合工大电磁场与电磁波第6章答案

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1、第 6 章习题答案6-1在卩=1、 = 4、b二0的媒质中，有一个均匀平面波，电场强度是 rr兀E(z, t) = E sin(t kz +)m3若已知f = 150 MHz，波在任意点的平均功率流密度为0.265 yw/m 2，试求：(1) 该电磁波的波数k = ?相速v二?波长九=?波阻抗耳=?p(2) t 二 0，z 二 0 的电场 E(0,0) = ?(3) 时间经过0.1ys之后电场E(0,0)值在什么地方？(4) 时间在t = 0时刻之前Ogs，电场e(0,0)值在什么地方？, 2兀 f . 解：(1) k=- -8 = 2兀(rad/m)crv = c /”8 二 1.5 x 1

2、08 (m/s)prX = 1 (m)kii u耳=120k = 60k g)8r(2)T S = E2 =1E2 = 0.265x 10-6av 2q2 ! 08 8k 0 r E 二 1.00 x 10 -2 (V/m)mkE(0,0) = E sin = 8.66 x 10-3 (V/m)m3(3) 往右移Az = v At = 15 mp(4) 在O点左边15 m处6-2 一个在自由空间传播的均匀平面波，电场强度的复振幅是E = 10 -4 e -j20kze + 10 -4 e j(7-20Kz)e伏 / 米xy 试求： (1)电磁波的传播方向？(2)电磁波的相速v = ?波长X =

3、 ?频率f = ?( 3)磁场强度 H = ?(4)沿传播方向单位面积流过的平均功率是多少？ 解：(1)电磁波沿z方向传播。(2)自由空间电磁波的相速v = c = 3x 10m/s“ T = 20K = 0.1(m)k = 20kc=20k c. f = = 10c = 3 x 109Hz2k1k_(3) H 二一e xE 二 2.65x 10-7(e-j(20Kz + 2)e + evow )(A/m)耳 zxy_1E E *(4) S =_Re(E xH*)二 e 二 2.65x 10-iie (W/m2)av 22zz6-3证明在均匀线性无界无源的理想介质中，不可能存在E二E e je

4、的均匀平面电0z 磁波。证 T VE = -jkEf-jkz丰0，即不满足Maxwell方程不可能存在E = E e je的均匀平面电磁波。0z6-4在微波炉外面附近的自由空间某点测得泄漏电场有效值为1V/m，试问该点的平均 电磁功率密度是多少？该电磁辐射对于一个站在此处的人的健康有危险吗？(根据美国国 家标准，人暴露在微波下的限制量为10-2W/m2不超过6分钟，我国的暂行标准规定每8 小时连续照射，不超过3.8X10-2W/m2o) 解：把微波炉泄漏的电磁辐射近似看作是正弦均匀平面电磁波，它携带的平均电磁功率密 度为E 21|S 1 = = 2.65 x 10-3 W/m21 aJ 耳 3

5、770可见，该微波炉的泄漏电场对人体的健康是安全的。6-5在自由空间中，有一波长为12cm的均匀平面波，当该波进入到某无损耗媒质时,其波长变为8cm,且此时|E| = 31.41V/m, |H| = 0.125A/m。求平面波的频率以及无损耗媒质的&和卩orr解：因为九=九/屮&，所以卩& = (12/8)2 = 9/40” r rr r又因为H = 120kHI 120kH 丿2= 0.4443卩=1， & = 2.25同时一个均匀平面波也rr6-6若有一个点电荷在自由空间以远小于光速的速度v运动, 沿v的方向传播。试求该电荷所受的磁场力与电场力的比值。解：设v沿z轴方向，均匀平面波电场为E

6、，则磁场为1H = e xE耳 z0电荷受到的电场力为F = q E e其中q为点电荷电量，受到的磁场力为=-qv、p 8 E00qp vF =qv x B = qp ve x H = - Em0 zn0=-聖Ec故电荷所受磁场力与电场力比值为Fvm =F c e6-7 一个频率为 f =3GHz， e 方向极化的均匀平面波在8 = 2.5 ，损耗角正切值为 yr10弋的非磁性媒质中，沿正e方向传播。1)2)x求波的振幅衰减一半时，传播的距离；3)求媒质的波阻抗，波的相速和波长；设在x = 0处的E = 50sm 6兀x 1091 + e，写出h(x,t)的表示式。k3丿o解：(1) tan=

