向量范数与矩阵范数的相容性.ppt

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1、矩阵论教程 A 矩阵论教程 哈尔滨工程大学 理学院 矩阵论教学团队 Department of Mathematics, College of Sciences 书后要求的习题 ,主动自觉做 ,抽查和不定时收取 使用教材 矩阵论教程 国防工业出版社 2012 其他辅导类参考书（自选） 课 程 要 求 作业要求 矩阵论网站 授课预计 (10学时 ) 1 2 3 4 第二章 内积空间与赋范线性空间 欧氏空间与酉 空 间 标准正交基与向量的正交化 正交子空间 酉 (正交 )变换与正交投影 5 向量范数与矩阵范数 6 向量范数与矩阵范数的相容性 教 学 内 容 和 基 本 要 求 2, 理解内积空间的

2、标准正交基，会用施密特正交化方法构 造标准正交基； 3, 理解正交子空间及其正交补的概念，掌握正交投影的 概念；理解正交变换的概念，熟练掌握正交矩阵的性质； 1，熟练掌握内积的计算方法，知道度量矩阵及其基本性质， 理解内积空间的概念； 在矩阵范数中 ,相容性 尤为重要，那么 矩阵范数与向量范数之间有类似的性质？ BAAB xAAx 若 是 上的矩阵范数， 是 上的向量范数，由于 仍是 上的向量， 所以： )( nnnn RC A x )( nn RC Ax )( nn RC 设 是 上的矩阵范数， 是 上 的向量范数。如果对任意的 都有： 则称矩阵范数 与向量范数 是 相容的 A x )( n

3、nnn RC )( nn RC ),( nnnn RCA )( nn RCx xAAx A x 定义 1 向量范数与矩阵范数的相容性 2.6 例 1 证明矩阵范数 与向量范数 是相容的。 1 11 nn ijm ij Aa 1 1 n i i xx 1 1 1 1 1() n n n n i k k i k ki k i kA x a a 1 1 1 ( ) ( ) n n n i k ki k ka 11 1 1 1 ( ) ( ) n n n ik ki k k m a Ax 证明： 设 ， () nn ijA a C 12, , , T n nxC 2 2 11 nn ik kikA x

4、 a 22 1 1 1 1 2 2 1 1 1 2 2 1 1 1 2 ( ) ( ) ( ) ( ) n n n n i k k i k ki k i k n n n i k ki k k n n n i k ki k k F aa a a Ax 例 2 证明矩阵范数 与向量范数 是相容的。 2 1 22 11 nn ijm ij Aa 1 22 2 1 n i i xx 证明： 设 ， () nn ijA a C 12, , , T n nxC |A|F 与 |x|2 相容 的性质反映了 |A|F 是 像 Ax 的 2-范 数 |Ax|2 与 原像 x 的 2-范数 之比的最大值，即 2

5、2 F Ax A x 因此，可以用 |A|F来刻画变换 A 的结果。 对于给定的某种向量是否一定存在与它相容的矩阵 范数？ 任意一个矩阵范数都有与之相容的向量范数吗？ m a x v x v AxA x 给定 上的向量范数 ， 定义 nC v nnAC 则 是 上与向量范数 相容的矩阵范数， 称 为由向量范数 导出的 算子范数 或 从属于 向 量范数 的 矩阵范数 nnC v v v 从属于向量范数的矩阵范数 定理 1 定理 1表明，由给定的向量范数按照上式定义的实 值函数是一种 矩阵范数 ，它与已给的向量范数是 相容的 。 证明 (1) 当 A为非零矩阵时，一定可以找到非零向量 x ，使 A

6、x0 ，从而有 0 m a x 0v x v AxA x 00 m a x m a xvv xx vv k A x A x k A k k A xx 即 |A|满足正定性 ；另外，显然 |A|=0当且仅当 A=0。 (2) 对任意的常数 k C， 即 |A|满足齐次性 。 (3) 对任意的方阵 A， B Cn n， 00 00 () m ax m ax ( ) m ax m ax v v v xx v v v vv xx vv A B x Ax Bx AB x x x Ax Bx AB xx 00 00 () m a x ( ) m a x | ( ) | | | m a x m a x |

