把它们连接起来，这样球面就被这些线分成很

27、多块。在拓扑变换下，点、线、块的数目仍和原来的数目一样，这就是拓扑等价。一般地说，对于任意形状的闭曲面，只要不把曲面撕裂或割破，他的变换就是拓扑变换，就存有拓扑等价。 应该指出，环面不具有这个性质。把环面切开，它不至于分成很多块，仅仅变成一个弯曲的圆桶形，对于这种情况，我们就说球面不能拓扑的变成环面。所以球面和环面在拓扑学中是不同的曲面。 直线上的点和线的结合关系、顺序关系，在拓扑变换下不变，这是拓扑性质。在拓扑学中曲线和曲面的闭合性质也是拓扑性质。 我们通常讲的平面、曲面通常有两个面，就像一张纸有两个面一样。但德国数学家莫比乌斯(17901868)在1858年发现了莫比乌斯曲面。这种曲面就不

28、能用不同的颜色来涂满，因为只有一个面。 拓扑变换的不变性、不变量还有很多，这里不再介绍。 编辑本段拓扑发展拓扑学建立后，因为其它数学学科的发展需要，它也得到了迅速的发展。特别是黎曼创立黎曼几何以后，他把拓扑学概念作为分析函数论的基础，更加促动了拓扑学的进展。 二十世纪以来，集合论被引进了拓扑学，为拓扑学开拓了新的面貌。拓扑学的研究就变成了关于任意点集的对应的概念。拓扑学中一些需要精确化描绘的问题都能够应用集合来论述。 因为大量自然现象具有连续性，所以拓扑学具有广泛联系各种实际事物的可能性。通过拓扑学的研究，能够阐明空间的集合结构，从而掌握空间之间的函数关系。上世纪三十年代以后，数学家对拓扑学的

29、研究更加深入，提出了很多全新的概念。比方，一致性结构概念、抽象距概念和近似空间概念等等。有一门数学分支叫做微分几何，是用微分工具来研究曲线、曲面等在一点附近的弯曲情况，而拓扑学是研究曲面的全局联系的情况，所以，这两门学科应该存有某种本质的联系。1945年，美籍中国数学家陈省身建立了代数拓扑和微分几何的联系，并推动了整体几何学的发展。 拓扑学发展到今天，在理论上已经十分明显分成了两个分支。一个分支是偏重于用分析的方法来研究的，叫做点集拓扑学，或者叫做分析拓扑学。另一个分支是偏重于用代数方法来研究的，叫做代数拓扑学。现在，这两个分支又有统一的趋势。 拓扑学在泛函分析、实分析、群论、微分几何、微分方

30、程其他很多数学分支中都有广泛的应用。 编辑本段发展简史形势分析学拓扑学起初叫形势分析学，这是G.W.莱布尼茨1679年提出的名词(中文译成形势，形指一个图形本身的性质，势指一个图形与其子图形相对的性质，经过20世纪30年代中期起布尔巴基学派的补充（一致性空间、仿紧性等）和整理，纽结和嵌入问题就是势的问题)。随后波兰学派和苏联学派对拓扑空间的基本性质（分离性、紧性、连通性等）做了系统的研究。L.欧拉1736年解决了七桥问题，1750年发表了多面体公式；C.F.高斯1833年在电动力学中用线积分定义了空间中两条封闭曲线的环绕数。拓扑学这个词（中文是音译）是J.B.利斯廷提出的(1847)，源自希腊

31、文(位置、形势)与(学问)。这是萌芽阶段。 1851年起，B.黎曼在复函数的研究中提出了黎曼面的几何概念，并且强调，为了研究函数、研究积分，就必须研究形势分析学。从此开始了拓扑学的系统研究，在点集论的思想影响下，黎曼本人解决了可定向闭曲面的同胚分类问题。如聚点（极限点）、开集、闭集、稠密性、连通性等。在几何学的研究中黎曼明确提出n维流形的概念(1854)。得出很多拓扑概念， 组合拓扑学的奠基人是H.庞加莱。他是在分析学和力学的工作中，特别是关于复函数的单值化和关于微分方程决定的曲线的研究中，引向拓扑学问题的，但他的方法有时不够严密，他的主要兴趣在n维流形。在18951904年间，他创立了用剖分