7、 10-2,这是一个低损耗媒质，平面波的传播特性，除了有微弱的损耗引起的衰减之外，和理想介质的相同。其衰减常数为3 X108世二 I0亠气证二 1-2 X 2兀3 X 1925 二 0.497ln2因为e-a = 1/2，所以l = 1.40ma(2)对低损耗媒质，n Q= 125= 238.4 Q13 x108相速 v = 1.90 x108m/sP8 -v2.5波长九=v / f = 0.0632(m) = 6.32(cm)(3)丽二 6宀109 “25 二 99.33 X108H (x, t) = 50 e-0.5x sin(6兀 x 1091 Px + )en3 z兀=0.21e-0.

8、5x sin(6兀 x 1091 - 99.3x +)e (A/m)3z6-8微波炉利用磁控管输出的2.45GHz频率的微波加热食品，在该频率上，牛排的等效复介电常数 = 40(1 - 0.3j)。求：r(1) 微波传入牛排的穿透深度，在牛排内8mm处的微波场强是表面处的百分之几？ (2 )微波炉中盛牛排的盘子是发泡聚苯乙烯制成的，其等效复介电常数 =r1.03(1 - j0.3x 10-4)。说明为何用微波加热时，牛排被烧熟而盘子并没有被毁。解：(1) 二丄a1l21十- 13 1”卩8(38 丿2二 0.0208m 二 20.8mmE二 e-z/ 二 e-8/20.8 二 68%E02)发

9、泡聚苯乙烯的穿透深度1 2 8 = 1a g 卩I沖82 x 3 x 1082兀 x 2.45 x 109 x 0.3 x 10-4 x .1.03=1.28 x 103 (m)可见其穿透深度很大，意味着微波在其中传播的热损耗极小，所以不会被烧毁。6-9已知海水的g = 4S/m, 8 = 81,卩=1，在其中分别传播f = 100MHz或rrf二10kHz的平面电磁波时，试求：a=? v = ?九=?pg解：当 f = 100MHz 时， =&881 8当 f = 10kHz 时，_ = &8x 1042 8故 f2=10kHz时，媒质可以看成导体，可以采用近似公式I12 而f = 100M

10、Hz时媒质是半电介质，不能采用上面的近似公式。 (1) 当 f = 100MHz 时2 U8 ，a =1 + ()2 一 1 = 37.5(Nep/m)1238I: I=3 2 U8P =1 + ()2 +1 = 42.0(rad/m)12383u = 0.149 x 108 (m/s)p1 B1九二二 0149(m)1 P1(2)当 f = 10kHz 时2 qa u B u凹二 0.397u 0397(Nep/m)u 0397(rad/m)u =? = 1.58 x 105 (m/s)2 r22a2B2p 2B2九=15.8(m)2 B26-10证明电磁波在良导电媒质中传播时，场强每经过一

11、个波长衰减54.54dB。证：在良导体中，a u卩,a2兀2兀故人=-Ba因为 E 二 E e-a 二 E e-空00所以经过一个波长衰减E20lg一 二-20lg（e-2兀）二 54.57（dB）E06-11 为了得到有效的电磁屏蔽，屏蔽层的厚度通常取所用屏蔽材料中电磁波的一个波长，即d二2曲式中5是穿透深度。试计算（1）收音机内中频变压器的铝屏蔽罩的厚度。（2）电源变压器铁屏蔽罩的厚度。（3）若中频变压器用铁而电源变压器用铝作屏蔽罩是否也可以？（铝：b = 3.72 x 107S/m , e = 1,卩=1;铁： b = 107S/m , e = 1,卩=104 , f=r r r r46

12、5kHz。） 解：1)铝屏蔽罩厚度为=7.60 x 10 - 4 (m) = 0.76(mm)d = 2 兀22兀 x 465 x 103 x 4兀 x 10-7 x 3.72 x 1072）铁屏蔽罩厚度为i12 2兀 x 50 x 4兀 x 10-7 x 104 x 107=1.41 x 10 - 3(m) = 1.41(mm)=1.47 x 10 -5 (m) = 14.7( Rm)2兀 x 465 x 103 x 4兀 x 10-7 x 104 x 107d = 2 兀=7.33 x 10 - 2 (m) = 73(mm)铝2兀 x 50 x 4兀 x 10-7 x 3.72 x 107