7、| | | v v v xx v v v B x x ABx A Bx Bx AB x Bx x A Bx Bx AB Bx x 即 |A|满足三角不等式 。 (4) 对任意的方阵 A， B Cn n， 即 |A|满足相容性 。 上述定义的实值函数 |A| 是矩阵 A的范数。 再证 |A|与 | x |v的相容性。 0 m a x vv x vv A x A x A xx vvA x A x 由向量范数诱导的矩阵的算子范数还有另外几个不 同的计算公式。 定理 2: 设 是 上的向量范数 ,则 v )( nn RC (1) 1 m a x v vxA A x 都是由 诱导出的算子范数 1 m a

8、 x v vxA A x (2) v 0 0 0 m a x m a x m a x m a x : 1 v y y y v v vvv vv Ay Ay y AA y y y Ax x 证 (1) 1v v y xx y 令 11m a x m a xvvvvxxA x A x 1m a xv vxA A x 1 1 0 m a x m a x m a x vv vv vx x x vv A x A x A x Axx 1m a xv vx A x A (2) 显然 由 (1)可知， 故有， 例 3 证明由 n维向量的 1-范数， -范数和 2-范数 所诱导的算子范数分别是 (设 A=(ai

9、j)n n) 列模和之最大者： 列和范数 为 从属于 向量 2-范数 的矩阵范数，也称 谱范数 。 为 A的最大正奇异值。 12 , m a x : d e t ( ) 0 HMMA I A A (3) 为 从属于 向量 范数 的矩阵范数 (2) 1 m a x n iji j Aa 1 1 m a x n ijj i Aa 为 从属于 向量 1 范数 的矩阵范数 (1) 行模和之最大者： 行和范数 证明 (1) 设 A的各列向量为 i，即 12 nA 1 1 2 21 1 1 1 2 211 1 12 1 1 11 . . ( . ) m a x m a x | | m a x | | nn

10、 nn nj j nn ij ij jj ii Ax x x x x x x x x x x a a 则 ，且有 ，于是 1 1ke 11kkAe 1 1 | n k ik i A e a 另外，设 ，并取单位向量 0, ., 0, 1 , 0, ., 0 Tke 1 1m a x n k ijj i a 12, , . . . , T nx x x x 1 1 | | 1 n i i xx 且 1 1m ax n ijj i Aa 即有 1 1m ax n ijj iAa 即 |Ax|1在单位球面 x | |x|1=1 上的极大值点为 ek， 1 1m ax n ijj i Aa 1 m a

11、 x n iji j Aa (2) 假设 i=k时， 取得最大值，即 1 | n ij j a 11 m a x | | | | nn i j k ji jj aa 1 1 1 | | m a x | | n n n k j j k j i ji j j j a x a a ,0 1 , 0 kj kj j kj kj a a x a a 11 11 m ax m ax | | | m ax | | m ax | | | | nn ij j ij j ii jj nn ij j kj ij jj A x a x a x a x a 则对于满足 |x|=1的任意 n维向量 x，有 取 x0的第

12、j个分量 xj为 则有 |x 0|=1， 且 Ax0的第 k个分量为 1 1 1 m a x | | m a x |= | n n n i j j i j i jii j j j A x a x a a 12 MA 设与之对应的标准正交特征向量为 ，即有 12, , ., nu u u 2 2 ( ) ( ) H H HAx Ax Ax x A Ax 2 ,HHi i i i j i jA A u u u u (3) 任取 ，且 | x |2=1， 则 12, , . . . , T nx x x x 2 2 212D , , ., n 2 2 212 . n 作酉阵 ，则有 AHA=UHDU

13、，其中 12, , . . . , nU u u u 2 2 2 2 2 2 1 HHy U x x U U x x 令 ，则 12, , . . . , Tny U x 2 22 2 1 | n H ii i A x y Dy 由于 AHA为 Hermite阵且正定，故可设 AHA的特征值为 2 2 HHAx x U D U x从而有 故得 2 22 2 1 | n H ii i A x y Dy 12Ax 2 22 1 1 1 1 1 1 12 H H HAu u A Au u u 12A 即 ，从而证得 112Au 2 2 12Ax 22 2 1 | | 1 n i i y 因为 ，所以