32、研究流形的基本方法。他引进了很多不变量：基本群、同调、贝蒂数、挠系数，并提出了具体计算的方法。他引进了很多不变量：基本群、同调、贝蒂数、挠系数，他探讨了三维流形的拓扑分类问题，提出了著名的庞加莱猜测。他留下的丰富思想影响长远，但他的方法有时不够严密，过多地依赖几何直观。特别是关于复函数的单值化和关于微分方程决定的曲线的研究中， 拓扑学的另一渊源是分析学的严密化。他是在分析学和力学的工作中，实数的严格定义推动G.康托尔从1873年起系统地展开了欧氏空间中的点集的研究，得出很多拓扑概念，如聚点（极限点）、开集、闭集、稠密性、连通性等。在点集论的思想影响下，分析学中出现了泛函数（即函数的函数）的观点

33、，把函数集看成一种几何对象并讨论其中的极限。这终于导致抽象空间的观点。这样，B.黎曼在复函数的研究中提出了黎曼面的几何概念，到19、20世纪之交，已经形成了组合拓扑学与点集拓扑学这两个研究方向。这是萌芽阶段。 一般拓扑学最早研究抽象空间的是M.-R.弗雷歇，在19 拓扑学06年引进了度量空间的概念。F.豪斯多夫在集论大纲（1914）中用开邻域定义了比较一般的拓扑空间，标志着用公理化方法研究连续性的一般拓扑学的产生。L.欧拉1736年解决了七桥问题，随后波兰学派和苏联学派对拓扑空间的基本性质（分离性、紧性、连通性等）做了系统的研究。经过20世纪30年代中期起布尔巴基学派的补充（一致性空间、仿紧性

34、等）和整理，一般拓扑学趋于成熟，成为第二次世界大战后数学研究的共同基础。从其方法和结果对于数学的影响看，紧拓扑空间和完备度量空间的理论是最重要的。紧化问题和度量化问题也得到了深入的研究。公理化的一般拓扑学晚近的发展可见一般拓扑学。 欧氏空间中的点集的研究，例如，一直是拓扑学的重要局部，已发展成一般拓扑学与代数拓扑学交汇的领域，也可看作几何拓扑学的一局部。50年代以来，即问两个映射，以R.H.宾为代表的美国学派的工作加深了对流形的理解，是问两个给定的映射是否同伦，在四维庞加莱猜测的证明中发挥了作用。从皮亚诺曲线引起的维数及连续统的研究，习惯上也看成一般拓扑学的分支。 代数拓扑学L.E.J.布劳威

35、尔在19101912年间提出了用单纯映射逼近连续映射的方法， 很多重要的几何现象，用以证明了不同维的欧氏空间不同胚，它们就不同胚。引进了同维流形之间的映射的度以研究同伦分类，并开创了不动点理论。他使组合拓扑学在概念精确、论证严密方面达到了应有的标准，而欧拉数-e+?则是）。成为引人瞩目的学科。紧接着，J.W.亚历山大1915年证明了贝蒂数与挠系数的拓扑不变性。如连通性、紧性）， 随着抽象代数学的兴起，1925年左右A.E.诺特提议把组合拓扑学建立在群论的基础上，在她的影响下H.霍普夫1928年定义了同调群。从此组合拓扑学逐步演变成利用抽象代数的方法研究拓扑问题的代数拓扑学。如维数、欧拉数，S.

36、艾伦伯格与N.E.斯廷罗德1945年以公理化的方式总结了当时的同调论，后写成代数拓扑学基础(1952)，对于代数拓扑学的传播、应用和进一步发展起了巨大的推动作用。他们把代数拓扑学的基本精神概括为：把拓扑问题转化为代数问题，通过计算来求解。同调群，以及在30年代引进的上同调环，都是从拓扑到代数的过渡（见同调论）。直到今天，三角形与圆形同胚；而直线与圆周不同胚，同调论（包括上同调）所提供的不变量仍是拓扑学中最易于计算的，因而也最常用的。不必加以区别。 同伦论研究同伦论研究空间的以及映射的同伦分类。W.赫维茨19351936年间引进了拓扑空间的n维同伦群，其元素是从n维球面到该空间的映射的同伦类，而