13、用铝屏蔽50Hz的电源变压器需屏蔽层厚73mm,太厚，不能用。用铁屏蔽中周变压器 需屏蔽层厚147 r m,故可以选用作屏蔽材料。6-12 在要求导线的高频电阻很小的场合通常使用多股纱包线代替单股线。证明，相同截 1面积的N股纱包线的高频电阻只有单股线的丄。JN证：设N股纱包中每小股线的半径为r，单股线的半径为R，则兀R2 = N兀r2，即R =JNr单股线的高频电阻为R =1 c - 2kR8其中c为电导率，为趋肤深度。N股纱包线的高频电阻为R =N 厂2兀rNbR vWr 1RN =R rN16-13 已知群速与相速的关系是vg式中0是相移常数，证明下式也成立dv=Vp *卩刊dv=v 九

14、 ppd九vg2兀1、2兀证：由卩=得d0 = 2nd G-) = -d九九九九22ndvdv/. v = v +p=V 一入 pg p 九/ 2兀、m pd九()dkA26-14 判断下列各式所表示的均匀平面波的传播方向和极化方式E = jE e jkze + jE e jkze1 x 1 yH = H e-jkxe + H e-jk%e1y2zE=Ee-jkze - jEe-jkze0 x 0 yE = e-jkz (E e + AE eje )0 x 0 y2)(H丰H丰0 )123)4)(A为常数，申H 0,知)(1)5)EH = (-mne - jkyexE+ Jne-Jkye )z

15、(6) E(z,t) = E sin(t一kz)e + E cos(t 一kz)emx my兀兀(7) E(z,t) = E sin(wt一kz + )e + E cos(t-kz一 )em4 x m4y解：(1)z方向，直线极化。( 2 )x 方向，直线极化。( 3)z 方向，右旋圆极化。(4) +z方向，椭圆极化。(5) +y方向，右旋圆极化。(6) +z方向，左旋圆极化。 ( 7)z 方向，直线极化。6-15 证明一个直线极化波可以分解为两个振幅相等旋转方向相反的圆极化波 证：设沿z方向传播的直线极化波的电场矢量方向与e方向夹角为。，x则 e = E (cosOe + sin0e )e

16、J1 xyeJO + e-JOeJO e-JO 、=E (e +e )ejPz12 x 2J y=(eJe JeJe )eJPz + i(eJe + Je Je )eJPz2 xy2xy= E E右圆 左圆 6-16证明任意一圆极化波的坡印廷矢量瞬时值是个常数 证：设沿z方向传播的圆极化波为兀E(z, t) = E cos(t - kz + 申土一)e + E cos(wt - kz + 申)em2 x my则坡印廷矢量瞬时值C 口口 17 e X E E - E E - eCt - kz + 申)ezS = E xH = E Xr = e zEn n z n22nE2 cos2 t - kz

17、 + 申 * + E2 cos2 mE2=m enz6-17 有两个频率相同传播方向也相同的圆极化波，试问：( 1)如果旋转方向相同振幅也相同，但初相位不同，其合成波是什么极化？(2)如果上述三个条件中只是旋转方向相反其他条件都相同，其合成波是什么极化？( 3)如果在所述三个条件中只是振幅不相等，其合成波是什么极化波？解：(1)设 E = E (e Je )eJPie-Jkz10 x yE = E (e je )eje2e j2 0 x y 贝 y E = E + E12=E (e je )(ej% + eje2)e j0 x y 故合成波仍是圆极化波，且旋转方向不变，但振幅变了(2) 设 E

18、 = E (e + je )eje jz10xyE = E (e je )ej%1 e j20 xy贝 y E = E + E12= 2E e e j%1ejkz 0x故合成波是线极化波。(3) 设 E = E (e je )ej%1ejkz1 10 x yE = E (e je )ej%1ejkz2 20 x y贝yE = E + E = (E + E )(e je )ej%1 e-jkz1 2 10 20 x y故合成波是圆极化波，且旋转方向不变，但振幅变了。6-18 一个圆极化的均匀平面波，电场E = E ejkz （e + j e ）0 x y 垂直入射到z = 0处的理想导体平面。试