14、 2 12| | 1 m a xx Ax 又由 x的任意性可得 12 2 1xu 若取 x=u1 ，则显然有 设 是定义在 上的一种矩阵范数，则在 上必存在与它相容的向量范数 nnCm nC 证明： 用构造法证明。取定 ,则 就是 上与 相容的向量范数。 首先 , 证明 是 上的范数： 0 nC H v mxx nC m v nC 与矩阵范数相容的向量范数的存在性 () H H Hv v vm m mx y x y x y x y 1. 三角不等式 , nx y C 3, 正定性 0 x 0Hv mxx Hx 0 0 x 0H v mxx Hx 0 C () HHvv mmx x x x 2,

15、 绝对齐性 再证 与 的相容性 mv () HHv m m vmmA x A x A x A x 由矩阵范数定义中的第 4条 nnAC nxC 定理 3 设 A为 n阶方阵，则 2 2 2 2( 2 ) | | | | | | | |THA A A A 2 2 2,( 1 ) | | | | m a x | | | | | | | 1 , | | | | 1 HxyA y A x x y 22( 4 ) | | | | , , nnA U AV U V U 2 22( 3 ) | | | | | | | |HA A A 0 2 2| | | | 0Ax A 22 2 2 2 2 | | | (

16、 , ) | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | Hy Ax y Ax y Ax A x y A 证明 (1) 由于 而 |A|2为 |Ax|2在 |x|2=1上的最大值，因此，存在 x0， 使得 0 2 0 | | | | | 1 ,x z x x z x 2 | | 1 z x x2 2 2 2| | | | | | | | , | | | | | | | |y y x x 0 0 0 0 2 2 02 ()| | | | | | | | | | | | | | | | H H Axy A x A x A x A Ax 2 2 2

17、,| | | | m a x | | | | | | | 1 , | | | | 1 HxyA y A x x y 2 2 2 , 22 , 2 | | m ax | | | | | 1 , | | 1 m ax | | | | | 1 , | | 1 | | H xy H xy A y A x x y y A x x y A 0 02| | Axy Ax | | | | | | | |HH H Ty Ax y Ax y A x y A x 取 故 (2) 因为 又由于 且对任意 存在 故 又由于 2 2 2 2| | | | | | | |THA A A A 2 2 2 , 22 , 2 |

18、 | m a x | | | | | 1 , | | 1 m a x | | | | | 1 , | | 1 | | H xy HH xy H A y A x x y x A y x y A 2 2 2, 2 22 | | | | max | | | | | | | 1 , | | | | 1 max | | | | | | | 1 | | | | H H H xy HH x A A y A Ax x y x A x x A 22 2 2 2| | | | | | | |HHA A A A A 222| | | |HA A A | | | ( ) | | |H H H Hy A x y A x

19、 x A y 故有 (3) 由矩阵范数定义和 (2)，有 故有 2 2 22 2 2| | | ( ) | | |H H HU A U A V A U 222 2 2 2| | | | | | | | | | | | | | | |H H HA A A A U U A U A 22| | | | | | | |A U A V 2 2 2 22 2 2 2| | | | | | | | | | | | | | | |H H H H HA A U V A U U AV (4) 由 (2)和 (3)，可得 故有 定义 3 矩阵 A Cn n的 谱半径 (A)是 ( ) m ax | |:A 是 A的特征值 证明 设 为矩阵 A的一个特征值，相应的特征向量 为 x0，则 ()AA ()AA x x Ax A x A x x 定理 4 如果 | |是任意的矩阵范数，且 A Cn n， 则 若 | |是任意的矩阵范数，则对上式两边同时取范数， 由 的任意性，我们有 尽管谱半径不是 Cn n中的矩阵范数，但对于每 个固定的 A Cn n， 它是关于 A的所有矩阵范数 的值的 最大下界 。