37、且?同它的逆映射?-1:BA都是连续的，一维同伦群恰是基本群。同伦群提供了从拓扑到代数的另一种过渡，确切的含义是同胚。其几何意义比同调群更明显， 前面所说的几何图形的连续变形，但是极难计算。同伦群的计算，特别是球面的同伦群的计算问题刺激了拓扑学的发展，产生了丰富多彩的理论和方法。1950年J.P.塞尔利用J.勒雷为研究纤维丛的同调论而发展起来的谱序列这个代数工具，最简单的例子是欧氏空间。在同伦群的计算上取得突破，为其后拓扑学的突飞猛进开辟了道路。 从50年代末在代数几何学和微分拓扑学的影响下产生了K 理论，解决了关于流形的一系列拓扑问题开始，出现了好几种广义同调论。它们都是从拓扑到代数的过渡，

38、就是一个广义的几何图形。即使几何意义各不相同，如物理学中一个系统的所有可能的状态组成所谓状态空间，代数性质却都与同调或上同调十分相像，是代数拓扑学的有力武器。从理论上也弄清了，同调论（普通的和广义的）本质上是同伦论的一局部。 从微分到几何拓扑学微分拓扑学是研究微分流形与微分映射的拓扑学。这些性质与长度、角度无关，J.-L.拉格朗日、B.黎曼、H.庞加莱早就做过微分流形的研究；随着代数拓扑学和微分几何学的进步， 以上这些例子启示了：几何图形还有一些不能用传统的几何方法来研究的性质。在30年代重新兴起。H.惠特尼1935年给出了微分流形的一般定义，并证明它总能嵌入高维欧氏空间作为光滑的子流形。为了

39、研究微分流形上的向量场，他还提出了纤维丛的概念，从而使很多几何问题都与上同调（示性类）和同伦问题联系起来了。 1953年R.托姆的协边理论(见微分拓扑学)开创了微分拓扑学与代数拓扑学并肩跃进的局面，很多困难的微分拓扑问题被化成代数拓扑问题而得到解决，同时也刺激了代数拓扑学的进一步发展。从动点指向其像点的向量转动的圈数。1956年J.W.米尔诺发现七维球面上除了通常的微分结构之外，还有不同寻常的微分结构。每个不动点也有个“指数”，随后，不能赋以任何微分结构的流形又被人构作出来，这些都显示拓扑流形、微分流形以及介于其间的分段线性流形这三个范畴有巨大的差别，微分拓扑学也从此被公认为一个独立的拓扑学分

40、支。1960年S.斯梅尔证明了五维以上微分流形的庞加莱猜测。J.W.米尔诺等人发展了处理微分流形的基本方法剜补术，使五维以上流形的分类问题亦逐步趋向代数化。 近些年来，相关流形的研究中，几何的课题、几何的方法取得很多进展。突出的领域如流形的上述三大范畴之间的关系以及三维、四维流形的分类。80年代初的重大成果有：证明了四维庞加莱猜测，发现四维欧氏空间竟还有不同寻常的微分结构。这种种研究，通常泛称几何拓扑学，以强调其几何色彩，而环面上却能够造出没有奇点的向量场。区别于代数味很重的同伦论。 编辑本段学科关系连续性与离散性这对矛盾在自然现象与社会现象中普遍存有着，数学也能够粗略地分为连续性的与离散性的

41、两大门类。拓扑学对于连续性数学自然是带有根本意义的，对于离散性数学也起着巨大的推动作用。例如，拓扑学的基本内容已经成为现代数学工作者的常识。拓扑学的重要性，表达在它与其他数学分支、其他学科的相互作用。 拓扑学与微分几何学有着血缘关系，向量场问题 考虑光滑曲面上的连续的切向量场，它们在不同的层次上研究流形的性质。就看其中是否不含有这两个图之一。为了研究黎曼流形上的测地线，一个网络是否能嵌入平面，H.M.莫尔斯在20世纪20年代建立了非退化临界点理论，把流形上光滑函数的临界点的指数与流形本身的贝蒂数联系起来，并发展成大范围变分法。莫尔斯理论后来又用于拓扑学中，证明了典型群的同伦群的博特周期性(这是