19、求：（ 1）反射波电场、磁场表达式；（ 2 ）合成波电场、磁场表达式；（ 3）合成波沿 z 方向传播的平均功率流密度。 解：（1） 根据边界条件（E + E ）1 = 0i r z =0 故反射电场为2)3)E = E (e + je )ej氏r 0 x y1EH = (-e )xE = ej氏(je 一e )r q z r qx yE = E + E = 2jE sin(pze + je )i r 0H =丄e x E + (-e ) x Eq z i q zS = Re(E x H *)av 2=-Re2jE sin(Pz)(e20=0xy2E=dcosz(je + e )qx y+ je

20、 ) x 竺泌(je + e )y耳x y6-19当均匀平面波由空气向理想介质（卩=1, b = 0 ）垂直入射时，有84%的入射r功率输入此介质，试求介质的相对介电常数。r解：因为R =耳一耳2 121又因为|R卩=1 一84% = 0.16，故 R| = 0.4(1 + 0.4 丫、1 - 0.4 丿=5.446-20当平面波从第一种理想介质向第二种理想介质垂直入射时，若媒质波阻抗H 2耳，证明分界面处为电场波腹点；若n n，则R0，r的幅角为零，表示分界面处入射电场与反射电场同相，形成电 21场波腹点；若n n，则R9发生全反射ic所以折射波沿分界面传播，形成表面波。v3 x 108v

21、= = ：3 x 108 = 1.73x 108 (m/s)p M sin9 ri(3) 因为9 9发生全反射，反射系数的模r HR | = 1，但反射系数的幅角1c丄s 5。将圆极化波分解成相位差冗/2的等幅垂直极化波与平行极化波，反射后振幅不变, 丄 /但相位差发生了改变，所以反射波是椭圆极化波。6-28 一个线极化平面波由自由空间投射到e = 4、卩=1的介质分界面，如果入射波的 rr电场与入射面的夹角是45o。试问：（1）当入射角e.二?时反射波只有垂直极化波。i（2）这时反射波的平均功率流密度是入射波的百分之几？解:布儒斯特角亶=arCtann =曲叫*r = 63-4故当o ib二

22、634。平行极化波全折射，反射波只有垂直极化波。2）cosO -Jn2 - sin 20R = i匚 I丄 cosO +、.：n2 - sin20 o，=obiiI= -0.6n=2垂直极化波的入射功率流密度只有总入射功率流密度的2，故2 二 2 X 0.62 二 18%么=1 |R |P 2i6-29证明当垂直极化波由空气斜入射到一块绝缘的磁性物质上（p 1、 1、b = 0 ） r时，其布儒斯特角应满足下列关系卩（卩- ）r r, -1rr而对于平行极化波则满足关系tan2OB证：（1） （ -卩）=r rr -卩一1rr耳 cos 0 一耳 cos 02i 1t耳 cos 0 +q co

23、s 02当o =0时,iB耳 cosO2BcosO1t1）由折射定律可求出cos 2 0tk sinO1B= k sinO2t2）=1- sin2 O =1-tsin O ） 2B代入方程（1）得匕 cos20 = 1 -1sin 20BP Brr r生（1 - sin 20 ） = 1 -1sin20 BPBrr r2)(2) (3)式联立f8r2sin20Bcos20B上-18=rH1r 8 H8rr rH 8 - 1=r_rH 2 - 1r= H (H -8 )=rrr=H H 8 ) =r r r - 8 H - 1rr耳 cos0 耳 cos0R =T i 2 t 耳 cos0 +耳

24、 cos0 1i2t耳 cos0 =耳 cos01B 2tsin0 = Jh 8 sin0B N r rt= r cos 08 trtan20Bcos 0B与垂直极化相比较， H 与8 互换 rr.tan2 0 =8 r (8 r- Hr)B 8 H - 1rr6-30设z 0区域中理想介质参数为平面波的频率； 反射角和折射角 反射波和折射波。试求：( 1)( 2 )( 3 )解：( 1)入射面为 xz 面入射波可分解为垂直极化波和平行极化波两部分之和，即已知 k (xsin0 + z cos0 )=1 i iE = e - j6( - 3x+z)ei丄yE = e-J6C 3x+z)(e 一

