选修422.5特征值与特征向量成品

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1、10010a 【探究探究】1 1、计算下列结果：、计算下列结果：10001b 0,0ab 以上的计算结果与以上的计算结果与 的关系是怎样的？的关系是怎样的？2 2、计算下列结果：、计算下列结果：0,0ab 以上的计算结果与以上的计算结果与 的关系是怎样的？的关系是怎样的？10020a 10002b 0a 0b0a 02b例题分析例题分析10102.MABCOx矩阵表示一个压缩变换，它把下图中的正方形沿 轴垂直压缩为原来的一半10111100002M .10向量和变换后分别与它们的原象共线01100001111022M M lll l为矩阵为矩阵M的特征值的特征值,为矩阵为矩阵M的属于特的属于特

2、征值征值 l l的特征向量。的特征向量。特征值及特征向量的定义特征值及特征向量的定义10111100002M 100001111022M 建构数学建构数学a bc d设矩阵设矩阵A ，如果对于实数，如果对于实数l l，存在一个存在一个非零向量非零向量，使得，使得A=l l，则称，则称l l是矩阵是矩阵A的一个的一个特征值特征值。是矩阵是矩阵A的属于特征值的属于特征值l l的一个的一个特征向量特征向量。从几何上看，特征向量的方向经过变换矩从几何上看，特征向量的方向经过变换矩阵阵A的作用后，保持在同一条直线上。的作用后，保持在同一条直线上。这时，特征向量或者这时，特征向量或者方向不变方向不变(l

3、l0)，或者或者方向相反方向相反(l l0).特别地，当特别地，当l l=0时，特征向量被变换成了时，特征向量被变换成了0向量向量.a bc d 设设l l是矩阵是矩阵A=的一个特征值，它的一个的一个特征值，它的一个xy 特征向量为特征向量为则则xxAyyl 即即 满足方程组满足方程组xy axbyxcxdyyll()0(*)()0a xbycxd yll故故因因l l0 0，所以，所以x,y不全为不全为0 0，此时此时Dx=0、Dy=0.则则D=0 0即即0abcdll建构数学建构数学a bc d设矩阵设矩阵A ，l lR，我们把行列式我们把行列式称为称为A的的特征多项式特征多项式。2()(

4、)abfadadbccdlllll分析表明，如果分析表明，如果l l是矩阵是矩阵A A的特征值，则的特征值，则f(l)0(l)0此时，将此时，将l l代入方程组代入方程组(*)，得到一组非零解，得到一组非零解00 xy即即 为矩阵为矩阵A的属于的属于l l的一个特征向量的一个特征向量.00 xy数学运用数学运用例例1、求出矩阵、求出矩阵A=的特征值和特征向量的特征值和特征向量1001 能否从几何变换的角度直接观察出能否从几何变换的角度直接观察出矩阵矩阵A的特征向量？的特征向量？思考：思考：总结总结求二阶矩阵特征值与特征向量的求二阶矩阵特征值与特征向量的步骤步骤：其几何意义是什么？其几何意义是什

5、么？如果如果 是矩阵是矩阵A的属于特征值的属于特征值l l的一个特征向的一个特征向量，则对任意的非零常数量，则对任意的非零常数t，t 也是矩阵也是矩阵A的属于的属于特征值特征值l l的特征向量。的特征向量。【定理定理1 1】属于矩阵的同一个特征值的特征向量属于矩阵的同一个特征值的特征向量共线共线.属于矩阵的不同特征值的特征向量属于矩阵的不同特征值的特征向量不共线不共线。【定理定理2 2】属于矩阵的不同特征值的特征向量有何关系？属于矩阵的不同特征值的特征向量有何关系？思考：思考：探究：探究：1、矩阵、矩阵A=的特征向量是什么？的特征向量是什么？1002怎样从几何角度加以解释？怎样从几何角度加以解

6、释？2、从几何角度解释、从几何角度解释13221322的特征向量。的特征向量。特征向量。的特征值和练习：求投影变换矩阵1000M22112121,1eeaaeellll使，有且只有一对实数内的任一向量那么对于这一平面内两个不共线的向量，是同一平面如果、平面向量基本定理：21212211.,2yyxxyxyx则、向量知识回顾知识回顾.,10,013112121nemenmee使求实数，、已知向量2、自学课本、自学课本68至至69页内容，总结求页内容，总结求nM的步骤。的步骤。新课讲解新课讲解建构数学建构数学建构数学建构数学任意向量都可以用特征向量来表示。任意向量都可以用特征向量来表示。501212MM.217 例、已知，试计算数学运用数学运用12111001103A,.0121(1)AA.(2)A3,AA.ijxyll 例、若矩阵 有特征向量和且它们所对应的特征值分别为 ，求矩阵 及其逆矩阵求逆矩阵的特征值和特征向量；（）对任意向量 求及20A01-110A201