42、K 理论的基石)，并启示了处理微分流形的剜补术。微分流形、纤维丛、示性类给É.嘉当的整体微分几何学提供了适宜的理论框架，也从中获取了强大的动力和丰富的课题。G.皮亚诺在1890年竟造出一条这样的“曲线”，陈省身在40年代引进了“陈示性类”，就不但对微分几何学影响长远，随一个参数（时间）连续变化的动点所描出的轨迹就是曲线。对拓扑学也十分重要。朴素的观点是点动成线，纤维丛理论和联络论一起为理论物理学中杨米尔斯规范场论（见杨米尔斯理论）提供了现成的数学框架， 维数问题 维数问题 什么是曲线？犹如20世纪初黎曼几何学对于A.爱因斯坦广义相对论的作用。规范场的研究又促动了四维的微分拓扑学出

43、人意料的进展。 编辑本段学科作用拓扑学对于分析学的现代发展起了极大的推动作用。随着科学技术的发展，需要研究各式各样的非线性现象，分析学更多地求助于拓扑学。要问一个结能否解开（即能否变形成平放的圆圈），3O年代J.勒雷和J.P.绍德尔把L.E.J.布劳威尔的不动点定理和映射度理论推广到巴拿赫空间形成了拓扑度理论。后者以及前述的临界点理论，纽结问题 纽结问题 空间中一条自身不相交的封闭曲线，都已成为研究非线性偏微分方程的标准的工具。所以这颜色数也是曲面在连续变形下不变的性质。微分拓扑学的进步，促动了分析学向流形上的分析学(又称大范围分析学)发展。在托姆的影响下，然后随意扭曲，微分映射的结构稳定性理

44、论和奇点理论已发展成为重要的分支学科。S.斯梅尔在60年代初开始的微分动力系统的理论，要七色才够。就是流形上的常微分方程论。M.F.阿蒂亚等人60年代初创立了微分流形上的椭圆型算子理论。著名的阿蒂亚辛格指标定理把算子的解析指标与流形的示性类联系起来，是分析学与拓扑学结合的范例。现代泛函分析的算子代数已与K 理论、指标理论、叶状结构密切相关。在多复变函数论方面，来自代数拓扑的层论已经成为基本工具。 拓扑学的需要大大刺激了抽象代数学的发展，并且形成了两个新的代数学分支：同调代数与代数K 理论。 四色问题 在平面或球面上绘制地图，代数几何学从50年代以来已经完全改观。把曲面变形成多面体后的欧拉数-e

45、+?在其中起着关键的作用。托姆的协边论直接促使代数簇的黎曼罗赫定理的产生，后者又促使拓扑K 理论的产生。现代代数几何学已完全使用上同调的语言，在连续变形下封闭曲面有多少种不同类型？代数数论与代数群也在此基础上取得很多重大成果，例如相关不定方程整数解数目估计的韦伊猜测和莫德尔猜测的证明（见代数数论）。 范畴与函子的观点，是在概括代数拓扑的方法论时形成的。范畴论已深入数学基础、代数几何学等分支（见范畴）；对拓扑学本身也有影响，通俗的说法是框形里有个洞。如拓扑斯的观点大大拓广了经典的拓扑空间观点。凸形与框形之间有比长短曲直更本质的差别， 在经济学方面，这说明，J.冯诺伊曼首先把不动点定理用来证明均衡

46、的存有性。在现代数理经济学中，对于经济的数学模型，均衡的存有性、性质、计算等根本问题都离不开代数拓扑学、微分拓扑学、大范围分析的工具。在系统理论、对策论、规划论、网络论中拓扑学也都有重要应用。 托姆以微分拓扑学中微分映射的奇点理论为基础创立了突变理论，为从量变到质变的转化提供各种数学模式。在物理学、化学、生物学、语言学等方面已有很多应用欧拉的多面体公式与曲面的分类 欧拉的多面体公式与曲面的分欧拉发现， 除了通过各数学分支的间接的影响外，拓扑学的概念和方法对物理学(如液晶结构缺陷的分类)、化学（如分子的拓扑构形）、生物学(如DNA的环绕、拓扑异构酶)都有直接的应用。 拓扑学与各数学领域、各科学领

47、域之间的边缘性研究方兴未艾。 参考书目 江泽涵著：拓扑学引论，上海科学技术出版社，上海，1978。 M.A.Armstrong 著，孙以丰译：基础拓扑学，北京大学出版社，北京，上有七座桥（见图论）。1983。(M.A.Armstrong，basic Topology，是20世纪理论数学发展中的一个明显特征。McGraw-Hill， London， 1979.) S.Eilenberg and N.Steenrod，Foundations of Algebraic Topology，又相继出现了微分拓扑学、几何拓扑学等分支。 Princeton Univ. Press， Princeton，后者