25、、；3e )xz+ z 得k 二 121k2)=1= 287MHz2k ,.;h 81 1sin 0 =亘i 20= 60o = 0irsin 0k 3由市=k=2可得t3)sin 0 =-L = 0 = 35.3o, k = 18t(1)(2) 解：(1)片，试求z = 0 处合成电场的方向和极化形式。 z = l 处合成电成的方向和极化形式。E = E + E = 2 E e1 2 m x合成场指向e方向，是线极化波。x(2) E = E + E12=E (e-j卩$ + e-j卩2z )e + j(e-j卩2z e-j卩)e m x y弘+匸 匸-弘匸-弘匸-弘匸-p=E e-j中z (

26、eiV1 z + e-z )e + j(e-z - ez )e m x y=2E e -z cos(卩-卩 m22电场两分量相位差等于零 合成场是线极化波i (p - p)sm(1 z) 0_ tan ( p-p)COS(1 z)2pp - p片 z )e + sin( 2 x2* z )e y-P1 z2故当z _ l时合成电场与x轴夹角为0 _ P2 2卩116-33设在z 0的半空间是电子密度为N _ 10141/米3的等离子体，并有恒定磁场 B _ 5 x 10-3e特斯拉，在z 0半空间为真空。有一频率为300MHz的正圆极化波沿正z方 0z向垂直入射到等离子体上，问在等离子体内传输

27、波的场量为入射波的百分之几？ 解：对于正圆极化波，等离子体等效为相对介电常数为G +S )的介质，其中82与6-311 2 1 2 题相同，故2、； 0.866 0.05310.866 - 0.053_ 94.8%2n2、迟+匕2 _ 1 2n +n 1+s2 1 126-34 我们知道，当线极化平面波沿恒定磁化磁场方向传播时，将产生极化面连续偏转的 法拉第旋转效应。若已知 _1及饱和磁化铁氧体的张量磁导率是r0.8 j0.5 0r _ j0.50.80r001平面波在自由空间的相位常数是B _ 2兀rad/m，其磁场强度在z _ 0处是H _ 2H e 。0 0 x 试问(1)该铁氧体中任一

28、点的H _ ?(2)在z _ 0.2m处H与x轴的夹角0 _ ?(3)该平面波在铁氧体中的传播速度v _ p 解：(1) H可分解成正负圆极化波向前传播H _ (e - je )H e- jp+z+xy0H _ (e + je ) H e-jp-z-xy0式中2)P _ PR _ P (R + R ) _ 2兀+0r+0 r12P _ P R _ P (R - R ) _ 2兀、1.3一0、r一0九 r12一.P +P+P -PP -PH _ H +H _ 2H e-j 2 z (co土 ze + sin 土 ze )+-02 x2 y_ 2H e - j5.3 z Los(1.86z)e +

29、 sin(1.86z)e 0xy0 P -P2 兀 &T3 -J丽)02 0 372( d) 2130_ 土 l _x 0.2 _ 0.372(rad) _ 21.3。2c33卩 c“. 1Ovp-B-芮邛：-芮邙；-卫+还-=2 2传播方向磁化的无界无源均匀铁氧体中传播，1.2 j0.306-35 一个频率f - 3GHz、磁场强度是H - H e-jfZ (e + je )的平面电磁波，在沿波的 0 x y磁导率是-j0.31.20相对介电常数 - 16。试求r(1) 电磁波在该铁氧体中的相速二-?波长九(2) 波阻抗耳-?电场强度E - ?解：(1)因为H是一个左旋圆极化波._.- 6.

30、12 x 107 (m/s)16 x、1.2 + 0.3p- P 0尸v =-pvk - p - 2.04 x 10-2 (m) = 2.04(cm)屮11.2 + 0.3 11U Zi/rw(2) n=n-=n- 115.4(q)0 飞 0I 16rE -丄VxHj3=n H x ez -115.4H e-j308z(je - e )0x y其中卩-兀“ -308(rad/m)-九2.04 x 102z-j0.50.806-36无界均匀铁氧体由恒定磁场B - B e饱和磁化，磁导率是000.8j0.50相对介电常数 -16。试问r(1) 磁场是H - H e-jpye的平面波在其中传播的相速v -0zp(2) 电场是E - E e-j3ve的平面波在其中传播的相速v - ?0zp解：传播方向垂直磁化方向，是横向波(1)因为H沿y方向传播，只有e分量z所以是寻常波，故相速为v - c /j - 0.75 x 108 (m/s)pr2)因为平面波向y方向传播且Ez丰0，所以是非寻常波故相速为H 2 - H 2121O.82 一 0.52 08=1.07 x 108 (m/s)