48、则成为代数拓扑学。 1952. J.L.凯莱著，现在前者已演化成一般拓扑学，吴从炘、吴让泉译：一般拓扑学，科学出版社，北京，1982。拓扑学又分成研究对象与方法各异的若干分支。(J.L.Kelley，General Topology，Van Nostrand， New York， 1955.)熊金城 吕杰谭枫译：拓扑学（原书第2版）原书名 Topology (2nd Edition) 原出版社Prentice Hall/Pearson 作者（美）James R.Munkres 出版社 机械工业出版社本书最大的特点在于概念引入自然，循序渐进。对于疑难的推理证明，将其分解为简化的步骤，不给读者留下

49、疑惑。 编辑本段初等实例柯尼斯堡的七桥问题（一笔画问题）柯尼斯堡是东普鲁士首府，(m.a.armb，普莱格尔河横贯其中，上有七座桥（见图论）。一个散步者怎样才能走遍七座桥而每座桥只经过一次？这个18世纪的智力游戏，孙以丰译：基础拓扑学，被l.欧拉简化为用细线画出的网络能否一笔画出的问题，然后他证明这是根本办不到的。一个网络之能否一笔画出，与线条的长短曲直无关，只决定于其中的点与线的连接方式。 参考书目 江泽涵著：拓扑学引论，设想一个网络是用柔软而有弹性的材料制作的，在它被弯曲、拉伸后，能否一笔画出的性质是不会改变的。 公式与分类欧拉发现，不管什么形状的凸多面体，为从量变到质变的转化提供各种数学

50、模式。其顶点数、棱数 e、面数?之间总有这个关系。从这个公式能够证明正多面体只有五种（见正多面体）。在系统理论、对策论、规划论、网络论中拓扑学也都有重要应用。值得注意的是，假如多面体不是凸的而呈框形（图1），也不管框的形状如何，总有。这说明，凸形与框形之间有比长短曲直更本质的差别，如拓扑斯的观点大大拓广了经典的拓扑空间观点。通俗的说法是框形里有个洞。 在连续变形下，凸体的表面能够变为球面，框的表面能够变为环面（轮胎面）。例如相关不定方程整数解数目估计的韦伊猜测和莫德尔猜测的证明，这两者却不能通过连续变形互变。在连续变形下封闭曲面有多少种不同类型？现代代数几何学已完全使用上同调的语言，怎样鉴别它

51、们？这曾是19世纪后半叶拓扑学研究的主要问题。把曲面变形成多面体后的欧拉数-e+?在其中起着关键的作用（见闭曲面的分类）。 四色问题在平面或球面上绘制地图，并且形成了两个新的代数学分支：同调代数与代数k 理论。有公共边界线的区域用不同的颜色加以区别。 拓扑学的需要大大刺激了抽象代数学的发展，19世纪中期，来自代数拓扑的层论已经成为基本工具。人们从经验猜测用四种颜色就足以给所有的地图上色。证明这个猜测的尝试，却延续了100多年，到1976年才出现了一个借助于计算机的证明。著名的阿蒂亚辛格指标定理把算子的解析指标与流形的示性类联系起来，假如不是在平面上而是在轮胎面上画地图，四色就不够了，就是流形上

52、的常微分方程论。要七色才够。用橡皮做一个曲面模型，微分映射的结构稳定性理论和奇点理论已发展成为重要的分支学科。然后随意扭曲，弄得山峦起伏，促动了分析学向流形上的分析学(又称大范围分析学)发展。这对其上的地图着色毫无影响，所以这颜色数也是曲面在连续变形下不变的性质。 纽结问题空间中一条自身不相交的封闭曲线，会发生打结现象。3o年代j.勒雷和j.p.绍德尔把l.e.j.布劳威尔的不动点定理和映射度理论推广到巴拿赫空间形成了拓扑度理论。要问一个结能否解开（即能否变形成平放的圆圈），或者问两个结能否互变（例如，图2中的两个三叶结能否互变），并且不只做个模型试试，还要给出证明，那就远不是件容易的事了（见

53、纽结理论）。 维数问题什么是曲线？朴素的观点是点动成线，对拓扑学也十分重要。随一个参数（时间）连续变化的动点所描出的轨迹就是曲线。不过，g.皮亚诺在1890年竟造出一条这样的“曲线”，它填满整个正方形！这激发了关于维数概念的深入探讨，经过2030年才取得关键性的突破（见维数）。并启示了处理微分流形的剜补术。 布线问题（嵌入问题）一个复杂的网络能否布在平面上而不自相交叉？做印刷电路时自然会碰到这个问题。莫尔斯理论后来又用于拓扑学中，图3中左面的图把一根对角线移到方形外面就能够布在平面上，但图4两个图却无论怎样挪动都不能布在平面上。把流形上光滑函数的临界点的指数与流形本身的贝蒂数联系起来，1930

54、年k.库拉托夫斯基证明，一个网络是否能嵌入平面，为了研究黎曼流形上的测地线，就看其中是否不含有这两个图之一。 向量场问题考虑光滑曲面上的连续的切向量场，即在曲面的每一点放一个与曲面相切的向量，并且其分布是连续的。拓扑学的重要性，其中向量等于0的地方叫作奇点。例如，地球表面上每点的风速向量就组成一个随时间变化的切向量场，拓扑学对于连续性数学自然是带有根本意义的，而奇点就是当时没风的地方。从直观经验看出， 拓扑学与其他学科的关系连续性与离散性这对矛盾在自然现象与社会现象中普遍存有着，球面上的连续切向量场一定有奇点，区别于代数味很重的同伦论。而环面上却能够造出没有奇点的向量场。 进一步分析，每个奇点

55、有一个“指数”，即当动点绕它一周时，发现四维欧氏空间竟还有不同寻常的微分结构。动点处的向量转的圈数；此指数有正负，视动点绕行方向与向量转动方向相同或相反而定(图5)。庞加莱发现，几何的课题、几何的方法取得很多进展。球面上切向量场，只要奇点个数是有限的，这些奇点的指数的代数和（正负要相消）恒等于2；而环面上的则恒等于0（见曲面）。这2与0恰是那两个曲面的欧拉数，j.w.米尔诺等人发展了处理微分流形的基本方法剜补术，这不是偶然的巧合。 不动点问题考虑一个曲面到自身的连续变换（映射），即曲面的每一点被移到该曲面上的新的位置，连续是指互相邻近的点被移到互相邻近的点。不能赋以任何微分结构的流形又被人构作

56、出来，新旧位置相同的点叫作这变换的不动点。随后，每个不动点也有个“指数”，还有不同寻常的微分结构。即当动点绕它一周时，1956年j.w.米尔诺发现七维球面上除了通常的微分结构之外，从动点指向其像点的向量转动的圈数。同时也刺激了代数拓扑学的进一步发展。拓扑学家们发现，曲面到自身的映射的不动点个数假如是有限的，它们的指数的代数和不会因对这映射做细微的修改而改变，因而可从这映射的某些粗略的特征计算出来。特别是对于实心圆上的映射，指数和恒为1，所以实心圆到自身的映射总有不动点。h.惠特尼1935年给出了微分流形的一般定义，这类定理对于证明数学中各种方程的解的存有性非常有用（见不动点理论）。 编辑本段简

57、易的四色定理证明此方法并非严密的逻辑，而是一般中学任课教师常用的引导学生理解四色定理的方法： 一维研究在一维度上，需要两种颜色就能够区分开各段。因为一维有正反两个方向。在方向未变化的时候算同一区域， 变化一次算一个一个新的区域。而两次就会变换回来，所以一个维度上需要用两种色系。 而在一个闭合的圆环上，把圆环分成三局部，每两局部都相邻，所以至少需要三种颜色。 总之，在一个一维的图形中，每个区域只会与两个区域相邻，只需要选择与相邻两个区域颜色不同的第三种颜色即可。所以三种颜色是充分的。 二维组合在二维平面上，有两个维度，无论是什么方向，什么形式（即使是圆心角坐标也同理）。 画两个同心圆，把两圆之间的环形截成三段，根据一维的情形，圆环需要三种颜色。而中心的小圆盘与圆环的三局部都相邻，所以至少需要四种颜色。 三维扩展在三维空间上，根据七色环面 ，能够构造一个空间的划分，使得至少需要七种颜色才能够完全分割。